SKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

SKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường trònSKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

ĐỀ TÀI SKKN:

SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa và hiện đại hóa, để thành công thì yếu tố con người đóng vai trò quyết định Do vậy xã hội đang rất cần những con người có khả năng lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề khó

Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ động Việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi là đặc biệt quan trọng và cần được bồi dưỡng thường xuyên bời chính các em là thế hệ nhân tài của đất nước

Trong chương trình Toán THPT, Phép biến hình được giảng dạy ở lớp 11, là một nội dung khó, tài liệu tham khảo không nhiều, và có nhiều ứng dụng hay nhưng chưa được khai thác Vì vậy tôi xin trình bày một ứng dụng của phép biến hình trong giải toán hình học, cụ thể là “SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ

BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN”

Khi gặp bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn trên mặt phẳng toạ độ Oxy chúng ta thường hướng học sinh vào suy nghĩ thông thường đó là tìm tâm và bán kính của đường tròn Trong đa số các bài toán thì việc xác định tâm và bán kính của đường tròn dựa trên sự mô tả của giả thiết về đường tròn đó, tuy nhiên có một

số bài toán giả thiết lại không mô tả về đường tròn đó mà lại mô tả về một đường tròn có liên quan đến đường tròn phải tìm, bằng một phép biến hình bài toán đó được giải quyết thế nào? Trong nội dung bài viết này tôi xin trình bày cách sử dụng phép biến hình để giải quyết một số bài toán như vậy Do kinh nghiệm công tác còn hạn chế, thời gian tìm hiểu nội dung còn hạn chế nên bài viết chắc chắn còn thiếu sót rất mong nhận được sự chia sẻ của các đồng nghiệp

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục tiêu

Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú cho học sinh khi học toán Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh

Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trưòng học thân thiện, học sinh tích cực”

Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực hành giải toán, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

2.2.Nhiệm vụ

Nêu và giải quyết một số bài toán viết phương trình đường tròn bằng phép biến hình Giúp học sinh biết thêm về việc vận dụng phép biến hình trong giải toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng

Ứng dụng của phép biến hình trong thực hành giải toán trên mặt phẳng toạ độ

3.2 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm.

Học sinh khá, giỏi lớp 11A4 năm học 2013-2014

3.3 Phạm vi nghiên cứu, kế hoạch nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu:

Ứng dụng của phép biến hình trong việc giải một số bài toán viết phương

trình đường tròn.(Áp dụng với đối tượng học sinh khá, giỏi).

Kế hoạch nghiên cứu:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong năm học từ 2013 -2014 (11A4, 11A6, 11A8) và trực tiếp giảng dạy các lớp khối 12 năm học 2014-2015

Thời gian nghiên cứu: Năm học 2013-2014.

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, từ điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu có liên quan đến nội dung

kỹ năng, ứng dụng phép biến hình vào giải toán THPT

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

5 Cấu trúc của đề tài:

Đề tài gồm 3 phần: Mở đầu, Nội dung và Kết luận

Phần Nội dung gồm 2 phần:

I: Cơ sở khoa học của đề tài

II: Thực trạng của đề tài

III: Giải quyết vấn đề

PHẦN II NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông

đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng,

đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh lớp 11 vận dụng phép biến hình vào thực hành giải toán và và biết tư duy tìm ra tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán viết phương trình đường tròn

2 Cơ sở thực tiễn

Trong chương trình môn toán THPT, sách giáo khoa mới trình bày nội dung phép biến hình ở chương I sách giáo khoa hình học lớp 11, đây là nội dung kế tiếp của chương trình hình học lớp 10 sau khi học sinh học xong chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Do vậy cùng với việc trình bày khái niệm các phép biến hình trong chương này học sinh biết được biểu thức toạ độ của các phép biến hình, các bài tập trong chương này cũng chủ yếu là các bài tập sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình để giải quyết, điều đó không chỉ làm giảm tính hàn lâm của việc trình bày các khái niệm về phép biến hình mà còn trang bị cho học sinh một công

cụ giải toán hữu ích, công cụ này làm cho các bài toán như: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng, bài toán tìm đỉnh của hình bình hành, bài toán viết phương trình đường thẳng là ảnh của một đường thẳng cho trước qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, viết phương trình đường tròn là ảnh của một đường tròn cho trước qua qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự và sau này là bài toán tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng, mặt phẳng, ảnh của mặt cầu qua phép đối xứng qua mặt phẳng trong không gian được giải quyết một cách đơn giản, gần gũi

và phong phú hơn Ở đây tôi chỉ đề cập đến việc sử dụng phép biến hình để giải

một số bài toán viết phương trình đường tròn, đây là một bài toán khá mới mẻ và ít gặp

