Dạy thêm toán 11 D3 4 cấp số NHÂN

Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.. Tính tổng 1

TOÁN 11 CẤP SỐ NHÂN

1D3-4

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN 1

DẠNG 2 TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN 2

DẠNG 3 TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN 3

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 6

DẠNG 5 KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG 8

DẠNG 6 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 8

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 12

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN 12

DẠNG 2 TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN 13

DẠNG 3 TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN 14

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 18

DẠNG 5 KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG 21

DẠNG 6 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 22

PHẦN A CÂU HỎI

DẠNG 1 NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN

Câu 1. Trong các dãy số  u n

sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

1

Câu 2. u được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân? n

1 2

n n

u  

2

n

u n 

1 1 2

n n

2

n

u n 

n

n

u 

Câu 4. Cho dãy số ( )u n có số hạng tổng quát là 3.2n 1 ( *)

n

u = + " Î n

Chọn kết luận đúng:

A Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1=12.

B Dãy số là cấp số cộng có công sai d=2.

C Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1=6.

D Dãy số là cấp số nhân cócông bội q=3.

Câu 5. Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?

Khẳng định nào sau đây là sai?

A Dãy số không phải là một cấp số nhân

B Dãy số này là cấp số nhân có 1

11; q=

D Là dãy số không tăng, không giảm

Câu 7. Tập hợp các giá trị x thỏa mãn , 2 , x x x  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là3

x 

B

13

x 

phát biểu nào là sai?

A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

C Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương

Câu 11. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2 x 3; x ; 2x3 lập thành

cấp số nhân

C x  3 D không có giá trị nào của x

sin6

, cos, tan theo thứ tự đó làmột cấp số nhân Tính cos 2

A

3

32

.DẠNG 2 TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN

Câu 13. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm công bội 9 của một cấp số nhân  u n

có 1

12

q 

12

q 

23



q

B q2. C q4. D q1.

Câu 16. Cho ba số thực x y z, , trong đó x  Biết rằng 0 x y z, 2 ,3 lập thành cấp số cộng và x y z, , lập

thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó

A

113

q q

q q

Câu 19. Cho cấp số nhân  u n có số hạng đầu u 1 2

và công bội q 5 Giá trị của u u6 8 bằng

Câu 20. Cho cấp số nhân  u n có u  , công bội 1 3 q 2 Ta có u bằng5

có công bội dương và 2

14

u 

, u  4 4Giá trị của u là1

A 1

16

u 

116

u 

116

u 

12

u 

Câu 22. Cho cấp số nhân  u n có số hạng đầu u  và công bội 1 2 q 3 Giá trị u2019 bằng

Câu 24 (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân  u n có số hạng đầu u  và công1 5

bội q 2 Số hạng thứ sáu của  u n

u 

C u 1 96. D 1

2173

u 

Câu 26 (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018)Cho dãy số  u n xác định bởi

1 1

Câu 28. Cho cấp số nhân  u n ,n1

với công bội q 2 và có số hạng thứ hai u2 5. Số hạng thứ 7 củacấp số nhân là

tiên Tổng hai số hạng đầu tiên là 34 Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng:

biết u  , 1 12

3 8243

u

u  Tìm u 9

A 9

22187

u 

46563

u 

C u 9 78732. D 9

42187

Câu 32 (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân  u n

biết

54108

q 

110

B

110

q

, 10n 1n



C

110

q

,

 1

110

q 

110

q 

, 1

12

u 

12

q 

, 1

12

u 

C q  , 4 1

116

u 

D q  , 4 1

116

q 

Số

81128

Câu 41. Cho cấp số nhân  u n

có tổng n số hạng đầu tiên là S   n 6n 1 Tìm số hạng thứ năm của cấp

C 1

5, 3729

Câu 44. Cho dãy số  u n

được xác định bởi u 1 2; u n 2u n13n 1 Tìm số hạng thứ 2019 của dãysố

DẠNG 4 TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 46. Cho cấp số nhân  u n

có u 1 3 và q 2 Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

không âm thỏa mãn u  , 2 6 u 4 24 Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

n n

Câu 50 (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho  u n

là cấp số nhân,đặt S n  u u1 2  u n Biết S2 4;S3 13và u  , giá trị 2 0 S bằng5

A

76

S 

B

67

S 

C

67

S 

D

76

được một cấp số nhân Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là

13



Câu 62. Giá trị của tổng 7 77 777 77 7+ + + + (tổng có 2018 số hạng) bằng

U 

và 1

1.3

Câu 66 (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số ( )u thỏa mãn n

số cộng có công sai là 2 Nếu tăng số thứ nhất thêm 1, tăng số thứ hai thêm 1 và tăng số thứ bathêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một cấp số nhân Tính a b c  



5 12



1

5 1 D 2

tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng.Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820?

