Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THANH HOÁTRUNG TÂM GDTX TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Đối với lớp 10 N

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRUNG TÂM GDTX TRIỆU SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

(Đối với lớp 10)

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Triệu Sơn SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2016

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Ở LỚP 10

Mục lục trình bày: Trang

1.Mở đầu 1

2 Nội dung 2

2.5 Củng cố lý thuyết 3

2.5.1 Phương trình đường tròn 3

2.5.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 4

2.6 Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải 4

2.6.1 Bài toán về viết phương trình đường tròn 4

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng… 4

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, đường tròn cho trước 6

2.6.2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 9

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn 9

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 9

Dạng 3: Bài toán liên quan đến tiếp tuyến 10

2.7 Một số bài toán để học sinh tự luyện tập 11

2.8 Theo dõi đánh giá kết quả thực hiện 12

3 Kết luận và kiến nghị 12

3.1 Kết luận 12

3.2 Đề xuất và kiến nghị 13

1.Mở đầu

1.1.Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12 và

ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt

phẳng: (phương trình đường thẳng; phương trình đường tròn), tôi thấy nhiều em

không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được những bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần Những bài có tính chất tính chất tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc dù đã được ôn lại

lý thuyết Trong khi đó bài toán có liên quan đến phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn của phần toạ độ trong mặt phẳng lại là một vấn đề quan trọng trong chương trình và luôn có mặt trong các đề thi vào các trường Đại học-Cao Đẳng của các khối thi A, A1, B, D nên rất cần ôn tập tốt cho học sinh vấn đề này

Trong chương trình toán phổ thông; phần “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” các em được học ở lớp 10; cả năm lớp 11, cả năm lớp 12 không được gặp lại Trong một thời gian dài không học nên khi ôn tập các em gần như đã quên hết Hơn nữa khi học phần này ở lớp 10, chương trình sách Giáo khoa do thời lượng ít nên chưa đề cập được hết các vấn đề mà chỉ dừng lại ở vận dụng và

áp dụng công thức, chỉ giải được những bài toán đơn giản; chưa chú ý đến tự bồi dưỡng kiến thức, khi gặp bài toán có tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học phẳng thuần túy và tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học thuần túy để tìm được cách giải

Hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này,đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết khắc phục

Đây là lý do mà tôi đà lựa chọn vấn đề này để viết sáng kiến kinh nghiệm là cấp thiết

1.2.Mục đích nghiên cứu

Giải quyết những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải loại bài tập này.Đưa ra các phương pháp giải mới mà học sinh dễ tiếp cận nhất Giúp học sinh phát triển tư duy toán học sau phần bài tập này Điều quan trọng là: học sinh sẽ có đủ năng lực cũng như sự say mê khi tìm tòi lời giải của những bài toán liên quan cần tư duy cao hơn

1.3.Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu phương trình đường tròn trong mặt phẳng

Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng

1.4.Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Phương pháp thống kê xử lý số liệu

2.Nội dung:

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp giải bài toán phương trình đường tròn được thực hiện trên cơ sở củng cố, phân loại các dạng và thông qua các bài toán cụ thể với thời gian bốn tiết học trên tuần, cùng với việc các em tự giải các bài tập khác

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh học hình là một nhu cầu bức thiết có ý nghĩa quan trọng Tuy nhiên vấn đề này ít được học sinh quan tâm vì nhiều lý do

cả khách quan và chủ quan, từ đó dẫn tới một thực tế là:

Đối với giáo viên: Do nhu cầu hứng thú học hình của học sinh không có

nhưng giáo viên vẫn phải lên lớp tiến hành dạy cho hết bài

Đối với học sinh: Tâm lý chung là không thích học hình, thờ ơ coi thường

môn học chỉ chú trọng vào học Đại số không nghiêm túc trong học tập, không khí học tập không có, thậm chí giáo viên mà lơ là thì học sinh lôi sách môn khác

ra học

Từ những lý do trên dẫn tới hậu quả là học sinh thì ngày càng lười học, học không chỉ để đối phó vì điểm tổng kết Tâm lý coi thường môn học, những hiểu biết về bài tập phương trình đường tròn học sinh rất là mơ hồ Việc giảng dạy của giáo viên ngày càng buồn tẻ, nhàm chán không muốn đầu tư vào chuyên môn do học sinh không muốn học

Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi dạy xong phương trình đường tròn trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 Cụ thể:

Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng

2.3.Giải pháp để giải quyết vấn đề.

Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví

dụ , các bài toán ở các dạng viết phương trình đường tròn; xác định toạ độ điểm qua tương giao của đường thẳng và đường tròn

Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải

Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các tài liệu do giáo viên trình bày

Muốn học sinh hứng thú say mê học môn học phải đổi mới phương pháp truyền tải

Thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với

kỹ năng phân tích, tìm phương pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi học xong lý thuyết “Phương trình đường tròn” ở lớp 10

Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp

12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả học tập tốt hơn Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn

Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các bài tập do giáo viên trình bày, học sinh sau ít phút đọc tài liệu rồi đưa ra đáp án trả lời Sau đó giáo viên chốt ý Tạo nhu cầu hứng thú trong học tập ở mỗi mục cụ thể phải có hình thức dạy học thích hợp vừa sức từng đối tượng học sinh Tạo nhu cầu hứng thú bằng cung cấp cho học sinh các thông tin mới một cách sinh động, mở rộng bài học Rèn luyện kỹ năng, mục tiêu học sinh chủ động tích cực trong học tập

Tạo nhu cầu hứng thú trong bài học đến phần kết thúc bài học giáo viên củng cố lại kiến thức đã học và ra bài tập về nhà cho học sinh và chuẩn bị bài học mới cho tiết sau

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân,đồng nghiệp, nhà trường.

Chính vì vậy rút kinh nghiệm từ vấn đề này tôi đã thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỉ năng phân tích, tìm phương pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi học xong lý thuyết

“Phương trình đường tròn” ở lớp 10

Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp 12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả học tập tốt hơn

Tổ chức thực hiện.

Sau đây là những nội dung của sáng kiến kinh nghiệm tôi vận dụng dạy ở các lớp theo hai phương pháp dạy khác nhau để kiểm chứng kết quả nhận thức

và sự hứng thú học của học sinh

2.5 CỦNG CỐ LÝ THUYẾT:

ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Sau khi học xong bài phương trình của đường tròn thì cho các em ôn tập, rèn luyện kỉ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường tròn:

Cần củng cố lại các vấn đề sau:

2.5.1 Phương trình đường tròn.

Người ta thường dùng 2 dạng sau để viết phương trình đường tròn:

- Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R thì phương trình là:

(x a )2  (y b)2 R2

Hoặc có dạng khai triển:

x2  y2 2ax2by c  với 0 a2   ; Tâm I(-a; -b) bán kínhb2 c

2 2

R a   b c

- Phương trình dường tròn(C): (x a )2  (y b)2 R2; đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ I(a, b) đến (d) là:

2 2

Aa Bb C h

A B





- Nếu h > R thì (d) không cắt (C)

- Nếu h = R thì (d) tiếp xúc (C); (d) được gọi là tiếp tuyến

- Nếu h < R thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

2.5.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Đường tròn (C) : (x a )2 (y b )2 R2; điểm M(x0; y0)

1 Nếu M nằm trên (C) thì tiếp tuyến là đường thẳng (d) đi qua M có pháp

tuyền là IM xuuur( 0 a y; 0 b) nên phương trình tiếp tuyến của (C):

(x0 a x a)(  ) (y0 b y b)(  ) R2

Đường tròn (C) : x2  y2 2ax2by c  thì phương trình tiếp tuến của (C)0 tại M : xx0 yy0 a x x(  0)b y y(  0) c 0

2 Nếu N là điểm nằm ngoài đường tròn (C)

Phương pháp 1: Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(xN; yN) có dạng

A x x(  N)B y y(  N) 0; A2B2 � 0

(d) là tiếp tuyến của (C) khi d(I ; (d)) = R

A a x( N)2 B b y(2 N) R

A B



�

 Giải phương trình này để tìm A ; B

Phương pháp 2: Gọi M nằm trên (C) thì tiếp tuyến của (C)tại M là đường thẳng

(d) có phương trình :