II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tình hình chung việc dạy và học toán ở trường THPT tôi nhận thấy : Việc sử dụng phép biến hình vào giải toán hình học được dạy và học rất ít, cụ thể là chỉ dừng lại ở bài toán tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, một đường tròn qua một phép biến hình bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình Nhiều học sinh khi học về phép biến hình các em thường không biết sử dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn lý thuyết vào thực hành

Qua trao đổi với một số đồng nghiệp thì nguyên nhân ít sử dụng phép biến hình vào giải bài toán viết phương trình đường tròn cho học sinh là do :

• Phần lớn các bài tập trong sách cũng chỉ là dạng cơ bản về viết phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm, bán kính thông qua biểu thức tọa

độ của các phép biến hình Trong các kỳ thi hiện nay, phép biến hình chưa phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa thời lượng chương trình dành cho nội dung này không nhiều nên không có điều kiện để đi sâu thêm các vấn đề

có liên quan.

• Bản thân giáo viên có thể chưa thực sự quan tâm đến nội dung mới mẻ này.

• Mặt khác tài liệu viết về sử dụng phép biến hình để giải toán còn ít.

Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài

Tham khảo trên 50 HS lớp 11A4, Trường THPT Phú Xuyên A, năm học 2013-2014

Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài toán trong mặt phẳng tọa độ yêu

cầu tìm ảnh của một đường tròn qua một đường tròn đã biết em sẽ :

 Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thông qua biểu thức tọa độ

 Cố gắng giải bằng phép biến hình

 Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ hoặc phép biến hình) tùy theo đặc điểm từng bài

Kết quả :

Lựa chọn phương pháp giải tùy theo

Phần lớn HS chưa biết sử dụng phép biến hình để viết phương trình đường tròn

Nguyên nhân :

Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình

Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Xuất phát từ tính chất của các phép biến hình mà ta đã biết

1- Tính chất của phép dời hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối

xứng tâm, phép quay) : Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán

kính

2- Tính chất của phép đồng dạng (phép vị tự): Biến một đường tròn có bán kính

R thành một đường tròn có bán kính k R (k là tỉ số vị tự)

Và hai bài toán quen thuộc:

Bài toán 1

Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C cố định trên (O), A là điểm thay đổi trên (O) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi

Sơ lược cách giải:

Cách 1(Sử dụng phép tịnh tiến)

Gọi BB’ là đường kính của (O) thì B’ là điểm cố định, dễ dàng chứng minh được tứ giác AHB’C là hình bình hành do vậy:uuur uuuurAH =B C' hay T B Cuuuur' ( )A = H

Do tập hợp A là (O) nên tập hợp {H} là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo B Cuuuur '

Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C

B

C

A

H

B' O'

Phân tích:

Nếu biết hai đỉnh và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn đi qua hai đỉnh đó và trực tâm của tam giác

Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm)

Gọi AA’ là đường kính của (O) dễ dàng chứng minh HBA’C là hình bình hành Gọi D là trung điểm của BC thì D là điểm cố định và uuuurDA' = −DHuuuur hay phép đối xứng tâm D biến A’ thành H Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm D Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C

O

O' B

C A

H D A'

Phân tích:

Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đồng thời có thể xác định được các đỉnh

và trực tâm của của tam giác ABC

Cách 3 (dùng phép đối xứng trục)

Gọi AA’ là đường kính của (O), H’ là giao của AH và (O), D là trung điểm của BC Dễ dàng chứng minh được BC song song với A’H’ từ đó suy ra DK là đường trung bình của tam giác HA’H’ vậy BC là đường trung trực của HH’ hay

phép đối xứng trục BC biến H’ thành H Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng trục BC.Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C

O

B

C A

H'

Phân tích:

Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài toán 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , các điểm A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB CMR: A’, B’, C’ thuộc (O)

Sơ lược cách giải

Gọi AA’’ là đường kính của đường tròn (O) , D là giao của AH và BC, I là trung điểm của BC Ta dễ chứng minh được tứ giác HCA’’B là hình bình hành Do

