Dạy thêm toán 11 D3 2 dãy số

BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 1.. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìmA. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nà

TOÁN 11 DÃY SỐ

1D3-2

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

DẠNG 1 BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT 1

DẠNG 2 TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ 4

DẠNG 3 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 5

DẠNG 4 DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI 6

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 8

DẠNG 1 BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT 8

DẠNG 2 TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ 13

DẠNG 3 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 15

DẠNG 4 DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI 16

PHẦN A CÂU HỎI DẠNG 1 BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 1 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số 1 3 2 5, , , ,

2 5 3 7 Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho?

A

* 1

n

n

n

* 2

n

u    n

C

* 1

3

n

n

n



  D

* 2

2 1

n

n

n

Câu 2. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1, 3,19,53 Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số

hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm

A u10  97 B u10  71 C u10  1414 D u10 971

Câu 3. Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A un  5( 1) n  . B un  5 n. C un   5 n. D un  5 1 n  .

Câu 4. Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15, 22, 29, 36, .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A un  7 n  7. B un  7 n

C un  7 1 n  . D un: Không viết được dưới dạng công thức.

1

2;

2

3;

3

4; 4

5; .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A

1

n

n u

n





n u n



1

n

n u n





2

1

n

n n u

n







Câu 6. Cho dãy số có các số hạng đầu là:1;1; 1;1; 1;   Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A un=1 . B un=−1 . C un=(−1)n . D u n  1n1

 

.

Câu 7. Cho dãy số có các số hạng đầu là:2;0; 2; 4;6; .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A un=−2n . B un= ( −2 ) + n . C un= ( −2 ) ( n+1) . D u n   2 2n1

1

3;

1

32;

1

33;

1

34;

1

35; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A u n=

1 3

1

3n+1

B u n=

1

3n+1

C u n=

1

3n

D u n=

1

3n−1

Câu 9. Cho dãy số ( un) với { u 1 =5 ¿ ¿¿¿

.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?

A u n=

(n−1)n

2 B u n=5+

(n+1 )n

2 D u n=5+

1

2 1

1

1 n

u

u  u







  

 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?

Câu 11. Cho dãy số  u n

1

1

1

1 n

u









  

 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?

A un   2 n. B un không xác định.

C un   1 n. D un  nvới mọi n.

Câu 12. Cho dãy số  u n

với

1

2 1

1

u







 

 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A

 1 2  1 1

6

n

 1 2  2 1

6

n

C

 1 2  1 1

6

n

 1 2  2 1

6

n

Câu 13. Cho dãy số  u n với

1 1

2

2 1

u







  



Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?

A u n  2 n 12

B

2

2

n

u   n C u n  2 n12

D u n  2 n12

Câu 14. Cho dãy số  u n với

1 1

2 1 2

n

n

u u

u











 



 Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

A

1

n

n u

n





1

n

n u n





1

n

n u

n





n u

n





Câu 15. Cho dãy số  u n

với

1 1

1 2 2

u

u  u









  

 Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

2

n

u   n

B 1 2 1

2

n

u   n

C

1 2 2

n

u   n

1 2 2

n

u   n

Câu 16. Cho dãy số  u n

với

1 1

1

2

n n

u u

u 













Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

2

n

n

u    

  B  

1

1

1 2

n

n u



 

   

  C

1

1 2

n

n u



 

 

  D  

1

1

1 2

n

n u



 

   

 

Câu 17. Cho dãy số  u n

với

1 1

2 2

u

u  u









 Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

A u n n n1

2n n

 D u  n 2

Câu 18. Cho dãy số  u n

với

1 1

1 2 2

u

u  u









 Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

A u n 2n1

1 2

u  

1 2

u 

D u n 2n2

Câu 19 (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018)Cho dãy số ( )u xác định bởi n

*

1

3 1

1

,

u







 

   Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho u n12039190

1 1

1

2 1, 1

u







 Giá trị của n để u n2017n2018 0 là

A Không có n B 1009 C 2018 D 2017

Câu 21 (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số  u n

xác định bởi

1

n

u



         , n 1 Tính tổng S u 1u2 u2018 14

Câu 22 (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số u n được xác định bởi 1

2 3

u 

và

1

2 2 1 1

n n

n

u u

  , n  *

Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đó?

A

4036

4035

4038

4036

4037

Câu 23. Cho hai cấp số cộng ( )u n :1;6;11;

và ( )v n : 4;7;10;

Mỗi cấp số có 2018 số Hỏi có bao nhiêu

số có mặt trong cả hai dãy số trên

A 403 B 401 C 402 D 504

DẠNG 2 TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

Câu 24. Cho dãy số  u n , biết n 2n 1

n

u 

 Ba số hạng đầu tiên của dãy số là

A

1 2 3

; ;

1 1 1; ;

1 1 1; ;

2 3 1; ;

3 7

1

n

n u

n

 

 (với n   ) *

Số hạng đầu tiên của dãy là:

3

1

2.

