bài toán khoảng cách trong câu hỏi phụ của đồ thị hàm số

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG CÂU HỎI PHỤ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. Trong các đề thi đại học-cao đẳng, câu hỏi liên quan tới đồ thị hàm số luôn là bài toán khó đối với đa số học sinh do phạm vi

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG CÂU HỎI PHỤ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trong các đề thi đại học-cao đẳng, câu hỏi liên quan tới đồ thị hàm số luôn là bài

toán khó đối với đa số học sinh do phạm vi của nội dung câu hỏi là khá rộng, tích hợp nhiều kiến thức của chương 1 giải tích lớp 12 và để giải được đến kết quả cuối cùng thì học sinh cần thông thạo kiến thức từ lớp dưới như khả năng biện luận trường hợp, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,dùng định lý Viet, sử dụng kiến thức hình học phẳng Để làm tốt câu hỏi này, các em cần phân dạng các bài tập, sau đó rèn luyện các bài tập mang tính tổng hợp của chương và tất nhiên các kiến thức liên quan nói trên

phải được mài giũa một cách thành thạo.Sau đây tôi xin đề cập đến dạng BÀI TOÁN

KHOẢNG CÁCH TRONG CÂU HỎI PHỤ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT

1 Cho hai điểm ( ) ( ) ( ) (2 )2

A x y B x y ÞAB= x -x + y -y

2 Cho điểm M x y( 0 ; 0) và đường thẳng d : Ax +By+C=0 , thì khoảng cách từ M đến d :

Ax

h M d

A B

+

3 Khoảng cách từ M x y( 0 ; 0) đến tiệm cận đứng : x=a là h= x0-a

4 Khoảng cách từ M x y( 0 ; 0)đến tiệm cận ngang : y=b là : h= y0-b

5 Chú ý : Hai điểm A và B thường là hai điểm cực đại , cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong (C) nào đó Vì vậy trước khi áp dụng công thức , ta nhất thiết phải tìm tọa độ của chúng ( Tìm điều kiện tồn tại A và B )

- Nhớ điều kiện tồn tại hai điểm cực trị cho hàm phân thức và hàm đa thức

- Khi tìm giao hai đường : Lập phương trình hoành độ điểm chung , sau đó tìm điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt

II VẬN DỤNG:

Dạng 1: Cho hàm số y=f(x) dạng phân thức có đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc 2 nhánh khác nhau sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

CÁCH GIẢI

- Giả sử (C) có tiệm cận đứng : x=a Do tính chất của hàm phân thức , đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng Cho nên gọi hai số a b , là hai số dương

- Nếu A thuộc nhánh trái x A< Þa x A = - < Îa a a ( )C , và

- B thuộc nhánh phải x B > Þa x B = + > Îa b a ( )C

- Tính : y A = f x( A);y B = f x( B) ; Sau đó tính

2

AB = x -x + y -y = éë b+ b - a- a ùû + y -y

- Khi đó AB có dạng : 2 ( )

; ;

AB =géë a b+ a b a b + ùû Áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có kết quả cần tìm

Ví dụ 1 Cho hàm số 3 6 ( )

1

x

+

Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất

GIẢI

Gọi A thuộc nhánh trái x A < Þ 3 với số a > 0, đặt

( )

A

x

a

Tương tự B thuộc nhánh phải xB > 3, với số b>0 , đặt :

( )

B

x

b

-Vậy :

é æ ö æ ö ù

= - + - = éë + - - ùû +êç + ÷- -ç ÷ú

AB2 = (a + b)2 + (

b a

6

6 + )2 = (a + b)2 + 36(a + b)2 21 2

b

2

2 + + ) (1+

2 2

36

b

³ (2ab + 2 ab)(1+

2 2

36

b

a ) = 4ab + ab

144 ³ 48( theo bđt côsi)

- Dấu đẳng thức xảy ra khi :

