Mot so cau hoi tiep tuyen do thi ham so

Kiểm nghiệm rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Giải hệ tìm được.[r]

Một số câu hỏi về tiếp tuyến đồ thị hàm số PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số: y = f(x) có đồ thị là (C), điểm Mo(xo ; f(xo))  (C)

1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến của

đồ thị hàm số đó tại điểm Mo(xo ; f(xo))

2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M o (x o ; f(x o )) là:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại điểm Mo(xo ; f(xo)) có phương trình là:

3) Điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

a) Định nghĩa: Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0 Ta

nói rằng hai đường cong yf x( ) và y g x ( ) tiếp xúc với nhau tại điểm M x y( ; )0 0 nếu M là một điểm chung của chúng và hai

đường cong có tiếp tuyến chung tại M Điểm M được gọi là tiếp

điểm của hai đường cong đã cho

b) Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau:

Hai đường cong yf x( ) và y g x ( ) tiếp xúc với nhau khi và

chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:











( Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm)

PHẦN II: một số dạng cơ bản

Bài toán 1: ( Biết tọa độ tiếp điểm)

Cho đồ thị (C) của hàm số yf x( ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x f x( ; ( ))0 0

Cách giải: +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng:

+) Tính f x'( ) và tính f x'( )0 +) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 x2 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(0; 2)

Bài giải:

Ta thấy A(0;2)  (C)

Ta có: y' 3 x2  1 ; y'(0)1 Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y x2

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3 6x29x, có đồ thị là (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ

thị có hoành độ x = 2

Bài giải:

Gọi điểm

( ; ) ( )

2 2

y x



Ta có: y' 3 x2  12x ; y'(2)3 Phương trình tiếp tuyến cần lập là:

Ví dụ 3: Cho hàm số

2

1

y x





Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của đồ thị với trục hoành

Bài giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của

phương trình:

2

0 1

x





0 1

x x







Ta có:

2

2

'

y

x





1 '(0) 1; '(1)

2

Các phương trình tiếp tuyến cần lập là: y x

Nhận xét: Khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở dạng này cần

kiểm tra xem điểm đã cho thuộc đồ thị hàm số chưa?

Nếu cho hoành độ của điểm thì phải tìm tung độ còn nếu cho tung

độ thì phải tìm hoành độ

Bài tập tương tự:

1) Cho hàm số y x 3 3x2

Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm trên đồ thị có tung độ

y = - 4

2) Cho hàm số y  x32x2  1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là tâm dối xứng của đồ thị hàm số

3) Cho hàm số y x 4  2x2 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị hàm số

Bài toán 2: ( Biết hệ số góc)

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc là k

Cách giải: +) Tính y'f x'( )

+) Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình:

0

'( )

+) Giải phương trình tìm được x0, từ đó tìm được , từ đó tìm

được y0 f x 0

+) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập: y k x x (  0)y0

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số

1

x y x







Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x1

Bài giải:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x1 nên có hệ số

góc là: k = -3

3 '

y x





 ;  x 1

Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: 0 2

3

3 (x 1)







0 2

0

0

0

2

x x

x









Với x0 = 0  y0 y(0)1, phương trình tiếp tuyến cần lập là:

y x

Với x0 = 2 y0 y(2) 5 , phương trình tiếp tuyến cần lập là:

Ví dụ 2: Cho hàm số

3 2

1

3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

1 1 3

Bài giải:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 1 3

nên có hệ

số góc k = 3

Ta có: y'x2  4x3

Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: x2  4x 3 3

4

x

x







Với x0  0 y0 0, phương trình tiếp tuyến cần lập là: y3x

Với x0 = 4 0

4 3

y

, phương trình tiếp tuyến cần lập là:

4

3

hay

32 3

3

y x

Ví dụ 3: Cho hàm số

3

Tìm trên đồ thị điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Bài giải:

Từ giả thiết ta có hệ số góc của tiếp tuyến cần lập là: k = 3

Ta có y'x2  1

Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình:

0 2

0

0

2

1 3

2

x x

x







Với x = -2, ta có y = 0

Với x = 2, ta có

4 3

y 

Vậy có hai điểm cần tìm:

4 ( 2;0); (2; )

3



Ví dụ 4: Cho hàm số: y 2x33x2  1

Tìm trên đồ thị điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

Ta có y' 6 x26x

=

2 1 3 6

= 6

2

x

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị đã cho nhỏ nhất bằng

3 2



đạt được khi

1

2

x 

Điểm cần tìm là:

