Lập phương trình Δ là ta tìm Hệ số góc k khi cho biết tiếp điểm hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm x0;y0 khi cho biết hệ số góc k.. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α cho trước.có hai đư
Trang 1TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
(Các hàm số đã học )
LAISAC biên soạn
Lập phương trình tiếp tuyến Δ của của đường cong (C) có hàm số y = f(x)
Lập phương trình Δ là ta tìm Hệ số góc k ( khi cho biết tiếp điểm) hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm (x0;y0) (khi cho biết hệ số góc k)
Ta thường thấy các dạng toán yêu cầu lập phương trình tiểp tuyến
Vấn đề 1 Tại điểm M 0 (x 0; y 0 )∈(C).
Trường hợp này M0 chính là tiếp điểm , có duy nhất một tiếp tuyến có phương trình
y = f’(x0).(x – x0) + y0 (1)
Lưu ý : (x0;y0) là tiếp điểm và f’(x0)= k là hệ số góc của tiếp tuyến
Vấn đề 2 Qua điểm N(x 1 ;y 1 )
Trường hợp này N(x1;y1) không nhất thiết là tiếp điểm nên có thể có nhiều hơn một tiếp tuyến qua N , ta thường sử dụng hai cách giải sau :
+Dùng công thức (1).Tiếp tuyến qua N nên thoả y1 = f’(x0).(x1 – x0) + y0 Giải phương trình này ta tìm x0, suy ra các toạ độ tiếp điểm rồi vận dụng trường hợp 1
+Hệ tiếp xúc
Giả sử k là hệ số góc nên phương trình tiếp tuyến Δ qua N có dạng y = k.(x – x1) + y1
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình: (2)
) ('
) ( )
⎩
⎨
⎧
=
+
−
=
k x f
y x x k x f
Suy ra f(x) = f’(x)(x – x1) + y1 (3)
+Phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm (tiếp điểm) là có bấy nhiêu tiếp tuyến
+Điểm N(x1;y1) có thể thuộc đường cong
Vấn đề 3 Có hệ số góc k cho trước
a Cho trực tiếp ,hệ số k = a (hằng số) cho trước
b.Cho gián tiếp
Ví dụ : Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d): ax + by + c = 0
⇒suy ra hệ số góc Δ
b
a
k −= (song song) hoặc
a
b
k = ( vuông góc)
c Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α cho trước.(có hai đường thẳng Δ lần lượt có hệ
số góc k1 =tgα ;k2 =−tgα,)
Phương pháp giải có thể vận dụng phương trình (1) hoặc hệ (2)
Tất cả hai trường hợp này đều giải phương trình k = f’(x) để tìm x (tiếp điểm)
Vấn đề 4.Tìm trên trục ,đường thẳng cho trước những điềm qua đó kẽ đến (C) một tiếp tuyến ,hai tiếp tuyến vv…
) ('
) ( ) (
1 1 1
k x f
y x x k x f
+
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
+
−
=
Qua N có bao nhiêu tiếp tuyến khi và chỉ khi phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm
Các ví dụ, bài tập minh hoạ :
Bài 1 Cho đường cong (C) có hàm số y = x3 – 3x2 + 2
1 Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C)
2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; 3)
3 Lập tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ hai của hệ trục Oxy
4 Tìm trên trục tung các điểm từ đó kẽ đến (C) đúng hai tiếp tuyến phân biệt
Bài 2.Cho đường cong (C) cóhàm số
2
1 2
+
− +
=
x
x x
Trang 2Gọi M là một điểm bất kì trên (C),Giả sử tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A
và B.Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị
1.Chứng minh :IA = IB
2 Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi
Bài 3.Giả sử A và B là hai điểm trên đồ thị (C) có hàm số
1
2 2 2
−
+
−
=
x
x x
y ,lần lượt có hoành độ tương ứng là x1 ,x2 sao cho x1 + x2 = 2 Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A bà
B song song với nhau
Bài 4.Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số .
1
1 1 + +
−
=
x mx
y = x tại hai điểm phân biệt A,B mà tiếp tuyến tại A,B song song với nhau
Bài 5.Cho hàm số y = x3 – (m+1)x2 + (m – 1)x + 1
1 Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất
2 Chứng tỏ rằng với mọi giá trị m ≠0,đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A,B,C trong đó B,C có hoành độ phụ thuộc tham số m.Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau
Bài 6.Cho đường cong (Cm) có hàm số : 2 (1 ) 1
2
m x
m x
m x
y
−
+ +
− +
tại hai điểm và tiếp tuyến với (Cm) tại hai điểm đó vuông góc nhau
HD.Chứng minh và sử dụng công thức '2
v
v u
y =
Bài 7 Cho đường cong (Cm) 2 2 (1 ) 1
m x
m x
m x
y
+
−
+ +
− +
= Chứng minh rằng với ∀m≠1 các đường cong (Cm) luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định tại một điểm cố định
Bài 8.Tìm tất cả các điểm trên đồ thị y = (x – 1)2(x – 4) mà qua đó kẽ được một và chỉ một tiếp tuyến với đò thị
HD.Phương trình y = y’(x0).(x – x0) + y0 có đúng một nghiệm ẩn x=x0 =2là điểm uốn Bài 9 Bài 9.Cho hàm số y=
1
2
−
x
x
có đồ thị ( C ) 1.Tìm trên trục tung các điểm sao cho qua đó kẽ đến ( C ) đúng một tiếp tuyến
2.Tìm trên đồ thị ( C ) một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất
HD.2.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy,chú ý tích IA.IB là hằng số
Bài 10 Cho đường cong (C) có hàm số y = x3 – 3x2 + 2
1.Lập phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 450
2.Tìm trên đường thẳng y = -2 những điểm từ đó kẽ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc
Bài 11 Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẽ được ba tiếp tuyến với đồ thị của
hàm số y = x4 – x2 + 1
Bài 12 Định tham số m để đường cong có hàm số y = x3 - 3mx2 +3m + 1 nhận trục Ox là tiếp tuyến của đồ thị
HD.Giải hệ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
= + +
−
0 6
3
0 1 3 3
2
3
mx x
m mx x