Đồ án ứng dụng maple để giải các bài toán về đại số tuyến tính

Đặc biệt, nhóm xin khai thác tập trung ở mảng Đại số tuyến tính với những phạm trù không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính vì nó có mặt trong mọi ngõ ngách của Toán học và Khoa học ứng dụn

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-TOÁN ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện:

ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T

BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T

Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 8 tháng 12 năm 2011

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

.………

………

.………

………

………

………

………

.……….………

………

………

………

………

………

.………

.………

.………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

MỤC LỤC

Phần 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 5

Phần 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 14

CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 14

1.1 VÌ SAO PHẢI CÓ SỐ PHỨC: 14

1.2 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 14

1.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 16

1.4 CĂN CỦA SỐ PHỨC: 19

1.5 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOAN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC: 20

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 28

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU: 28

2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN: 28

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP – HẠNG CỦA MA TRẬN: 31

2.4 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH: 33

2.5 PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN: 34

2.6 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 34

2.7 PHƯƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 36

2.8 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ MA TRẬN: 36

CHƯƠNG 3: ĐỊNH THỨC 48

3.1 HOÁN VỊ 48

3.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 48

3.3 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 53

3.4 QUY TẮC CRAMER 54

3.5 ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN 56

3.6 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC 57

CHƯƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ 63

4.1 ĐỊNH NGHĨA 63

4.2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 64

4 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 65

4 4 KHÔNG GIAN – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU 67

4.5 KHÔNG GIAN DÒNG 70

4.6 KHÔNG GIAN NGHIỆM 71

4.7 KHÔNG GIAN TỔNG 73

4.8 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 73

4 9 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 78

4 10 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 83

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 89

5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 89

5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 91

5.3 MA TRẬN BIỂU DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 93

5.4 KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU 97

5.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 98

5.6 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 100

CHƯƠNG 6: SỰ CHÉO HÓA 104

6.1 TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG 104

6.2 CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH – CHÉO HÓA MA TRẬN 108

6.3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA 113

6.4 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHÉO HÓA 116

LỜI NÓI ĐẦU

Tiến sĩ Thân Nhân Trung - vị quan dưới thời vua Lê Thánh Tông đã từng nói: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia,nguyên khí thịnh thì thế nước mạnh mà hưng thịnh,nguyên khí suy thì thế nước yếu mà thấp hèn Vì thế các bậc đế vương thánh minh không đời nào không coi việc giáo dục nhân tài, kén chọn kẻ sĩ, vun trồng nguyên khí quốc gia làm công việc cần thiết” Câu nói này luôn đúng với mọi thời đại và ngay cả ngày nay trong thời đại của tri thức thì câu nói trên càng chứng minh được tính đúng đắn một cách toàn diện của nó Và mới hơn cả, Thứ Trưởng Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Nguyễn Vinh Hiển đã từng nói: “Đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu, nội dung dạy học là yếu

tố có thể coi là xương sống của đổi mới giáo dục phổ thông” Vì vậy, từ hai câu nói trên đã cho ta thấy

rõ tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước Việt Nam và việc đổi mới phương pháp dạy học đang trở thành một bài toán khó hay một vấn đề nan giải đối với nhà quản lý giáo dục Làm sao để thu hút người học tham gia vào bài nhiều hơn trước đây để tránh tái diễn một hình ảnh không đẹp vốn dĩ có từ lâu đời thầy đọc trò chép? Nếu ta để hình ảnh này còn xuất hiện nhiều tức là ta đang đi vào vết xe đổ của quá khứ.Vậy đổi mới giáo dục như thế nào?

Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng Bởi, nó là môn học nền tảng giúp ta nhận thức mọi môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trong các vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ thuật…Nhưng nó lại được đánh giá là môn học khó ở hai nghĩa đó là khó cả về người dạy và khó cả về người học Câu hỏi đặt ra là: Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn?

Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung, mọi lĩnh vực như vật lý, Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và người dạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh vực khác nhau Nhưng cũng chính vì sự đa dạng của phần mềm này nên trong khuôn khổ có hạn của bài báo cáo, nhóm chỉ tập trung khai thác Maple ở lĩnh vực quan trọng nhất của nó đó là: Toán học Đặc biệt, nhóm xin khai thác tập trung ở mảng Đại số tuyến tính với những phạm trù không gian vectơ

và ánh xạ tuyến tính vì nó có mặt trong mọi ngõ ngách của Toán học và Khoa học ứng dụng… Vì vậy, nhóm quyết định chọn đề tài báo cáo của nhóm là: “ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH”

Với sự hướng dẫn tận tình của Thầy Lê Trung Nghĩa, nhóm em đã hoàn thành bài báo cáo đồ án toán này Dù đã cố gắng hết sức nhưng do năng lực còn hạn chế nên nhóm không thể không tránh khỏi những khiếm khuyết và thiếu sót Kính mong Thầy thông cảm và đóng góp ý kiến cho nhóm để báo cáo ngày càng tốt hơn Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy

TPHCM, ngày 8 tháng 12 năm 2011 Sinh viên thực hiện

PHẦN 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE

1.GIỚI THIỆU

Maple là gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều lĩnh vực được xây dựng và phát triển bởi của hãng Waterloo http://www.maplesoft.com/http://www.Maplesoft.com phiên bản mới nhất là Maple 15 Maple là một công cụ tuyệt vời hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu toán học.Với Maple ta

có thể thực hiện được mọi điều từ những phép toán đơn giản nhất, sơ cấp nhất cho đến những tính toán phức tạp nhất

Không chỉ dừng lại ở việc hỗ trợ tính toán, Maple còn có khả năng lập trình Ở phương diện này, có thể xem Maple như là một ngôn ngữ lập trình trong đó chúng ta có thể tạo ra những chương trình và những gói (package) để tái sử dụng

Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn Nhiều trường đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chương trình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toán truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple

1.1 Các cửa sổ giao diện Maple 13

Maple 13 cung cấp hai loại giao diện:

 Classic Worksheet

 Standard Worksheet

Hình 1 Giao diện classic

Hình 2 Giao diện Standard

1.2 Quy tắc gõ lệnh

- Các lệnh của Maple đƣợc gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà không hiển thị kết quả Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán

- Để viết các lời giải thích câu lệnh bạn có thể viết chúng sau dấu thăng (#)

- Để xuống dòng trên cùng một dấu nhắc lệnh các bạn dùng tổ hợp phím Shift-Enter

- Để gán giá trị cho biến ta dùng dấu hai chấm bằng (:=)

- Có thể gọi lại kết quả vừa thực hiện bằng lệnh % (%% lấy kết quả trước kết quả vừa thực hiện )

- Các lệnh của Maple có thể chỉnh sửa, copy,…

1.3 Các thành phần cơ sở của Maple

arcsin(x) Arcsin(x) arccos(x) Arccos(x) arcsin(x) Arctg(x)

2 Tính toán trên Maple

- Maple có khả năng tính toán với những con số rất lớn với độ chính xác cao

factorial(n) Tính n giai thừa isqrt(n) Căn bậc hai

x2,

ilcm(x 1 ,x 2 , ) Bội số

chung nhỏ nhất của x1 ,

x2,

m mod n Số dƣ khi chia

m cho n

Phép tóan Kí hiệu Phép tóan Kí hiệu Phép tóan Kí hiệu

isprime(n) n có là số nguyên

tố không?Trả về True / False

nextprime(n) Số nguyên

tố liền sau n

prevprime(n )

Số nguyên tố liền trước n

2.2 Tính toán trên biểu thức

expand(bt) Khai triển

subs([x1=a1 ,x2=a2, ],f(

x1,x2, ))

Tính giá trị của f(x1,x2, ) với x1=a1,x2=a2

collect

(bt,x)

Gom hạng tử của bt theo biến x

degree(bt) Bậc của đa

thức bt

coeff(bt,x^n )

Hệ số của x^n trong đa thức bt

- Cú pháp : limit(f(x),x=a); // Muốn xuất ra biểu thức tính giới hạn ta dùng Limit(f(x),x=a)

- Tính giới hạn bên trái : limit(f(x),x=a,left);

- Tính giới hạn bên phải : limit(f(x),x=a,right);

2.5.2 Hàm hai biến : đồ thị 3D

Cú pháp : plot3d(f , x = a b );

> plot3d({sin(x*y), x + 2*y}, x=-Pi Pi, y=-Pi Pi);

> plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x=-2 2, y=-2 2, color=x);