Câu 26. Cho dãy số  u n có u n n2 n 1 Số 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

với u  n 3n Khi đó số hạng u2n1 bằng

xác định bởi u n= -( 1 cos)n (n)

Giá trị u bằng99

Câu 29. Cho dãy số u n với

2

1

n

an u n



 (a: hằng số).u n1 là số hạng nào sau đây?

A

1

1 2

n

a n u

n







 B

1

1 1

n

a n u

n







 C

2 1

1 1

n

a n u

n







 D

2

n

an u

n



Câu 30 (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8)Cho dãy số  u n

với u n 2n số hạng thứ 2019 của dãy 1 là

A 4039 B 4390 C 4930 D 4093

Câu 31. Cho dãy số  u n

với u   n 1 2 n Khi đó số hạng u2018 bằng

A 22018 B 2017 2 2017 C 1 2 2018 D 2018 2 2018

Câu 32. Cho dãy số  u n

với

2 , n 1

3 1

n

n u n



 Tìm khẳng định sai.

A 3

1 10

u 

B 10

8 31

u 

C 21

19 64

u 

D 50

47 150

u 

1

n

u

n

 



 Tính u 11

A 11

182 12

u 

B 11

1142 12

u 

C 11

1422 12

u 

D 11

71 6

u 

2017sin 2018cos

n

u       

    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A u n9 u n,  n * B u n15 u n,  n *

C u n12 u n,  n * D u n6 u n,  n *

Câu 35. Cho dãy số  u n

có số hạng tổng quát là 2

2 1 1

n

n u n





 Khi đó

39

362 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 36. Cho dãy số  u n

có u1 u2  và 1 u n2 u n1u n,   Tính n * u 4

  1

1

5 :

n

u u

u  u n







 

 Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?

thỏa mãn

1

2n 1

n u

n







Tìm

số hạng thứ 10 của dãy số đã cho

A 51, 2 B 51,3 C 51,1 D 102,3

1 1

4

u

u  u n







 

 Tìm số hạng thứ 5của dãy số

Câu 40 (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số  u n

bởi công thức truy hồi sau

1

1

0

; 1

u







 ; u nhận giá trị nào sau đây?218

A 23653 B 46872 C 23871 D 23436

DẠNG 3 DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Câu 41. Cho dãy số  u n

với u n a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

A Dãy số có 1 3n 1

n

  B Hiệu số u n1 u n 3.a

C Với a  thì dãy số tăng0 D Với a  thì dãy số giảm.0

Câu 42. Cho dãy số  u n

với 2

1

n

a u n





( a : hằng số) Khẳng định nào sau đây là sai?

1 ( 1)

n

a u

n







2 1

1

1

n





  

C Hiệu

2 1

1

1

n





  

 D Dãy số tăng khi a  1

Câu 43. Cho dãy số  u n với n 3n

k

u 

( k : hằng số) Khẳng định nào sau đây là sai?

A Số hạng thứ 5 của dãy số là

k

35 B Số hạng thứ n của dãy số là

k

3n+1

C Là dãy số giảm khi k  0 D Là dãy số tăng khi k  0

Câu 44. Cho dãy số  u n

với 2

1

n

a u n





Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Dãy số có 1 2

1 1

n

a u n







 B Dãy số có : 1  2

1 1

n

a u

n









C Là dãy số tăng D Là dãy số giảm

Câu 45. Cho dãy số u n

với

2

1

n

an u n



 ( a : hằng số) Kết quả nào sau đây là sai?

A

1

1 2

n

a n u

n







 B

 2 

1

( 2)( 1)



 

 

C Là dãy số luôn tăng với mọi a D Là dãy số tăng với a  0

Câu 46. Dãy số (U có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm? n)

C U  n 1 D U  n 6n.

Câu 47. Cho dãy số  u n

có u n n2 n 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19  

B u n+1=−n2+n+2 .

C un−1− un=1 .