(x0 a x a)(  ) (y0 b y b)(  ) R2 đường thẳng (d) đi qua N

2

�

�

2.6 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN ĐỂ TÌM

CÁCH GIẢI

Việc rèn luyện kỹ năng phân tích và giải bài toán hình giải tích kinh nghiện bản thân cho thấy: Phải luôn xác định cho học sinh quan niệm coi việc viết phương trình của một đường nào đó như vẽ một đường cụ thể trong hình phẳng Như các em đã quen làm, muốn dựng một hình thì phải phân tích trên hình giả

sử có được để tìm cách dựng và thứ tự các bước Chính vì vậy nên khi rèn luyện

kỹ năng giải toán hình giải tích, tôi luôn thực hiện theo hướng này Tôi luôn hướng các em vẽ nháp hình giả sử có được để phân tích tìm cách và thứ tự các bước giải Việc thực hiện được thông qua phân dạng và các loại bài toán sau:

2.6.1.Các bài toán về viết phương trình đường tròn

Dạng 1: Bài toán về thiết lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Đây là loại bài toán cơ bản nhất, ta có thể sử dụng cả hai phương pháp để giải bài tập loại này Thông qua các bài toán cụ thể để hướng dẫn cho học sinh l

uyện tập.

Bài 1: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

A(1; 2), B(5; 2), C(1 ;-3)

Nhận xét: Đường tròn xác định khi biết tâm I và bán kính R Nên các em nghĩ ngay đến việc đi tìm tâm và bán kính bằng việc giải hệ:

IA = IB = IC = R Việc giải hệ này là phức tạp Nên có thể sử dụng ngay dạng khai triển của phương trình đường tròn

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên có một đường tròn duy nhất đi qua 3 điểm này

Phương trình có dạng: x2  y2 2ax2by c 0

Đi qua A, B , C , ta có hệ :

a b c

a b c

a b c

�

�   

�

�   

� Giải hệ ta có 29; 1; 13

a b  c 

Vậy phương trình đường tròn cần tìm : 2 2 29 2 13 0

x  y  x y 

Bài 2:(ĐTĐHQG96) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

biết 3 cạnh AB, BC, AC làn lượt có phương trình

x - 5y – 2 = 0; y =x +2;

y = 8 –x

Nhận xét: Đây là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B,

C không thẳng hàng , nhưng chưa có tọa độ 3 điểm Việc đầu tiên là tìm tọa độ của A, B và C và đưa về bài toán trên

- Cạnh AB cắt AC tại A ; giải hệ ta có A(-3; -1)

- Cạnh AB cắt BC tại B ; giải hệ ta có B(3; 5)

-Cạnh AC cắt BC tại C;

Ta có thể giải hệ tìm tọa độ C và viết phương trình đường tròn theo phương pháp trên Tuy nhiên từ đề bài nhận thấy AC và BC là 2 đường thẳng vuông góc với nhau (Tam giác ABC vuông tại C) để giải thì bài toán giải nhanh hơn

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm I cạnh AB; I(0; 2) ; bán kính R = 1 6 2

2AB Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 (y2)2 72

Bài 3:(ĐTĐHKA-2007) Cho tam giác ABC với A(0; 2), B(-2; -2),

C(4 ; -2), H là chân đường cao kể từ B M, N là trung điểm cạnh AB, BC Viết phương trình đường tròn đi qua H,M,N

Nhận xét, giải: Tìm tọa độ H; M; N

Có thể dễ dàng tìm tọa độ trung điểm M(-1; 0) , N(1; -2)

H là chân đường cao kể từ B nên BH vuông góc AC tại H; H nằm trên AC

Gọi H(x;y) => 1 (1;1)

1

x

BH AC

H y

H AC

�

uuur uuur

Giải theo cách trên ta có:

Phương trình có dạng: x2  y2 2ax2by c 0

Đi qua A, B , C , ta có hệ phương trình:

a b c

a c

a b c

�

�   

�

�    

�

a  b c 

A

B

C H

Vậy phương trình đường tròn là : x2 y2     x y 2 0

Bài 4 : (ĐTCĐ Công Nghiệp Hà Nội -2004) :

Trong hệ Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC lần lượt có phương trình

x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0 Cạnh BC có trung điểm M(-1 ; 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải : tìm tọa độ A,B,C :

Xác định ngay được tọa độ A là nghiệm của hệ :

15

4

x

x y

A

x y

y

� 

�

  

A

B

C M

P

Gọi P là trung điểm cạnh AC; MP//AB ; MP có phương trình :

x + y + m = 0; MP đi qua M nên => m = 0

Tọa độ P là nghiệm của hệ:

3

( ; )

4

x

x y

P

x y

y

� 

�

 

P là trung điểm AC ( 9 1; )

4 4

C 

� Vì M là trung điểm BC ( ; )1 7

4 4

B

� Viết phương trình đường tròn đi qua A,B, C theo cách trên ta có kết quả :

2 2 3 65 0

8

x  y  x y 

Dạng 2 : Viết phương trình đường tròn tiếp xúc đường thẳng, đường tròn cho trước.