;

Nhận xét: Dựa vào bài toán tiếp tuyến biết hệ số góc ta tìm được tiếp điểm của

đồ thị hàm số với tiếp tuyến

Bài tập tương tự:

1) Cho hàm số y x 3 3x22

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x 13

2) Cho hàm số

3

1

1 3

Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

3) Cho hàm số

3 2

1

3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là tâm đối xứng của đồ thị và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất

Bài toán 3: (Biết đi qua một điểm)

Cho hàm số y f x( ), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm M x y( ; )1 1

Cách giải:

Cách 1: (Dùng điều kiện tiếp xúc)

+) Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y( ; )1 1

và có hệ số góc k : y k x x (  1) y1

+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ

khi hệ phương trình sau có nghiệm:

1 1

'( )









+) Giải hệ phương trình tìm được x và k suy ra phương trình

tiếp tuyến

(Nghiệm x của hệ chính là hoành độ tiếp điểm)

Cách 2:

+) Gọi tọa độ tiếp điểm là: ( ; ( ))x f x0 0

Thì phương trình tiếp tuyến có dạng: y f x'( ).(0 x x 0) f x( )0

+) Vì tiếp tuyến đi qua điểm M x y( ; )1 1 nên ta có:

+) Giải phương trình tìm được x0  f x( )0 suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3  3x2 2 Viết phương trình của đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 0)

Bài giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 0), hệ số góc k phương trình có

dạng: y k x (  1)

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ

phương trình sau có nghiệm:

3 2

2







Thế k từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

2

1

x

Với x = 1, ta được k = - 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y3x3

Nhận xét: Thấy A( 1; 0) thuộc đồ thị hàm số nên hệ phương trình luôn

có nghiệm x = 1

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3  3x

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm M( - 1; 2)

Bài giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M( - 1; 2), hệ số góc k có phương

trình là: y k x ( 1) 2

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình

sau có nghiệm:

3

2







Giải hệ tìm được : x1,k 0

,

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là:

2

y









Ví dụ 3: Cho hàm số y2x33x2  12x 1

Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm tại M

đi qua gốc tọa độ

Bài giải:

Đường thẳng d đi qua gốc 0(0; 0), hệ số góc k phương trình có

dạng: y kx

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình

sau có nghiệm:

3 2

2





Giải hệ tìm được x 1 yf( 1) 12 

Vậy điểm cần tìm là: M ( 1;12)

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 4  x2 1

Tìm mọi điểm trên trục tung sao cho qua mỗi điểm đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài giải:

Gọi điểm M(0; )b oy

Đường thẳng đi qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng:

y kx b 

Đường thẳng là tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:

4 2

3

1







Dùng phương pháp thế ta được phương trình:

4 2

3x  x  b 1 0 (*)

Để kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt

Đưa phương trình (*) về pt: 3t2  t b  1 0 (**)

Để thỏa mãn bài toán thì pt(**) phải có 2 nghiệm: 0 t 1 t2

0

(0) 0

0

g

S

 





 

1 0 3

b







 



Vậy điểm cần tìm là: M(0;1)

Ví dụ 5: Cho hàm số

1 1

x y x







Tìm trên trục tung điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

Bài giải:

Gọi điểm M(0; )b oy

Đường thẳng đi qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng:

y kx b 

Đường thẳng là tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:

1

1

2

x

kx b x

k x





 









Dùng phương pháp thế đưa về phương trình:

2

(b 1)x  2(b1)x b  1 0 (*)

Để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng một nghiệm khác 1

+) Nếu b 1: Phương trình (*) có đúng một nghiệm x =

1 4

+) Nếu b = 1: Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm

' 0 (1) 0

1 ' 0

(1) 0

g

b g

  











  

 



 



Vậy điểm cần tìm là: M(0;1); M(0; 1)

Bài tập tương tự:

1) Cho hàm số y x 3 3x24 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(0; 4)

2) Cho hàm số

3 2

1 3

Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số xuất phát từ điểm A(3; 0)

3) Cho hàm số

3

1

3 4

Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số có hoành độ

2 3

x  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và là tiếp

tuyến của đồ thị hàm số

4) Tìm trên trục hoành các điểm sao cho từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến

đến đồ thị hàm số:

2 3 2

y

x

 





5) Cho đồ thị của hàm số

2 1

x y

x





Viết phương trình các tiếp tuyến của

đồ thị hàm số kẻ từ điểm A(2;0) Kiểm nghiệm rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Giải hệ tìm được