D Là một dãy số giảm

cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n

A

1 2

u 

3 1 1

n

n u n





 C u n n2 D u n  n2

A

3 1

n

n u

n





n

u 

2

n u n



 1 3

n

u  

2 3

n

n

n



4 1

n

n

n



C u n 2n33,n * D u n cos 2 n1 , n *

A

2 1 1

n

n u

n





 B u n n3 1 C u n n2 D u n 2n DẠNG 4 DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI

Câu 52. Cho dãy số  u n

với

 1 1

1

n n

u n







 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Số hạng thứ 9 của dãy số là

1

10 B Dãy số  u n

bị chặn

C Dãy số  u n

là một dãy số giảm D Số hạng thứ 10 của dãy số là

1 11



Câu 53. Cho dãy số  u n

với 2

1 1

n u n





 Khẳng định nào sau đây là sai?

1

1 1

n u

n







  B u n u n1

C Đây là một dãy số tăng D Bị chặn dưới

Câu 54. Cho dãy số  u n

với u n sinn 1





 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Số hạng thứ n 1 của dãy: u n 1 sinn 2



 B Dãy số bị chặn

C Đây là một dãy số tăng D Dãy số không tăng không giảm

Câu 55. Cho dãy số  u n

với

1

( 1) 1

n n

u n







 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Số hạng thứ 9 của dãy số là

1

10 . B Số hạng thứ 10 của dãy số là

−1

11 .

C Đây là một dãy số giảm D Bị chặn trên bởi số M 1

có n 1

n u n



 là dãy số

A tăng B không tăng, không giảm

C giảm D không bị chặn

Câu 57. Xét các câu sau

 1 Dãy 1, 2,3, , , n là dãy bị chặn.

 2 Dãy

1 1 1 1

1, , , , , ,

3 5 7 2n 1 là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

A Chỉ có  2 đúng B Chỉ có  1 đúng.

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai

Câu 58. Cho dãy số  u n

với 2

1

n u



 .Khẳng định nào sau đây là sai?

A Năm số hạng đầu của dãy là:

1

2;

1

6;

1

12;

1

20;

1

30 ;

B Là dãy số tăng

C Bị chặn trên bởi số

1 2

M 

D Không bị chặn

n u

n





 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Là dãy số không bị chặn

B Năm số hạng đầu của dãy là:

1 2



;

2 3



;

3 4



;

5 5



;

5 6



C Là dãy số tăng

D Năm số hạng đầu của dãy là:

1 2



;

2 3



;

3 4



;

4 5



;

5 6



Câu 60. Cho dãy số  u n

với

1

n u n





.Khẳng định nào sau đây là sai?

A Năm số hạng đầu của dãy là: −1;−1

2 ;

−1

3 ;

−1

4 ;

−1 5

B Bị chặn trên bởi số M 1.

C Bị chặn trên bởi số M  0

D Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M 1

Câu 61. Cho dãy  u n

với

2018

2018 1

n

n u

n





 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Dãy  u n

bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên

B Dãy  u n

bị chặn

C Dãy  u n không bị chặn trên, không bị chặn dưới.

D Dãy  u n

bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới

Câu 62. Trong các dãy số  u n

có số hạng tổng quát u dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn? n

n u

n



n

 

Câu 63. Cho dãy số  u n với 2 51 n

n

  Kết luận nào sau đây là đúng?

A Dãy số không đơn điệu B Dãy số giảm và không bị chặn

C Dãy số tăng D Dãy số giảm và bị chặn

A

2 1 1

n

n u

n





 B u n 2nsin n C u n n2 D u n n3 1

A Dãy số (2n- 1)

tăng và bị chặn trên B Dãy số

1 1

n

æ ö÷

çè + giảm và bị chặn dưới.ø

C Dãy số

1

n

æ ö÷

ç- ÷

ç ÷

çè ø tăng và bị chặn trên. D Dãy số

1 3.2n

æ ö÷

çè ø giảm và bị chặn dưới

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO

DẠNG 1 BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

Câu 1. Viết lại dãy số:

2 3 4 5 , , , ,

4 5 6 7 1

3

n

n

n





Câu 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét dãy ( )u có dạng: n 3 2

n

u an bn cn d

Ta có hệ:

1

   





   





   





a b c d

Giải hệ trên ta tìm được: a1,b0,c3,d 1

 u n n  n là một quy luật.