PHẦN 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG

Ví dụ

+1=0 (1)

Phương trình trên hoàn toàn không có nghiệm thực Điều này đồng nghĩa nếu ta giải phương trình trên

trường số thực ta sẽ kết luận nó vô nghiệm Bài toán đặt ra là phải mở rộng trường số thực bằng cách xây dựng một trường số mới lớn hơn trường số thực để phương trình (1) có nghiệm Tập hợp số đó ta gọi tên là trường số phức ký hiệu là C Khi đi sâu vào trường số phức ta sẽ nhận thấy tất cả các phương trình có bậc lớn hơn bằng 1 đều có nghiệm chứ không riêng gì phương trình (1)

1.2 Dạng đại số của số phức

Đặt f: R-> C định bởi f(a)= (a,0) Ta có f đơn ánh Ngoài ra, ta có phép cộng và nhân trong f(R)

trùng với phép cộng và nhân trong R

f(a) + f(b)= (a,0)+(b,0) =(a+b,0) = f(a+b) f(a) f(b) = (a,0).(b,0)= (ab,0) = f(ab)

Do đó, ta có thể đồng nhất số thực a với số phức (a,0) Điều này chứng tỏ rằng trường số thực R là một tập con của trường số phức C Ta chọn một số phức (0,1) và đặt tên nó là i Ta có theo định nghĩa phép nhân trên trường số phức:

= i.i = (0,1).(0,1) =(0.0-1.1,0.1-1.0) =(-1,0)

Vậy ta có =-1

Ngoài ra, ta cũng có: số phức(0,b)=(0,1).(b,0)= (0.b-1.0,0.0+1.b) (2)

Mà ta có do đặt i=(0,1) do đó (2) được viết lại là:

(0,b)=i(b,0)

Suy ra với z=(a,b) thuộc C, ta có:

z= (a,b)=(a,0) + (b,0)= (a,0) + i(b,0) = a+ib

Định lý 1.2.1 Như vậy với mọi số phức z bất kỳ ta đều có viết dưới dạng

z=a+ib với a,b thuộc R (2)

(2) được gọi là dạng đại số của số phức z

a được gọi là phần thực của số phức z ký hiệu là Re(z) và

b được gọi là phần ảo của số phức z ký hiệu là Im(z)

Ví dụ : Cho số phức z= (10,-3) Ta có dạng đại số của số phức z là: z=10-3i trong đó phần thực

Re(z)=10 và phần ảo Im(z)=-3

Vì với mọi số phức z ta chỉ có duy nhất một dạng biểu diễn duy nhất nên ta có :

a+ib=c+id  a=c, b=d với a,b,c,d thuộc R

Đặc biệt: a+ib=0 a=b=0

Tính chất này được xem là tính chất 1 của dạng đại số của số phức

Tính chất 2: Vì trường số phức là tập lớn hơn trường số thực nên các phép tính thông thường trong R

vẫn đúng với C với điều kiện = -1 (đã chứng minh ở trên)

Ta gọi hai số phức bất kỳ có dạng:z=a+ib và z’=c+id Ta có:

Định lý 1.2.2 Cho số phức z=a+ib ta gọi số phức liên hợp là z’=a-ib.Với mọi số phức z và z’ ta có:

i) z’=0=a-ib=0 => a=b=0 =>z=a+ib=0;

ii) z’’=z;

iii) Re(z)=(z+z’)/2 và Im(z)=(z-z’)/2i;

Chứng minh: Ta có: (z+z’)/2=( a+ib +a-ib)/2=a=Re(z)

(z-z’)/2i= (a+ib –a +ib)/2i= 2ib/2i=b=Im(z)

Nhận xét:

1) z=z’  a+ib=a-ib  ib=0  Im(z)=0 , nghĩa là z thuộc R

2) z=-z’  a+ib= -(a-ib)  a+ib=-a+ib  a=0  Re(z)=0 nghĩa là: z=ib với b thuộc R Trong trường hợp này ta gọi z là số thuần ảo

Định nghĩa 1.2.3 Cho số phức z= a+ib Ta gọi môđun hay giá trị tuyệt đối của z ký hiệu |z| =

là một số thực không âm

Khi đó ta có OM=|z|.Ta gọi là đối số hay argument của z , ký hiệu:

