Dạy thêm toán 11 D3 3 cấp số CỘNG

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng.. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng.. Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng.. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó.?

TOÁN 11 CẤP SỐ CỘNG

1D3-3

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG 1

DẠNG 2 TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG 2

DẠNG 3 TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG 3

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 5

DẠNG 5 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 8

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 10

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG 10

DẠNG 2 TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG 12

DẠNG 3 TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG 13

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 15

DẠNG 5 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 19

PHẦN A CÂU HỎI

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG

Câu 1 (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019)Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A 1; 2; 4; 6; 8    B 1; 3; 6; 9; 12.    C 1; 3; 7; 11; 15.    D 1; 3; 5; 7; 9   

dãy số nào không phải cấp số cộng?

A

1 3 5 7 9

; ; ; ;

Câu 3. Xác định a để 3 số 1 2 ; 2 a a21; 2 a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

A Không có giá trị nào của a B

3 4

a 

3 2

a 

Câu 4. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A u n 3n22017.

B u n 3n2018

n n

  n

n

Câu 5. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

A  u n :u n 1

n



u n

Câu 10 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)Tam giác ABC có ba cạnh a , b,

c thỏa mãn a2, b2, c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng Chọn khẳng định đúng trong

Câu 19 (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019)Cho cấp số cộng u có các số hạng đầu lần n

lượt là 5;9;13;17; Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng? n

Câu 26 (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng  u n

Câu 31 (Phát triển đề minh họa 2019_Số 1)Cho cấp số cộng  u n

có số hạng đầu u  và công sai1 2

Câu 47. Cho cấp số cộng u có công sai n d 2 và biểu thức u22u32u42 đạt giá trị nhỏ nhất Số 2018 là

số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u ? n

Câu 49 (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018)Một cấp số cộng  u n

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 51 (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng  u n có u  và công sai1 1

2

d  Tổng S10 u1u2u3 u10 bằng:

Câu 52 [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số  u n là một cấp số cộng có u  và công 1 3

sai d 4 Biết tổng n số hạng đầu của dãy số  u n là S  n 253 Tìm n.

A

1 9 5

Câu 55 (PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng  u n có số

hạng đầu u  và công sai 1 3 d  Tổng của 2019 số hạng đầu bằng2

A 4 080 399 B 4 800 399 C 4 399 080 D 8 154 741

Câu 56 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho  u n

là cấp số cộng biết u3u1380 Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

Câu 57. Cho cấp số cộng  u n

với số hạng đầu u 1 6 và công sai d  Tính tổng S của 14 số hạng 4.

đầu tiên của cấp số cộng đó

Câu 58 (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019)Cho cấp số cộng  u n

Câu 65 (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019)Cho cấp số cộng  u n có u 4 12; u  14 18

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A u n  1 4n B u n 5n C u n  3 2n D u n  2 3n

số hạng đầu S n tính theo công thức S n =5n2+3 ,n n( Î ¥*)

Tìm số hạng đầu u1 và công sai d

của cấp số cộng đó

A u1=- 8;d=10. B u1=- 8;d =- 10.C u1=8;d =10. D u1=8;d=- 10.

Câu 69 (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng  u n

Câu 71 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng  u n và gọi S là tổng n n số hạng

đầu tiên của nó Biết S 7 77 và S 12 192 Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng đó n

là một cấp số nhân với công bội bằng 1

Câu 73 (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 1 8 15 22   x7944



S

200201



S

198199



S

99199



S

Câu 76. Cho tam giác đều A B C có độ dài cạnh bằng 4 Trung điểm của các cạnh tam giác 1 1 1 A B C tạo 1 1 1

thành tam giác A B C , trung điểm của các cạnh tam giác 2 2 2 A B C tạo thành tam giác 2 2 2 A B C … 3 3 3

Gọi P P P1, , , 2 3 lần lượt là chu vi của tam giác A B C , 1 1 1 A B C , 2 2 2 A B C ,…Tính tổng chu vi3 3 3

1 2 3

P P P  P 

DẠNG 5 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 77 (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018)Hùng đang tiết kiệm để mua một cây

guitar Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8

đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?

