Dạy thêm toán 10 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Ta thấy phương trình trong phương án A và B có hệ số của x2, y không bằng nhau nên đây 2không phải là phương trình đường tròn.. Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019 Phương trình nào sau đây

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của x và 2 y phải bằng nhau nên loại 2

Biết rằng x2y22ax2by c  là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi0

a    b c

Ta thấy phương trình trong phương án A và B có hệ số của x2, y không bằng nhau nên đây 2

không phải là phương trình đường tròn

Với phương án C có a2      nên đây không phải là phương trình đường b2 c 1 16 18 0tròn Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 4 (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Phương trình nào sau đây là phương trình của một

đường tròn?

A x2+ -y2 4xy+2x+ - = 8y 3 0 B x2+2y2- 4x+5y- = 1 0

C x2+ -y2 14x+2y+2018 0= D x2+ -y2 4x+5y+ = 2 0

Lời giải C

họn D

Phương án A: có tích xy nên không phải là phương trình đường tròn

Phương án B: có hệ số bậc hai không bằng nhau nên không phải là phương trình đường tròn

m m

m m

DẠNG 2 TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn  C x: 2 y2 4x6y 12 0 có tâm là.

A I 2; 3. B I 2;3 . C I 4;6 . D I 4; 6 .

Lời giải Chọn A

Ta có phương trình đường tròn là:   2 2

x  y  .

Vậy tâm đường tròn là: I 2; 3.

Câu 7. Đường tròn x2 y2 10y24 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

Câu 9 (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Tìm tọa độ tâm I và bán

kính R của đường tròn  C

: x2 y2 2x4y  1 0

A I1; 2 ; R4. B I1; 2 ;  R2. C I1; 2 ; R 5. D I1; 2 ;  R4.

Lời giải Chọn B

A I 2;3 , R9. B I2; 3 ,  R3. C I3; 2 , R3. D I2;3 , R3.

Lời giải Chọn B

Theo bài ra ta có tọa độ tâm I( 2;5) và bán kính R 3

Câu 12. Đường tròn  C x: 2y22x4y 3 0 có tâm I , bán kính R là

A I1; 2 , R 2. B I1;2 , R2 2. C I1; 2 ,  R 2. D I1; 2 ,  R2 2.

Lời giải Chọn D

Tâm I1; 2 , bán kính 2    2

DẠNG 3 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính

Câu 13. Phương trình đường tròn có tâm I 1; 2

và bán kính R5 là

A x2y22x4y20 0 B x2y22x4y20 0

C x2y22x4y20 0 D x2y22x4y20 0

Lời giải Chọn A

Phương trình đường tròn có tâm I 1; 2

Đường tròn tâm I1;2, bán kính R3 có phương trình là

x  y  �x y  x y  .

Câu 15 (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Phương trình nào sau

đây là phương trình của đường tròn tâm I1; 2, bán kính bằng 3 ?

Lời giải Chọn D

Phương trình đường tròn tâm I1; 2 và bán kính R là: 3   2 2

x y  .

Câu 17 (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Trong mặt phẳng với hệ

tọa độ Oxy, tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A 0;4

Giả sử phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A B C, , có dạng  C x: 2y22ax2by c 0Thay tọa độ 3 điểm A 0; 4

A x2y225x19y49 0 B 2x2 y26x y   3 0

C x2y26x y  1 0. D x2y26x xy  1 0.

Lời giải Chọn C

Phương trình đường tròn có dạng x2y22ax2by c  Đường tròn này qua , ,0 A B C nên

Câu 20. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A   3;0 ,B 0;2

và có tâm thuộc đường thẳng

� � lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác,

đường thẳng BC có phương trình x2y  Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam2 0giác ABC?

*) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

32

I

I

x y



�

� � 

(Do đó ta có thể chọn đáp án D luôn mà không cần tính bán kính)

*) Gọi M là trung điểm của BC �IM BC �IM: 2x y  1 0.

x y



�

� � 

� �M 0;1 .

Lại có: MAuuur3MGuuuur

53

38

A A

x y

Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là RIA5.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là   2 2

x  y  .

Câu 22 (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC

có trực tâm H, trọng tâm G1;3 Gọi K M N, , lần lượt là trung điểm của AH AB AC, , .

Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN là  C x: 2y24x4y 17 0.

Gọi E là trung điểm BC , J là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

 2

KN NE

�

Từ    1 , 2 �KMEN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính KE.

Đường tròn  C x: 2y24x4y 17 0 có tâm I2; 2 bán kính r 5� là trung điểmI

KE

KHEJ là hình bình hành I � là trung điểm JH

J J

x y

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R JA 2IK 2r 10

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:   2 2

x  y  .

Câu 23 (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác

ABC có trực tâm O Gọi M là trung điểm của BC; N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ

B và C Đường tròn đi qua ba điểm M , N , P có phương trình là

Ta có M là trung điểm của BC; N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C Đường tròn

đi qua ba điểm M , N , P là đường tròn Euler Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

chính là ảnh của đường tròn Euler qua phép vị tự tâm là O, tỷ số k 2.

Gọi I và I� lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và tam giác ABC

Gọi R và R� lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và tam giác ABC

Ta có

11;

2

I �� ��

� � và do đó OIuuur�2OIuur�I�2; 1  .Mặt khác

5

52

R �R�

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:   2 2

x  y  .Nhận xét: Đề bài này rất khó đối với học sinh nếu không biết đến đường tròn Euler

Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Câu 24 (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình của

đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng : x y  2 0 là

A x2+y2=2 B x2+y2= 2

C (x- 1)2+ -(y 1)2= 2. D (x- 1)2+ -(y 1)2=2.

Lời giải Chọn A

Do tâm I nằm trên đường thẳng y x�I a a ;  , điều kiện a 0

S x  y  .

Câu 26. Một đường tròn có tâm I 3;4

tiếp xúc với đường thẳng :3x4y10 0 Hỏi bán kính

đường tròn bằng bao nhiêu?

Đường tròn tâm I 3;4

tiếp xúc với đường thẳng :3x4y10 0 nên bán kính đường tròn

chính là khoảng cách từ tâm I 3;4 tới đường thẳng :3x4y10 0 .

Đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  d có bán kính

x  y  .

Câu 28 (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn

( )C có tâm I3;2 và một tiếp tuyến của nó có phương trình là 3x4y 9 0 Viết phươngtrình của đường tròn ( )C

Vì đường tròn ( )C có tâm I3;2 và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng  có phương trình là 3x4y 9 0 nên bán kính của đường tròn là 2 2

C x2y2  2 D   2 2

x  y  .

Lời giải Chọn D

Vì các điểm A 3;0

và B 0;4

nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tam giác OAB cũng nằm

trong góc phần tư thứ nhất Do vậy gọi tâm đường tròn nội tiếp là I a b ,

Ta có OA3,OB4, AB5.

Gọi ( ; )I x y là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB I I

Từ hệ thức AB IO OB IA OA IB.uur .uur .uur ur0 (Chứng minh) ta được

OA OB S

r

OA OB AB p

 

(S p, lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác)

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là (x1)2(y1)2 1

hay

x y  x y 

DẠNG 4 TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 4.1 Phương trình tiếp tuyến

Câu 31. Đường tròn x2y2  tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?1 0

A 3x4y 5 0 B x y 0

C 3x4y 1 0 D x y  1 0

Lời giải Chọn A

 tiếp xúc với đường tròn.

Câu 32. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:

A x2y2 10x 0 B x2y2  5 0

C x2y2 10x2y  1 0 D x2y26x5y  9 0

Lời giải Chọn D

Đường tròn  C

tiếp xúc với trục Ox khi d I ,OxR với I và R lần lượt là tâm và bán kính

của đường tròn  C

Đường tròn: x2y210x0 �(x5)2y2 25 có tâm I 5;0

, bán kínhR ,5

I,Ox 0

d  Suy ra: d I , Ox�R Vậy  C không tiếp xúc với trục Ox.