Những số thực a có argument bằng 0 biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox và Ox đƣợc gọi là trục thực Những số thuần ảo ib có argument bằng 0 biểu diễn bởi các điểm trên Oy và ta gọi Oy là trục ảo

Ngoài ra, ta có nếu cho một số phức z= a + ib = 0 và r=|z|= Khi đó arg(z) là góc duy nhất ( sai khác một bội nguyên ) thỏa tính chất:

Định lý 1.3.1

i) Mọi số phức z đều được viết dưới dạng

z = r (cos (*) trong đó r =|z| và (*) được gọi là dạng lượng giác của số phức

ii) Đảo lại, nếu số phức z được viết dưới dạng

z = với và do đó đây chính là dạng lượng giác của z

Chú ý: Theo công thức Euler ta có: r (

Lưu ý: Mọi số phức đều được viết dưới dạng lượng giác nhưng có những trường hợp để xác định

argument của z không dễ dàng

Với ii) Với ta có:

Chứng minh Ta thấy (**) luôn đúng với n = 0 Ta chứng minh định lý đúng với n

Xét trường hợp n Theo giả thiết (**) luôn đúng với n = 1.Giả sử (**) đã đúng với n =k, nghĩa là ta có:

Khi đó theo hệ quả trên ta có:

Vậy (**) vẫn đúng với n = k+1 Theo nguyên lý quy nạp ta có kết luận (**) vẫn đúng với mọi n

Ta xét trường hợp ngược lại với n Đặt m = -n, thì m

Theo hệ quả trên ta có:

.Nên theo kết quả trên ta suy ra:

1.4 Căn của số phức

Định nghĩa 1.4.1

Căn bậc n>0 của số phức u là số phức z thỏa

Định lý 1.4.2

Mọi số phức u đều có đúng n căn bậc n được định bởi:

Chứng minh Ta viết u dưới dạng lượng giác

Nhận xét

Để tìm căn của số phức ta thường viết dưới dạng lượng giác rồi áp dụng công thức để tính Nhưng không phải lúc nào cũng dễ dàng tính được argument của z Ở trường hợp này ta áp dụng phương pháp đại số nhưng thường chỉ hữu hiệu đối với căn bậc 2 mà thôi

Định lý 1.4.5 Cho số phức u = a+ib 2 căn bậc hai đối nhau z = x+iy, trong đó:

Hơn nữa tích số xy luôn luôn cùng dấu với b ( nếu b khác 0)

Chứng minh: Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của u = a + ib nên ta có:

Với quy ước là một trong hai căn bậc hai của số phức 

1.5 Ứng dụng Maple để giải các bài toán liên quan đến số phức

Trong Maple quy định số phức i là I

- Để đơn giản biểu thức ta nhập lệnh:

simplify(expr) với expr là biểu thức

1.5.3 Căn của số phức, giải phương trình và hệ phương trình

- Để xác định căn bậc n của số phức ta nhập lệnh:

solve(x^n=z,x)

- Để giải phương trình hay hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình eqns với các biến vars Nếu có nhiều phương trình hoặc bất phương trình thì eqns là {eqn1,eqn2,…}; nếu nhiều biến thì vars là {var1,var2…} với dòng lệnh sau đây:

> solve({(1+2*i)*x + (2+i)*y +(3+2*i)*z = 7+6*i,(3-6*i)*x +(2-5*i)*y +(1-6*i)*z = 5-18*i},{x,y});

Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là:

Bài 1.3:

Nhập vào Maple ta có:

> z2:=1;

> z2:=evalc(z2); // Đưa z2 về dạng đại số

> simplify(abs(z2));// Mô đun của z2

> simplify(argument(z2));// Argument của z2

Vậy số phức z2 được viết dưới dạng lượng giác là:

> solve(z^2 - (3-2*I)*z + (5-5*I) =0,z);

Vậy nghiệm của phương trình là:

Z1 = 2+I và z2= 1-3i

Nhập vào Maple ta có:

> solve(z^4 -3*z^2 +4 =0,z);

Vậy nghiệm của phương trình tương ứng lần lượt z1, z2, z3, z4 là:

CHƯƠNG 2 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

i) Ma trận không loại mxn, ký hiệu hay 0 là ma trận loại mxn mà tất cả các hệ số đều bằng 0

ii) Ma trận vuông cấp n là ma trận loại nxn ( nghĩa là số dòng = số cột = n) Trong ma trận vuông cấp n

có một đường chéo chính ( gọi tắt là đường chéo) gồm các hệ số , i ( còn đường chéo phụ gồm các hệ số i ) Tập các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là

iii) Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng

Định nghĩa 2.2.1 ( Phép lấy chuyển vị)

Cho A= ( là một ma trận loại mxn Ta gọi ma trận chuyển vị của A với ký hiệu là ma trận loại nxm, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là nếu:

Định nghĩa 2.2.2 ( Phép nhân vô hướng với ma trận)

Cho ma trận A= và số thực Ta định nghĩa là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với nghĩa là:

Cho hai ma trận cùng loại mxn là: A = Ta định nghĩa tổng hai ma trận A và

B với ký hiệu A + B, là ma trận loại mxn mà các hệ số có được bằng cách lấy tổng của các hệ số tương

đương của A và B nghĩa là

Như vậy:

Lưu ý: A-B:=A + (-B) và gọi là hiệu của A và B

Tính chất 2.2.7

Lưu ý:

1) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán nghĩa là thông thường ta có: AB BA

2) Nhiều tính chất quen thuộc của phép nhân giữa các số thực không còn đúng đối với phép nhân

ma trận

Ví dụ: A= và B = thì

AB = 0 nhưng A và B khác 0

Định nghĩa 2.2.8 (Lũy thừa của ma trận vuông)

Với A và k là số nguyên không âm ta đặt:

2.3 Phép biến đổi sơ cấp – hạng của ma trận

Định nghĩa 2.3.1

Cho A = Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( tương ưng với phép biến đổi sơ cấp trên cột) trên A là một trong ba loại biến đổi sau đây:

Loại 1: Đổi hai dòng (tương ứng với cột) cho nhau

Ký hiệu: chỉ phép đổi 2 dòng ( tương ứng 2 cột) cho nhau

Loại 2: Nhân một dòng ( tương ứng với cột) cho một số khác 0

Ký hiệu:

Loại 3: Cộng một dòng ( tương ứng với cột) với một bội của dòng khác (tương ứng với cột khác)

Ký hiệu: :=

Định nghĩa 2.3.2 Cho A và B là hai ma trận cùng loại Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A B

nếu B có được từ A qua một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó

Nhận xét: Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương, nghĩa là các tính chất sau được

nghiệm đúng:

Định nghĩa 2.3.3 ( Ma trận dạng bậc thang và dạng bậc thang rút gọn)

Cho A = ( là một ma trận loại mxn trên K Ta nói:

i) A có dạng bậc thang nếu A có dạng:

1) Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A

2) Trên hai dòng khác 0 của A, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên

ii) A có dạng bậc thang rút gọn ( hay có dạng rút gọn theo dòng từng bậc) nếu các tính chất sau

được thỏa:

1) A có dạng bậc thang

2) Các hệ số khác 0 đầu tiên trên dòng khác 0 của A đều bằng 1

3) Trên các cột có chứa các số 1 là các hệ số khác 0 đầu tiên trên các dòng khác 0, tất

cả các hệ số khác đều bằng 0 Ngoài ra,trên các cột… tất cả các hệ số còn lại đều bằng 0

Định lý 2.3.4

Cho A là một ma trận loại mxn trên K Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận dạng bậc thang rút gọn

Ta gọi là ma trận dạng bậc thang rút gọn của A và số lượng dòng khác 0 của

là hạng của ma trận A và ký hiệu r(A) hay rank(A)

Nhận xét:

2) Hạng của ma trận A cũng bằng số lượng dòng khác 0 của bất kỳ ma trận dạng bậc thang nào ( không nhất thiết rút gọn) tương đương dòng với A

2.4 Ma trận khả nghịch

Định nghĩa 2.4.1

Cho A là một ma trận A vuông cấp n Ta nói:

A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA =

Định nghĩa 2.4.4 Một ma trận sơ cấp cấp n là ma trận có đƣợc từ ma trận đơn vị qua một số phép

biến đổi sơ cấp trên dòng

Trường hợp 2 Mọi ma trận trong dãy biến đổi trên đều không có dòng hay cột bằng 0 Khi đó ma

trận cuối cùng của dãy trên có dạng ( Ta nói A khả nghịch và tìm ma trận khả nghịch của A