Câu 78 (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018)Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018, một công ty sữa

muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5, từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp

từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên) Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Câu 79 (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018)Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện

việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công

ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti

A 83,7 (triệu đồng) B 78,3 (triệu đồng) C 73,8 (triệu đồng) D 87,3 (triệu đồng)

Câu 80 (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình

tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là

Câu 81 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu

tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Câu 82 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)Cho 4 số thực , , ,a b c d là 4 số hạng liên tiếp của một

cấp số cộng Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 Tính

A - 20 B - 6 C - 8 D - 24.

Câu 84 (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh

lập thành một cấp số cộng Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

Câu 85 Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1,3,5, từ trên xuống

dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mô hình như hình bên dưới) Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

Câu 86 (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018)Người ta trồng 1275 cây theo hình tam

giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3có 3 cây,.hàng thứ k có

k cây k 1  Hỏi có bao nhiêu hàng ?

Câu 87. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019)Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như

sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao nhiêu hàng cây

Câu 88 (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết

định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1viên Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

A.

Câu 89. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng

thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

Câu 90. Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16, và

1, 6, 11, 16, 21, Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?

Câu 91 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày

01 tháng năm An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016)

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3xy y 2 Tính

n

u u

u

 

 với mọi n  Giá trị nhỏ nhất của n 1

để

12018

có v  và công sai 1 2 d  Gọi ,3 X Y là tập hợp chứa

1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp

X Y Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

Đáp án C: Là cấp số cộng với u18;d  2

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: u n1 u nd u n1 u n d,  n 1, d const

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: u n 2n 3, n thì:1

là cấp số cộng (B đúng)Với dãy số 3 ,n  *

không là cấp số cộng (C loại)

Với dãy số 3 1  *

,2

4 sinR A 4 sinR C 2.4 sinR B

Vậy sin A2 , sin B , 2 2

.Vậy n 289

u u

u d

Câu 41. Từ giả thiết u  và 2 3 u  suy ra ta có hệ phương trình: 4 7

u d

B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A

25,

u d

S      

u d

u d n

u d

Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án  a n

là một cấp số cộng với công sai bằng 4

DẠNG 5 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 77. Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la Như vậy Hùng cần thêm 358 : 8 44,75 tuần

Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền

Câu 78. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:

Áp dụng công thức 1 3 5 (2    n1)n2.

Suy ra n 30.

Vậy 2n  1 59.

Câu 79. Ta có 3 năm bằng 12 quý

Gọi u ,1 u , …, 2 u là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12).12

Suy ra  u n là cấp số cộng với công sai 4,5

Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là

1 12

Câu 80 Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng  u n

với số u là số cây ở hàng thứ n n và u  và công sai 1 1 d 1

Tổng số cây trồng được là: S  n 465  1

4652

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30

Câu 81. Gọi u u1, , 2 u lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba 30

mươi Ta có công thức truy hồi ta có u n u n14n2,3, ,30

Dấu " " xảy ra khi d  6

Vậy giá trị nhỏ nhất của u u1 2u u2 3u u3 1 là 24

Câu 84 Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a d , a , a d 0 d a  

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a 3  a 1

Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có 1d2  1 d212  4d 1

14

Giả sử 1089 được xếp thành n hàng Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của

một cấp số cộng ( )u n với số hạng đầu u1= công sai 1 d=2 Do đó

Giả sử trồng được n hàng cây n1,n  

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u  và công sai 1 1 d  1

Theo giả thiết:

n n

Câu 91. Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến

ngày 30 tháng 4 năm 2016) là 31 29 31 30 121    ngày

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u 1 100.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u 2 100 1.100

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u 3 100 2.100

…

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: u n u1n 1d 100n 1 100 100n

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u 121 100.12112100.

Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu u 1 100, công sai d 100.

Vậy số tiền An tích lũy được là 121  1 121

1212

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x2y2  1Đặt xsin ,ycos

Từ giả thiết suy ra u n 0, n 1

Ta có

1

n n

n

u u

u

 

,    n 1

2 2

1

n n

n

u u

v u



12018

n

u 



2 2

12018

n

2 2

2018

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn điều kiện là 4072325

Câu 95. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X Yta có C20002 cách chọn.

Gọi 2 phần tử bằng nhau trong ,X Y là u và k v l

Do u k v l Þ 3 2 k1  2 3l1 Þ

312

2000

3331,665832916.10

C



