Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3.. Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A 3.. Sinh viên không được sử dụng tài liệu..
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA 1
Câu 1 : Cho ma trận A =
1 + 2 i 2 − i
1 + 2 i 3 + 2 i
Đặt z =det( A) Tính √5 z.
Câu 2 : Cho hai ma trận A =
1 −1 0
3 −3 1
và B =
1 −2 5
Tìm ma trận X thỏa 2 I + AX = B T
Câu 3 : Giải hệ phương trình
2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0
3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0
Câu 4 : Trong IR3
, cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1, x2, x3) , ( y1, y2, y3) ) = 3 x1y1+ 2 x1y2 + 2 x2y1+ 5 x2y2+ x3y3.
Tìm độ dài của vécto u = ( 1 , 2 , −1 )
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết
f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 )
Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết
f ( x) = f( x1, x2, x3) = ( 2 x1 + x2 − 3 x3, x1+ 2 x2 + x3, x1 − 2 x3)
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 0 ) }
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2) = 5 x2
1− 4 x1x2 + 8 x2
2 về dạng chính tắc bằng biến đổi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đổi biến
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1, X2, X3 ∈ IR3 là 3 vécto cột, độc lập tuyến tính Biết
A · X1 = X2, A · X2 = X3, A · X3 = X1 Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A 3
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
Trang 2ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA 2
Câu 1 : Cho z thỏa phương trình ( √ 3 + 2 i) z + 2 + 6 i
1 + i = 3 iz + ( 3 + i) ( 2 − i) Tính 10√ z.
Câu 2 : Cho hai ma trận A =
1 1 1
1 2 1
1 1 2
và B =
−2 1 2
3 0 1
1 4 2
Tìm ma trận X thỏa 3 B + AX = I, trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.
Câu 3 : Trong IR3
, cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1, x2, x3) , ( y1, y2, y3) ) = 4 x1y1+ 5 x2y2 + 2 x2y3+ 2 x3y2+ 2 x3y3.
Tìm khoảng cách giữa hai vécto u = ( 1 , 2 , −1 ) và v = ( 2 , 1 , 3 )
Câu 4 : Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ
2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0
7 x1 + 4 x2 − 8 x3 − 1 3 x4 = 0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) } là A =
1 −1 2
Tìm ma trận của f trong cơ sơ E1 = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết nhân của f sinh ra bởi hai vécto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) và f ( 1 , 1 , 0 ) = ( −1 , −1 , 0 ) Tìm tất cả các trị riêng và vécto riêng của ánh xạ f.
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2, x3 ) = 2 x2
1+ 8 x2
2+ 2 x2
3− 2 x1x2+ 4 x1x3+ 6 x2x3 về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp) Nêu rõ phép đổi biến
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1, X2 ∈ IR2 là hai vécto cột, độc lập tuyến tính Biết
A · X1 = X2, A · X2 = X1 Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A100
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
Trang 3Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu còn lại 1 điểm
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ
Câu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 √ 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 )
5
√
z = z k = 10√
5 0
c o s 3 π/4 + k2 π
5 + i s in
3 π/4 + k2 π
, k = 0 , 1 , , 4
Câu 2 X = A −1B T
− 2 I, A −1 =
5 1 −1
4 1 −1
Suy ra X =
−2 3 −4 1 1
−1 9 −5 8
1 8 2 −4
Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β)
Câu 4. Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = √
3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 =√
3 2
Câu 5. Có nhiều cách làm Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 , −5 , −8 ) , f( 0 , 0 , 1 ) = ( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A =
1 8 −1 2 −1 2
1 0 −5 −8
1 0 −8 −5
Ứng với trị riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A − 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T
Suy ra tất cả
các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α − β, β)
Câu 6 f( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 1 ) ] E = ( −1 , 5 , −4 ) T;
f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ] E = ( 1 , 2 , 0 ) T
f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ] E = ( 1 , 0 , 1 ) T Ma trận cần tìm: A =
−1 1 1
5 2 0
−4 0 1
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A =
5 −2
−2 8
Chéo hóa trực giao A = P DP T
, trong
đó D =
9 0
0 4
, P =
√
√
−2
√
√
Dạng chính tắc cần tìm: f( y1, y2) = 9 y2
1 + 4 y2 2 Phép đổi biến X = P Y
Câu 8. Ta có A3
( X1) = A( A( AX1) ) = A( AX2) = AX3 = X1 Suy ra X1 là vécto riêng của A3 ứng
với trị riêng λ1 = 1
Tương tự 2 vécto X2, X3 đều là vécto riêng của A3
ứng với trị riêng λ1 = 1
Vì X1, X2, X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3 Suy ra A3
chỉ có một trị riêng
và A3
= I.
Trang 4đáp án đề ựại số tuyến tắnh 2011 Ờ Ca 2
Thang ựiểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 ựiểm, các câu còn lại 1 ựiểm
Nếu cách làm ựúng, ựáp án sai, thì vẫn cho ựiểm tùy theo mức ựộ
Câu 1: 3 3 3 2 cos sin
3
i
i
= = − + −
Câu 2:
− −
= − = − −
1
X A− I B
Câu 3: v u− = −(1, 1, 4)⇒||(v u− )||= −v u v u, − = 25=5
Câu 4: Viết ở dạng ma trận:
4
2
=
Câu 5: Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E1 Tìm P ta giải hệ:
1 1 1 1 1 1
1 1 0 2 1 1
1 0 1 1 2 1
suy ra
P
= −
suy ra ma trận của f trong cơ sở E1 là:
1
−
= = − −
Câu 6: Ta có: f (1,1, 2)=0, f (1, 2,1)=0 suy ra (1,1,2)T và (1,2,1)T là 2 VTR ứng với TR λ =0
(1,1, 0) (1,1, 0)
f = − nên (1,1,0)T là VTR ứng với TR λ= −1
Vì 3 vecto (1,1,2)T, (1,2,1)T, (1,1,0)T có hạng bằng 3 nên: ( ) ( )
0
1
1,1, 2 , 1, 2,1 1,1, 0
T T
T
E E
λ λ
=
=−
=
(không còn trị riêng khác nữa)
Câu 7:
2
2
x
f x x x x x
= − + + + −
Phép biến ựổi:
8 15
x y
=
Dạng chắnh tắc: 2 2 2
15 32 2
f = y + y − y
Hoặc phép biến ựổi
2
2 8 15
=
x
y x
Câu 8: ta có: 2 2
,
A X =X A X = X nên X1,X2 là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của A2, do ựó X1,X2