DẠNG 6 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tíchmặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m2) Tính diện tích mặttrên cùng

A 8 m2 B 6 m2 C 10 m2 D 12 m2

1

S Nối 4 trung điểm A , 1 B , 1 C , 1 D theo thứ tự của 4 cạnh AB , 1 BC, CD , DA ta được hình

vuông thứ hai là A B C D có diện tích 1 1 1 1 S Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba 2 A B C D2 2 2 2

có diện tích S và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích 3 S S4, , 5 Tính S S 1S2 S3 S100

.2

a

Câu 73. Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1/1/ 2011 là 905300 người (làm tròn đến hàng

nghìn) Nếu duy trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi là 10% một năm thì đến 1/1/ 2020 dân

số của tỉnh Bình Phước là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A 22582927 B 02348115 C 2134650 D 11940591.

m theo phương thẳng đứng Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao

bằng

3

4 độ cao trước đó Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì cóđược 2048000 con

8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạtthóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó Hỏi phải tối thiểu từ ô thứbao nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc

cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q

Giá trị của q bằng2

A

2 22



2 22



2 12



2 12



xác địnhbởi a1 5, a n1q a n với mọi 3 n 1, trong đó q là hằng số, q  , 10 q  Biết công thức số

hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

Câu 79. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho bốn số , a b , , c d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân

với công bội khác 1 Biết tổng ba số hạng đầu bằng

148

9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt

là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T  a b c d 

A

10127

T 

10027

T 

10027

T 

10127

T 

Câu 80 (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia

người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên

độ cao bằng

1

10 độ cao mà quả bóng đạt trước đó Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả

từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Câu 81. Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường

hình vuông cạnh bằng 1m Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là

1, 2,3 n, (các hình vuông được tô màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằngmột nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ) Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ranhiều giờ Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt

đầu nhỏ hơn 1  2

1000 m ?

phương trình (x- 1)(x- 3)(x m- )=0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?

Câu 83. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x3 7x22m26m x  8 0

có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân Tính tổng lập phương của hai giá trị đó

A 342 B 216 C 344 D 216

Câu 84. Cho dãy số  u n

là một cấp số nhân có số hạng đầu u 1 1, công bội q 2 Tính tổng

1 215.2



19 18

2 115.2



20 19

2 115.2



Câu 85. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với hình vuông A B C D như hình vẽ bên, cách1 1 1 1

tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp” Một nhà thiết kế tiến hành tô màu chomột hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:

Bước 1 : Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D 1 1 1 1

Bước 2 : Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông2 2 2 2

A 9 bước B 4 bước C 8 bước D 7 bước

Câu 86. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vuông  C1 có cạnh bằng a Người ta chia mỗi cạnh

của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hìnhvuông C2(Hình vẽ).

Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C ,1 C , 2 C ,., 3 C n

Gọi S là diện tích của hình vuông i C i  i 1, 2,3,  

Đặt T S1S2S3 S n Biết32

Câu 87. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a, b, c, d, e tạo thành một cấp số nhân theo

thứ tự đó và các số đều khác 0, biết

1 1 1 1 1

10

a b c d   e và tổng của chúng bằng 40 Tính giátrị S với S abcde

* 1

n n n n

u 

và

12

u u

n n

2

1

n n

n u

n n

D:

3

n n

1

3.2

23.2

n n

n n

u

const u

+ +

+

với " Î n * nên dãy số ( )u n

là một cấp số nhân có côngbội q=2và có số hạng đầu là

Gọi q là công bội của cấp số nhân

Câu 10 A Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q  1

B Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d 0

C Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: u n1 u n   d 0  u n1u n

D Sai Ví dụ dãy 5; 2 ; 1; 3; … là dãy số có d  3 0 nhưng không phải là dãy số dương