đó I là trung điểm của HA’’, mặt khác D là trung điểm của HA’ nên DI là đường trung bình của tam giác HA’A’’ hay DI //A’A’’ suy ra A A' '' ⊥AA' hay A’ thuộc (O) Tương tự chứng minh B’, C’ thuộc (O)

A

B

C H

A'' A'

B' C'

Phân tích:

Từ bài toán trên ta thấy (O) cố định, H là điểm cố định, D là chân đường cao

hạ từ A của tam giác ta luôn có uuuurHA' 2 = HDuuur hay phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến D thành A’ Như vậy nếu biết trực tâm tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác thì

có thể xác định đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác và ngược lại

Tôi tìm cách giải một số bài toán ví dụ sau:

Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết B(1;-1), C(4;2) và đường

tròn ngoại tiếp tam giác là (C) x2 +y2 − 2x− 4y− = 4 0 Viết phương trình đường tròn

đi qua trực tâm H và hai đỉnh B,C của tam giác

Phân tích: Đây là bài toán có yêu cầu: Viết phương trình đường tròn Khi gặp bài

toán này học sinh sẽ nghĩ đến một trong hai hướng giải sau:

Hướng thứ nhất: Tìm tâm I của đường tròn cần tìm dựa trên các giả thiết của bài toán sau đó tính R= IB hoặc R= IC

Hướng thứ hai: Tìm toạ độ điểm H là trực tâm tam giác ABC sau đó viết phương trình đường tròn qua ba điểm H, B, C

Tuy nhiên giả thiết của bài toán không cho phép làm được các việc trên vì ở đây có vô số tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đầu bài do điểm A không xác định cụ thể Nhưng nếu suy nghĩ kĩ học sinh có thể để ý thấy mặc dù điểm A không xác định cụ thể về vị trí nhưng quỹ tích của A đã xác định và đặt câu hỏi đường tròn cần tìm có liên quan gì đến (quỹ tích của điểm A) đường tròn đã cho?

Và nếu học sinh đã biết bài toán ở trên thì dễ ràng đưa ra ba cách giải cho ví

dụ này như sau:

Cách 1 (Dùng phép tịnh tiến)

B1: Gọi BB’ là đường kính của đường tròn Chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo B Cuuuur '

B2: Tìm toạ độ tâm I và bán kính của (C) từ đó suy ra toạ độ B’ và toạ độ B Cuuuur ' B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức IIuur uuuur' =B C' và viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’ , bán kính R

Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm)

B1: Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm D

B2: Tìm tâm I và bán kính của (C), tìm toạ độ D

B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức DIuuur' = −DIuuur, viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R

Cách 3 (Dùng phép đối xứng trục)

B1: Chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục BC B2: Tìm tâm I và bán kính R của (C), tìm I’ đối xứng I qua BC

B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R

Ví dụ 2 Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Biết trực tâm tam giác là H(2;2)

và đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác là (C): 2 2

4 2 1 0

x +y − x− y+ = .

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách giải:

B1: Chứng minh phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến chân các đường cao của tam giác thành các điểm tương ứng trên đường tròn ngoại tiếp tam giác Suy ra phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác thành đường tròn ngoại tiếp tam giác

B2: Tìm I là tâm, R là bán kính của đường tròn (C), tìm I’ là ảnh của I qua phép vị

tự tâm H tỉ số 2 qua hệ thức HIuuur' 2 = uuurHI, R’=2R

B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R’

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H

a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau

b/ Gọi O O O1 , 2 , 3 là tâm các đường tròn nói trên Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm O O O1 , 2 , 3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hd Giải:

a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì O1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính của chúng bằng nhau

Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O)

b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O O O1 , 2 , 3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác O O O1 2 3

Ví dụ 4 ( bài toán 2-tr17-HH11NC).

Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho MMuuuuur uuur uuur' =MA MB+ Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R)

HD Giải:

- Gọi I là trung điểm của AB Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :

2

MA MB+ = MI

uuur uuur uuur

, suy ra : MMuuuuur' 2 = MIuuur Có nghĩa là I là trung điểm của MM’

- Vì A,B cố định , cho nên I cố định Do đó D M I : →M' Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)

- Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R

Ví dụ 5 ( Bài 17-tr19-HH11NC).

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định (Hay: tìm quỹ tích của H khi

A thay đổi )

Hd Giải: