Dễ dàng chứng minh được ΔINO vuông cân tại N và M là trung điểm của IO.[r]
Trang 1Trường THCS Quỳnh Trang
Câu 1:
a) Cho x, y R thỏa mãn: x - 3xy = 10; y - 3xy = 30
Tính P = x + y
Giải:
b)
* Nếu n = 3k thì n + n + 1 = 9k + 3k + 1 không chia hết cho 3 Không chia hết cho 9
* Nếu n = 3k + 1 thì n + n + 1 = 9k + 9k + 2 không chia hết cho 9
* Nếu n = 3k + 2 thì n + n + 1 = 9k + 15k + 6 + 1 không chia hết cho 3 không chia hết cho 9
Vậy với mọi n thì n + n + 1 không chia hết cho 9
Câu 2:
a) x(x + 1) = y + 1
x + x - y = 1 4x + 4x - 4y = 4 4x + 4x + 1 - 4y = 5
(2x + 1) - 4y = 5 (2x + 1 + 2y)(2x + 1 - 2y) = 5
Suy ra 2x + 1 + 2y và 2x + 1 - 2y là ước của 5
Xét các trường hợp sau:
* (thỏa mãn)
* (thỏa mãn)
* (thỏa mãn)
* (thỏa mãn)
b) Giải PT: x - x - x + 1 = 0
(x - 1) (x + x + 1) = 0
x - 1 = 0 (do x + x + 1 = (x + ) + > 0 x)
x = 1
c) Giải PT: x + 2y + 8 = 2 (y + 2)
2x + 4y + 16 = 4 y + 8
x - 8 + 16 + 4y - 4y + x = 0
( - 4) + (2y - ) = 0
Câu 3:
a) Ta có: P = x - 4x + 2012 = (x - 1) + 2(x - 1) + 2009 2009
Dấu "=" x = 1
b) + + 3 + + + 2(a + b + c) 9
+ + 3 (*)
Áp dụng BĐT cô -si ta có: + 2b ; + 2a ; + 2c
+ + + + + 2b + 2a + 2c
+ + a + b + c = 3 Vậy BĐT (*) được chứng minh từ đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh
Câu 4:
Kẻ đường phân giác AD của góc A (D BC)
Kẻ BH AD (H AD)
Ta có: Sin = (1)
AD là đường phân giác của
= = = (2)
Mặt khác, b + c 2 (BĐT Cô-si)
1
Trang 2Trường THCS Quỳnh Trang
b
a
c
H
B
A
Từ (1), (2) và (3) suy ra Sin (đpcm)
Câu 5:
a) Ta có: = (cùng phụ ) và = = 45
Xét ΔBIM và ΔANM có:
BI = AN (gt); BM = AM (do ΔABC vuông cân)
= (chứng minh trên)
H
O N
I
M
B
A
Và = = + = + = = 90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔIMN vuông cân tại M
b) Gọi O là giao điểm của MI và AN Dễ dàng chứng minh được ΔINO vuông cân tại N
và M là trung điểm của IO
Kẻ MH AO H là trung điểm của NO MH = IN (t/c đường trung bình) (3)
Từ giả thiết SABC = 4 SMIN IN = BC = AM (4)
Từ (3) và (4) suy ra MH = AM = Sin = (do ΔAMH vuông tại H)
= 30 = 30 (do (*)) = 15 = 90 - 15 = 75
2