Câu 11. 2x 3; x ; 2x3lập thành cấp số nhân  x2 2x 3 2  x3 2 2

4 9

    x2 33

x

 

u u

u u

26

233

u q

Vì  u n là cấp số nhân nên u u6 8 u72, suy ra

3

11

.4 1

14

u q u

Từ đó ta có

2 1

114

4 16

u u q

u

q q q

u q

u q u

2

q q





  

Nếu q  thì 0  2  u1 272 không thõa điều kiện u 1 100.

Nếu q  thì 2  2  u116 thõa điều kiện u 1 100.

Câu 35. Ta có: u6 u q1 5 0,00001

5 5

110

111

110

n n





Vậy đáp án đúng là: C

2 5

1416

u u

Với q  thay vào 2  2

ta được u  1 5Vậy u3u q1 2 5.4 20.

n n n

u u q

u q

1 0,1



14245



11100

Câu 55. Từ giả thiết ta có

2 1

8

11

u 

, công sai

13

3

u S

a a

10

1

6821

u 

, u 4 32 và u  n 2048.3

31

32

2 q

   q42048

87.2n 1792 n 9 S 3577

Câu 61. Cấp số nhân có 1

12

u 

công bội

12

10 1 10 1 10 1 10 19

7

10 10 10 10 20189

u  , công bội 10 q  nên ta có

2018 1

11

q 

Suy ra:

1 1

u n

 

 

  là một cấp số nhân có số hạng đầu 1

13

U 

, công bội

13

3 12.3

X X

u S

Câu 70. Gọi ba số đó là x , y , z Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng

nên ta có: x; y x 7d; z x 42d (với d là công sai của cấp số cộng)

Theo giả thiết, ta có: x y z    x x 7d x 42d 3x49d 217

Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:

x d

8202

20412

n n

DẠNG 6 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Sau 9 năm thì số dân của tỉnh Bình Phước là: 905300.1,19 2134650 người

Câu 74. Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u  và 1 10 q 34.

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là

11

u S

q





10314





40 Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S 10 70 (m)

1 2048000

n

u    u q1 n 2048000 2000.2n 2048000

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con

Câu 76. Số thóc ở ô sau gấp đôi ở ô trước, đặt u là số thóc ở ô thứ n n thì số thóc ở mỗi ô sẽ lập thành

một cấp số nhân:

0 1

Theo đề ta có: 2k  1 20172018 2k 20172019 klog 201720192

Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25

Câu 77. Đặt BC a AB AC b AH h ;   ;  Theo giả thiết ta có , ,a h b lập cấp số nhân, suy ra

2 2 2

b q a

k q

Đặt v n a n k 1 2 1 n.1

2 1

2 1 2

1

11

1

q

q q

1 2148 39

Và cấp số cộng có u1  , a u4  , b u8  Gọi x là công sai của cấp số cộng Vì cấp số nhân có c

công bội khác 1 nên x 0

Ta có :

37

a x

b c d

T a b c d    

Gọi h là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n n n   *

Gọi l là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n n n   *

Theo bài ra ta có h 1 55,8, 1

1.55,8 5,5810

và các dãy số  h n

,  l n

là các cấp số nhân lùi vô

hạn với công bội

110

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x x x 1, ,2 3

Theo định lí Viet, tích 3 nghiệm: 1 2 3 8

Vì ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên x22 x x1 3 Do đó ta có: x23 8 x2 2

Thay x  vào phương trình ta được: 2  2  1

Theo giả thiết hai giá trị này của m đều nhận.

Tổng lập phương của hai giá trị m là: 13  73342

4 1

1 1 .11

Câu 85. Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là u , n *

n   Dễ thấy dãy các giá trị u là một cấp số n

nhân với số hạng đầu 1

49

u 

và công bội

19

k

u q

k q

58

8S



  Lý luận tương tự ta có các S ,1 S , 2 S3, S n tạo thành một dãy cấp số nhân

lùi vô hạn có u1S1 và công bội

58

q 

.1

1

S T

q





283

a

 Với

323

q a q

q a

3

u q