�không phải là phương trình đường tròn

.Xét phương trình đường tròn: x2y2  có 5 0 I 0;0

và R 5, dI,Ox 0.Suy ra: d I ,Ox �R Vậy  C

không tiếp xúc với trục Ox

Xét phương trình đường tròn: x2y210x2y  có 1 0 I 5;1

vàR ,5 dI,Ox 1.Suy ra: d I ,Ox �R

Vậy  C

không tiếp xúc với trục Ox

Xét phương trình đường tròn: x2y26x5y  có 9 0

53;

2

I ��  ��

52

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C x: 2y22x4y 3 0 Viết

phương trình tiếp tuyến d của đường tròn ( )C biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là 3x4y5 2 11 0  , 3x4y5 2 11 0  .

Câu 34. Cho đường tròn  C x: 2y22x4y 4 0 và điểm A 1;5

Đường thẳng nào trong cácđường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn  C

tại điểm A

A y 5 0. B y 5 0. C x y  5 0. D x y  5 0.

Lời giải Chọn A

Đường tròn  C có tâm I 1; 2 �IAuur 0;3 .

Gọi d là tiếp tuyến của  C

tại điểm A , khi đó d đi qua A và nhận vectơ IAuur là một VTPT

Chọn một VTPT của d là nuurd  0;1 .

Vậy phương trình đường thẳng d là y 5 0.

Câu 35. Cho đường tròn  C x: 2y2 4 0 và điểm A1; 2 Đường thẳng nào trong các đường

thẳng dưới đây đi qua A và là tiếp tuyến của đường tròn  C

?

A 4x3y10 0 . B 6x y  4 0. C 3x4y10 0 . D 3x4y 11 0.

Lời giải Chọn A

Đường tròn  C

có tâm là gốc tọa độ O 0;0

và có bán kính R2.

Họ đường thẳng  qua A1; 2 : a x 1 b y 2 0, với a2b2 �0.

Điều kiện tiếp xúc d O ;  R hay 2 2

22

Nhận xét: Thực ra bài này khi thay tọa độ điểm A1; 2 vào các đường thẳng ở các phương

án thì ta loại C và D. Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng thì chỉ cóphương án A thỏa

Câu 36. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn     2 2

Câu 38 (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đường

tròn ( ) : (C x2)2 (y 4)2 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x4y 5 0.

A 4x3y29 0 . B 4x3y29 0 hoặc 4x3y21 0 .

C 4x3y 5 0 hoặc 4x3y45 0 D 4x3y 5 0 hoặc 4x3y 3 0.

Lời giải Chọn B

Đường tròn ( ) : (C x2)2 (y 4)2 25 có tâm I(2; 4) , bán kính R 5

Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d: 3x4y 5 0 có phương trình dạng:

4x3y c 0

 là tiếp tuyến của đường tròn ( )C khi và chỉ khi: d I( ; ) R � 2 2

Câu 39 (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy, cho đường tròn  C

có phương trìnhx2y22x2y  Từ điểm 3 0 A 1;1

kẻ đượcbao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn  C

Lời giải Chọn D

 C có tâm I1; 1 bán kính R= 12 ( 1)2  ( 3) 5

Vì IA  2 Rnên A nằm bên trong  C

.Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn

Câu 41. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểmP 3; 2 và đường tròn     2 2

Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn  C

, với M , N là các tiếp điểm.

Phương trình đường thẳng MN là 

Lời giải Chọn D

Gọi I là tâm của đường tròn, ta có tọa độ tâm I 3; 4 .

Theo đề ra ta có tứ giác IMPN là hình vuông, nên đường thẳng MN nhận IPuur   6; 6 làm

VTPT, đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K 0;1 của IP Vậy phương trình

đường thẳng MN: 1.x 0 1 y 1 0 hay x y  1 0.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M( 3;1) và đường tròn

 C x: 2y22x6y 6 0 Gọi T , 1 T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ 2 M đến (C)

C x y  x y  � x  y  suy ra (C ) có tâm I( 1;3) và R = 2

+ Phương trình đường thẳng d đi qua M( 3;1) có phương trình: A x  3 B y  1 0.

d là tiếp tuyến với đường tròn khi và chỉ khi d I d ;  R.

+ Với A , chọn 0 B1, phương trình tiếp tuyến thứ nhất là  d1 :y1.