Hệ quả 2.4.7 Hai ma trận A,B tương đương dòng khi và chỉ khi tồn tại ma trận vuông cấp n , P khả nghịch sao cho B = PA

 Mỗi bộ số ( thỏa tất cả các phương trình trong (1) được

gọi là một nghiệm của (1) Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ đó tương thích

được gọi là ma trận bổ sung ( hay ma trận mở rộng) của hệ (1)

Khi đó, hệ (1) được viết dưới dạng ma trận:

AX = B

Trong đó :

là ma trận cột các ẩn số

Định nghĩa 2.6.2

Với các ký hiệu trong định nghĩa trên, ta có:

1) Hệ (1) và ma trận X ở trên là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu B = 0, nghĩa là

2) Hệ (1) và ma trận X ở trên là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu B , nghĩa là tồn tại j sao cho

Nhận xét:

Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có nghiệm vì nó nhận (0,0,…0) làm một

nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường Điều này không đúng với các hệ không thuần nhất

2.7 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính

Để giải một hệ phương trình tuyến tính ta sẽ sử dụng ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột như đã trình bày ở trên

Phương pháp Gauss

Bước 1: Ta viết ma trận bổ sung (A|B) của hệ ( sau khi sắp xếp các ẩn theo một thứ tự nào đó) Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận trên cho đến khi A biến thành ma trận bậc

thang với R là ma trận bậc thang nghĩa là:

Bước 3: Viết lại hệ phương trình tuyến tính RX = ứng với ma trận bổ sung, sau đó giải hệ này bằng cách lần lượt tính các ẩn dựa vào phương trình từ phía dưới lên Nghiệm của hệ này chính là nghiệm của phương trình đã cho

Phương pháp Gauss Jordan

Tương tự phương pháp Gauss nhưng ở bước 2 ta biến đổi sao cho A thành ma trận dạng bậc thang rút gọn

i) Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi A khả nghịch

ii) Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 có vô số nghiệm khi và chỉ khi A không khả nghịch

2.8 Ứng dụng Maple để giải các bài toán về ma trận

Để thực hành tính toán các vấn đề liên quan đến đại số tuyến tính, Maple cung cấp cho ta hai gói lệnh cơ bản là: linalg và linearalgebra Mọi gói lệnh chứa nhiều hàm và nhiều phép toán Để gọi gói lệnh nào đó ta sử dụng:

>with(package); với package là tên gói lệnh

Để ẩn đi các hàm khi thực thi gọi gói lệnh ta dùng:

- Để nhân ma trận A vối một biểu thức bất kỳ ta nhập:

scalarmul(a,expr) hoặc evalm(expr*a) với expr là biểu thức bất kỳ

- Để tính tổng ma trận A + B + C + … ta nhập:

matadd(a,b,c,…) hoặc evalm(a + b + c +…)

- Để tính tích ma trận ABC… ta nhập:

multiply(a,b,c,…) hoặc evalm(a.b.c….)

- Để tính lũy thừa k của ma trận A ta nhập:

evalm(a^k)

- Để xác định ma trận nghịch đảo của A ta nhập:

inverse(a) hoặc evalm(a^(-1))

2.8.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

- Để đổi chỗ hai dòng i và j của ma trận A ta nhập:

2.8.5 Giải phương trình ma trận AX = B

- Để giải phương trình ma trận AX = B với X là ma trận cần tìm ta nhập:

linsolve(a,b)

2.8.6 Giải hệ phương trình tuyến tính

- Để giải hệ phương trình eqns với các biến vars Trong đó eqns có dạng {eqn1,eqn2,…} và vars

có dạng {var1,var2,…} ta nhập:

solve(eqns,vars)

- Để giải hệ phương trình AX = b, với A là ma trận hệ số, b là vecto cột các hệ số tự do ta nhập:

linsolve(a,b)

Trên đây là những dòng lệnh cơ bản nhất khi tính toán trên ma trận và phương trình tuyến tính

Để hiểu rõ hơn về những dòng lệnh này, ta sẽ xét những ví dụ cụ thể với mục đích duy nhất là làm sáng tỏ những dòng lệnh trên