Để làm bài tập loại này cần lưu ý cho học sinh :

- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi cách tâm đường tròn một đoạn bằng bán kính

- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính : I I1 2   R1 R2

- Hai đường tròn tiếp xúc trong khi khoảng cách hai tâm bằng trị tuyệt đối hiệu hai bán kính : I I1 2  R1R2

- Đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ I(a, b) đến (d) là:

h Aa Bb C2 2

A B





Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng

(d) : x – 3y – 2 = 0;

(d’): x – 3y + 18 = 0 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A , tiếp xúc với (d) và (d’)

Nhận xét và giải:

Để viết được phương trình đường tròn cần

xác định được tâm I(a,b), bán kính R Khi đó

đường tròn (C) có phương trình:

(x a )  (y b) R

Vì (C) đi qua A

(4a)  (2 b) R IA (1)

�

(C) tiếp xúc với (d) và (d’)

d(I ;(d)) = d(I,(d’))

d'

d

I(a;b) A(4;2)

Ở đây ta nhận thấy rằng nếu ta chọn hệ (1) và (a – 3b - 2)2 = 10R2

Để giải thì bài toán phức tạp và khó hơn nhiều Tuy nhiên ta nhận thấy

(d) // (d’) nên 2R = d((d); (d’))

Chọn M(5; 1) trên (d) => d((d);(d’)) = d(M,(d’)) = 2 10 �R 10

Ta có hệ:

;

a b

a b

�

�

Vậy có 2 kết quả là: ( 1)2 ( 3)2 10; ( 29)2 ( 23)2 10

x  y  x  y 

Bài 2 : (ĐTĐH Huế-1997) Trong hệ tọa độ Oxy.Viết phương trình đường tròn

nội tiếp tam giác ABC biết A(-1 ;7), B(4 ;-3) ; C(-4 ; 1)

Phân tích và giải :

Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác, có

tâm I là giao điểm các phân giác trong, bán kính

R = d(I,AB) = d(I,AC) = d(I,BC)

Vậy tìm I trước hết tìm AB; BC; AC sau đó giải hệ ( ; ) ( , )

d I AB d I AC

d I AB d I BC



�

�

Ta cũng giải được bằng cách lấy giao của 2 phân giác trong

Cụ thể : tìm được phương trình các cạnh :

AB : 2x+y-5=0; BC: x +2y +2 =0; AC; 2x – y+ 9 = 0

Phân giác trong góc B : x + y – 1 = 0 ; của góc C: x- 3y +7 = 0

Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ 1 0

x y

x y

  

�

�   

=> I(-1;2) ; R = d(I; AB) = 5 x y   1 0

Phương trình đường tròn cần tìm là: (x1)2 (y2)2 5

Bài 3 (ĐTĐHKB-2005) Trong hệ tọa độ Oxy Cho hai điểm A(2;0) và

B(6; 4) Viết phương trình đường tròn ( C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

Phân tích và giải :

Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích

Gọi I(a,b)là tâm của (C) tiếp xúc với Ox tại A(2;0) => a = 2 và bán kính

R b �I(2; )b �IB2 25 ( b 2)2  (4 b)2

b  b  b b

Với a = 2; b = 1 �R1�( ) : (C x2)2(y1)2 1

Với a = 2; b = 7 �R7�( ) : (C x2)2  (y 7)2 49

Bài 4(ĐTĐHKB-2009):

Trong hệ Oxy cho đường tròn (C)có phương trình ( 2)2 2 4

5

x  y  va hai đường thẳng d x y1:  0; d x2: 7y  Viết phương trình đường tròn có 0 tâm I mằm trên (C) và đồng thời tiếp xúc với d1; d2

Phân tích và giải :

Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm

được để phân tích

Tương tự trên , Gọi I(a,b) là tâm của

đường tròn (C’) cần tìm

Vì I trên (C) ( 2)2 2 4

5

a b 

(C’) có phương trình:

(x a ) (y b ) R

d2

d1 I(a.b)