Dạy thêm toán 11 D1 1 hàm số LƯỢNG GIÁC

Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số chẵn.. Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số lẻ.. Các hàm số ysinx, ycotx, ytanx đều là hàm số chẵn D.. Các hàm số ysinx, y

TOÁN 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

BÀI 1

Mục lục

Phần A CÂU HỎI 1

Dạng 1 Tập xác định của hàm số lượng giác 1

Dạng 2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 7

Dạng 3 Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác 7

Dạng 4 Tính đơn điệu của hàm số lượng giác 9

Dạng 5 Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác 12

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos 12

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ 13

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số 14

Dạng 6 Đồ thị của hàm số lượng giác 14

Phần B LỜI GIẢI THAM KHẢO 17

Dạng 1 Tập xác định của hàm số lượng giác 17

Dạng 2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 21

Dạng 3 Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác 22

Dạng 4 Tính đơn điệu của hàm số lượng giác 24

Dạng 5 Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác 28

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos 28

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ 29

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số 31

Dạng 6 Đồ thị của hàm số lượng giác 31

Phần A CÂU HỎI

Dạng 1 Tập xác định của hàm số lượng giác





C R D R k k Z\ ,  

2sin 1

1 cos

x y

x





 xác định khi





 





 

Câu 3 (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tập xác định D củahàm số y=cotx+sin 5x+cosx

x y

snx

cos 2cot 1

x y

x





 B y 2 2cos x C ycot 3x tanx D ysin x2

Câu 11 (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm sốtan 2

định của hàm số ycot 2x tanx là:

x y

x



là tập nào sauđây?

\2

D  k k  

(4) Hàm số ycotx có tập xác định là

\2

x y

A ycotx B ycot 2x C ytanx D ytan 2x

Câu 23 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018)Tìm tập xác định của hàm số

5cos 1

Câu 24 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018)Tìm tập xác định của hàm số

1 2sin 2

x y

x y

x y

x y

x x

x y

Dạng 2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Câu 42 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các hàm số ytanx ; ysin 2x ; ysinx ; ycotx ,

có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f x k   f x 

,   x , k 

Câu 43 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) ycos 2x,(2) ysinx; (3) ytan 2x; (4) ycot 4x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ ?

B ysinx C y 1 sinx D ysinxcosx

Dạng 3 Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

A Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số chẵn

B Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số lẻ

C Các hàm số ysinx, ycotx, ytanx đều là hàm số chẵn

D Các hàm số ysinx, ycotx, ytanx đều là hàm số lẻ

sai?

A Hàm số ycosx là hàm số lẻ B Hàm số ycotx là hàm số lẻ

C Hàm số ysinx là hàm số lẻ D Hàm số ytanx là hàm số lẻ

Câu 49 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018)Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A ycot 4x B ytan 6x C ysin 2x D ycosx

A Hàm sốysinx là hàm số lẻ B Hàm sốycosxlà hàm số lẻ

C Hàm sốytanx là hàm số lẻ D Hàm sốycotx là hàm số lẻ

Câu 51 (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

C ycot 2015x 2016sinx D ytan 2016xcot 2017x

Câu 52 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018)Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng?

C yf x cos 3x D yf x  x25x 2.

Câu 53. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y2cosx B y2sinx C y2sin x D ysinx cosx

Câu 54. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

sin 22cos 3

x y

x



 thì yf x  là

C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ

yf x   x  x 

    , ta đượcyf x  là:

C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ

đều là hàm số không chẵn không lẻ

Câu 57. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f x sin2007 xcosnx

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

Câu 59. Cho hàm số f x  xsin x

Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A Hàm số đã cho có tập xác định D ¡ \ 0

B Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng

C Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng

D Hàm số có tập giá trị là 1 1; 

Câu 60. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yf x 3 sin4x cos 2xm  là hàm chẵn.

Dạng 4 Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

trên mỗi khoảng nào dưới đây

A ytanx nghịch biến trong

Câu 63 (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kỳ T 

B Hàm số ysinx đồng biến trên

D Đồ thị hàm số ysinx có tiệm cận ngang

Câu 64 (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng nàosau đây?