Số hạng thứ 10: u10 971.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

5 5.1

10 5.2

15 5.3

20 5.4

25 5.5

Suy ra số hạng tổng quát u n 5n

Câu 4.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

8 7.1 1 

15 7.2 1 

22 7.3 1 

29 7.4 1 

36 7.5 1 

Suy ra số hạng tổng quát u n 7n 1

Câu 5.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

0 0

0 1





1 1

2 1 1 

3 2 1

4 3 1

5 4 1

Suy ra n 1

n u n





Câu 6.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Các số hạng đầu của dãy là 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;  1   2   3   4  5  u n   1n

Câu 7.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là 2 nên

 2 2. 1

n

u    n

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Chọn C

5 số hạng đầu là 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

; ; ; ; ;

3 3 3 3 3 nên

1 3

u 

Câu 9.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

 1

5 1 2 3 1 5

2

n

n n

u       n   

Ta có: u n1u n  12n u n 1 u2 2;u33;u4 4;

Dễ dàng dự đoán được u n  n

Thật vậy, ta chứng minh được u n n *

bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n 1 u1 Vậy 1  * đúng với n 1

+ Giả sử  *

đúng với mọi n k k   *

, ta có: u k  Ta đi chứng minh k  * cũng đúng với 1

n k  , tức là: u k1  k 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  u n

ta có: u k1u k   12k   Vậy k 1  * đúng với mọi n   *

Ta có: u2 0;u3 1;u4 2, Dễ dàng dự đoán được u n  2 n

1

2

2

2 1

1 1 2

1

u

u u

u u

u u  n

 



 





 







Cộng hai vế ta được 2 2  2  1 2  1

1 1 2 1 1

6

n

Ta có:

1

1

2 1 3

2 3

u

u u

u u

u u  n





  



 







 Cộng hai vế ta được u n     2 1 3 5 2n 3 2 n12

Ta có: 1 2 3

u  u  u 

Dễ dàng dự đoán được

1

n

n u

n





Ta có:

1

1

1 2 2 2

2

u

u u

u u

u u 









 





 







 





Cộng hai vế ta được 1 2 2 2 1 2 1

n

u       n

Ta có:

1 1 2

2 3

1

1

2

2

2

n n

u u u u u

u







 















 

Nhân hai vế ta được

1

1 lan

n n

n

u u u u









 

 

  

Ta có:

1

1

2 2 2

2

u

u u 





















 Nhân hai vế ta được 1 .2 3 2.2 n 1 1 2 1 2n



Ta có:

1

1

1 2 2 2

2

u

u u 





























Nhân hai vế ta được

1 2 2

2



Câu 19. Theo hệ thức đã cho ta có:

1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 1 1 2 ( 1)

u u   n u   n  n   u    n

Lại có

1 2 ( 1) (1 2 ( 1))

4

         

Suy ra:

Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020, ta được kết quả n 2020

Câu 20. Với n  ta có: 1 u2 u1  3 4 22.

Với n  ta có: 2 u3 u22.2 1 9 3   2

Với n  ta có: 3 u4 u32.3 1 16 4   2

Từ đó ta có: u n n2

Suy ra u n2017n2018 0 2

2017 2018 0

 

 

1 2018





 



1

n

u



1



1



1 1

 



 

 1   4 1 4 

1



 

  

Do đó S 42 4143 4 2  420184  1 1 4 201841

4 4

1 2018

   1 20182017

Câu 22. - Ta có:

1

2 2 1 1

4 2

n

n u

1

1

n

u 

     

Tương tự ta đươc:

1 1

4.1 2 4.2 2 4 2

n

n

2 n n n

2

2

n  n



2

n u



2

2n 1 2n 3



2

2 1 2 1

n u

2n 1 2n 1

1

1 1

2 1

n k k

u

n





2 1

n n





2018 1

4036 4037

k k

u



  

Dãy ( )u n

có số hạng tổng quát là u n = +1 5(n- 1)=5n- 4, (1£ £n 2018)

Dãy ( )v m

có số hạng tổng quát là v m= +4 3(m- 1)=3m+1, 1( £ m£ 2018). Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại m n, Î  thỏa mãn điều kiện:

1 , 2018

(*)

m n

ì £ £ ïï

íï =

Ta có ( )* Û 5n- 4=3m+ Û1 5(n- 1)=3m( )**

Từ ( )**

suy ra m , mặt khác 15 £ m£ 2018 nên ta được tập các giá trị của m là {5;10; ;2015}

Xét với m=2015 thì

3.2015

1 1210 2018 5

, thỏa điều kiện 1£ £n 2018.

Do tập {5;10; ;2015}

có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho

DẠNG 2 TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

1, ,

u  u  u 

Ta có 1 2

1

1 1 2

Giả sử u  n 19, n  *

Suy ra n2  n 1 19

    

 

5

4

n





 



Vậy số 19 là số hạng thứ 5 của dãy

3n 3 n 3 3n n



Câu 29.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

n

u



Ta có: u20192.2019 1 4039 

Ta có u2018 1 22018

Ta có: 50

50 2 48

3.50 1 151



Ta có:

2 11

11 2.11 1 71

11 1 6