Thế y1 vào  C x: 2 y2 2x6y 6 0, ta được tiếp điểm là T1 1;1

.+ Với 3A 4B, chọn A 4;B3, phương trình tiếp tuyến thứ hai là  d2 : 4 x 3y 15 0

Dạng 4.2 Bài toán tương giao

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho hai đường tròn    C1 , C2

có phương trình lầnlượt là (x1)2 (y 2)2 9 và (x2)2 (y 2)2  Khẳng định nào dưới đây là sai?4

Giao điểm 2đường tròn là nghiệm của hệ phương trình sau:

 2

02

0

y x

có tâm O� 4;3 �OO�uuuur 3;3

Nên đường thẳng AB qua A và nhận nr 1;1

Cách 2: Giả sử hai đường tròn    2 2

tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó độ dài đọan thẳng AB là

Lời giải Chọn A

đoạn thẳng AB

A AB  8 B AB4. C AB 3 D AB 6

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB Ta có IH AB và

 2 2

Xét tam giác vuông AHI ta có: HA2 IA2IH2   52 32 16 �HA4�AB2HA8

Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn  C

có phương trình

  2 2

x  y  và đường thẳng d:3x4y 7 0 Gọi A B, là các giao điểm của

đường thẳng d với đường tròn  C Tính độ dài dây cung AB.

A AB 3. B AB2 5. C AB2 3. D AB4.

Lời giải Chọn C

tại hai điểm phân biệt

Gọi A B, là các giao điểm của đường thẳng d với đường tròn  C

Đường tròn  C

có tâm I 1; 2

và bán kính R 12 22  3 2.

Theo giả thiết đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn  C

tại hai điểm B , C sao cho

2 2

Vì BC 2 2 2R nên BC là đường kính của đường tròn  C

suy ra đường thẳng d đi qua

tâm I 1; 2

Ta chọn: uuur uurd IA2; 1  �nuurd  1; 2

Vậy đường thẳng d đi qua A 3;1

và có VTPT nuurd  1; 2 nên phương trình tổng quát của

đường thẳng d là: 1 x 3 2 y 1 0 �x2y 5 0.

Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho hai đường tròn    C1 , C2

có phương trình lầnlượt là (x1)2 (y 2)2 9 và (x2)2 (y 2)2 Viết phương trình đường thẳng 4 d � điqua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng 45�

Tọa độ tâm I1 của đường tròn  C1

là: I1 1; 2 .Tọa độ tâm I2 của đường tròn  C1

là: I2 2;2

Ta có: I Iuuur1 2 3; 4

Gọi d d�, lần lượt là đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đã cho và

đường thẳng cần lập Chọn một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: nuurd4; 3  Gọi

a  b�

, chọn b 7�a1 Phương trình đường thẳng d x�: 7y0.

Với a7b�0, chọn b1�a7 Phương trình đường thẳng d�: 7x y 0.

Câu 51 (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ

14

Lời giải Chọn B

, đường thẳng d đi qua M1; 3  cắt  C

 C

có tâm I2; 1 ,  bán kính R2 5.

Câu 53 (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Trong mặt phẳng Oxy

cho tam giác ABC có đỉnh A 5;5

, trực tâm H1;13, đường tròn ngoài tiếp tam giác cóphương trình x2y2 50 Biết tọa độ đỉnh C a b ;

, với a  Tổng a b0  bằng

Lời giải Chọn D

Gọi K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC , gọi E là điểm đối xứng với Hqua Ksuy ra E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Tính chất này đã học ở cấp 2).

K�AHsuy ra tọa độ điểm K có dạng K5 3 ;5 4 t  t

H và Eđối xứng nhau qua K suy ra tọa độ E theo t là E11 6 ; 3 8 t   t

t t

12

7;15

của các đỉnh A B C, , của tam giác ABC

Ta có:

BCM BAM(cùng chắn cung BM)  1

BAM MAT DAC (do AD là đường phân giác ngoài A)  2

Từ    1 , 2 suy ra �DAC BCM� , mà �BCM CDA AMC DAC� � , � �ACM �AMC từ đó suy ra

CDA ACM , do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD có tâm J nên

JCMC Hay C là hình chiếu của J lên đường thẳng CM

Đường thẳng qua J và vuông góc với CM có phương trình:

là đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có

diện tích bằng 4 Phương trình đường tròn  C