ïî

ï

í

ì

=

=

ab

ab

b

a

144

î í

ì

=

= 36 ) ( ab 2

b a

Û a = b = 6

Do đó ta tìm được hai điểm : A(3- 6; 1- 6) ; B(3+ 6; 1+ 6)

2 DẠNG 2

Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất

CÁCH GIẢI

- Gọi I thuộc (C) ÞI x y( 0 ; 0 = f x( 0 ))

- Tính khoảng cách từ I đến d : ( ) 0 0

Ax

g x h I d

A B

+

- Khảo sát hàm số y=g x( )0 , để tìm ra min

2

x x

+ +

+ + Tìm điểm M trên (C) sao cho

khoảng cách từ M đến d : y+3x+6=0 là nhỏ nhất ?

GIẢI Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C) , thì : ( ) 1

2

M x y y x

x

+

- Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) :

( )

x y

+ +

+) Khi x>-2 ,x+2>0

( )2

5 2

3

2 2

x

x

é = < -ê

-êë

Vậy : min(M;d)= 4

10, khi x=-3/2 +) Khi x<-2 , thì x+2<0

Do đó min(M;d)= 4

10 khi x=-3 Tóm lại : min(M;d)= 4

10 khi x=-1 và x=-3 Có hai điểm M là M(-1;2) và M(-3;-2)

Ví dụ 3 ( ĐH-KA-2005)Cho hàm số 1 ( )

m

x

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1

b Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên của ( )C m bằng

1

2

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b.Ta có :

2

= - = Û = Þ > Qua bảng biến thiên , ta thấy điểm cực tiểu là

1

; 2

m

- Tiệm cận xiên của ( )C m là d : y=mx

1

( ; )

1

m

h M d

m

+

- Kết luận : Với m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1

b Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 20

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Ta có :

2

0

1 1 1

2

x x

y

x

=

= - + = + = Û ê = -ë Không phụ thuộc vào m , hay nói một cách khác là với mọi m hàm số luôn có cực đại tại A(-2;m-3 ) và điểm cực tiểu

B(0;m+1)

- Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là AB

Ví dụ 5.(ĐHKD-2003 có bổ sung) Cho hàm số 2 2 4 4 ( )

x x

- +

-a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2 GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b.- Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là

2

2

2 4

2

x x

x

- +

Để tồn tại A,B thì :

1 0

1

4 4 0 (2; ) 4

m

m

m

g m

- ¹

ì

- >

î

î

- Khi đó :

m

2

1

m

-2

1 0

1

m

m

m m

- =

é

- + =

ë Vi phạm điều kiện (*) Cho nên không tồn tại m

Ví dụ 6 Cho hàm số 2 1 3 ( )

2

x

+

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB nhỏ nhất GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :

( )

2

2 1

2

x

x

+

* 3

2 ( 2; ) 2 3 0

2

m

m m

ì + >

ìD = - - - >

¹

A x - +x m B x - +x m Þ AB = x -x + x -x = x -x

AB= x -x = D = m + ³ = Û =m

Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6

DẠNG 3: Cho y=f(x) có đồ thị (C) Tìm điểm M trên (C) sao cho

Khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung CÁCH GIẢI: Tập hợp các điểm M có khoảng cách tới trục hoành bằng k lần khoảng

cách tới trục tung là các đường thảng y = kx và y = -kx Nên điểm M cần tìm là giao điểm của (C) và 2 đường thẳng nói trên

( )

g x k

y kx

y k x

y kx h x k

= é

= é

= Û ê = -ë Þ ê êë =

- Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả

1

x

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Theo giả thiết ta có :

0 2

2

2

ô n 3

1

x

v x

x x

Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ : 2 10 2 10

x=- - Ú =x - +

, thỏa mãn yêu cầu bài toán

2

x x

+ +

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy

Trên đây là một số bài toán liên quan tới khoảng cách thường gặp, các em tham khảo.Chúc các em thành công