Câu 65 (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì T 

B Hàm số ysinx đồng biến trên

D Đồ thị hàm số ysinx có tiệm cận ngang

Câu 66 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số ycotx đồng biến trên khoảng 0; 

B Hàm số ysinx nghịch biến trên khoảng ; 2 

C Hàm số ycosx nghịch biến trên khoảng

D Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng

Câu 67 (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 2

B Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 

C Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng 0;2



D Hàm số ycotx nghịch biến trên 

Câu 68. Xét hàm số ysinx trên đoạn  ; 0

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên các khoảng 2

Câu 69. Xét hàm số ycosx trên đoạn   ; 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng  0

và 0; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng  0

và nghịch biến trên khoảng 0; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0

và đồng biến trên khoảng 0; 

D Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng  0

Câu 71. Xét sự biến thiên của hàm số y 1 sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó Trong các kết luận

sau, kết luận nào sai?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

Câu 72. Xét sự biến thiên của hàm số ysinx cos x Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

A Hàm số ytanx luôn luôn tăng

B Hàm số ytanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định

C Hàm số ytanx tăng trong các khoảng     k ; 2 k2 , k¢

D Hàm số ytanx tăng trong các khoảng k  ; k2 , k¢

Câu 74. Xét hai mệnh đề sau:



giảm

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A Chỉ (I) đúng B Chỉ (II) đúng C Cả 2 sai D Cả 2 đúng

Câu 75 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Dạng 5 Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos

Câu 76 (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019)Giá trị lớn nhất của hàm số y2sinx1 là

12

y x lấy mọi giá trị thuộc

A

21;

M m 

87

M m 

98

M m 

97



C 0;2

2min





Câu 95. Giá trị lớn nhất của hàm số y cos2x7sin2 x sin2x7 cos2x là

Dạng 6 Đồ thị của hàm số lượng giác

đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A , B , C , D Hỏi hàm số đó là

hàm số nào?

Câu 97 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số f x  sinxcosx

có đồ thị  C .

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không thể thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị  C ?

A ysinx cosx B y 2 sinx 2 C y sinx cosx D

Hàm số f x  cosx đồng biến trên khoảng 0; 

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó

là hàm số nào?

A ycosx 1 B y 2 sinx C y2cosx.D ycos2x 1

Câu 100. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số yf x( ) 2sin 2 ? x

Lời giải Câu 102. Cho đồ thị hàm số ycosx như hình vẽ :

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số ycosx2?

Câu 103. Cho đồ thị hàm số ysinx như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số ysin ?x

Câu 104. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số ysin ?x

A B

Phần B LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1 Tập xác định của hàm số lượng giác

Điều kiện xác định của hàm số là

sin 0cos 1

x x

y  x được xác định  2 2cos x 0 cosx  (luôn đúng với x1   )

Vậy tập xác định của hàm số y 2 2cos x là 

-=

-x y

x x

x y

2

k x

4

x

m n x

26

Vì 1 sin  x neen 1 2 sin x  0, x R.

3sin 0

x x x

Hàm số ytanx, ycotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 

Hàm số ysin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

22

T   

.Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 2

Câu 40. Chu kì của hàm số

2412

nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu

 Xét hàm số ysin 2x : Ta có sin 2x k  sin 2 x k 2 sin 2x

,   x , k 

 Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 nên không thỏa yêu cầu

Câu 43. Do hàm số ycosx tuần hoàn với chu kỳ 2 nên hàm số (1) ycos 2x tuần hoàn chu kỳ 

Hàm số (2) ysinx tuần hoàn với chu kỳ 2

Do hàm số ytanx tuần hoàn với chu kỳ nên hàm số (3) ytan 2x tuần hoàn chu kỳ 2



Do hàm số ycotx tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) ycot 4x tuần hoàn chu kỳ 4



Câu 44. Do hàm số ycosx tuần hoàn với chu kỳ 2 nên hàm số (1) ycos 2x tuần hoàn chu kỳ 

Hàm số (2) ysinx tuần hoàn với chu kỳ 2

Do hàm số ytanx tuần hoàn với chu kỳ nên hàm số (3) ytan 2x tuần hoàn chu kỳ 2



Do hàm số ycotx tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) ycot 4x tuần hoàn chu kỳ 4



Câu 45 Chu kỳ của sin 2

x

là 1

2412

T    

và Chu kỳ của

3cos2

x

là 2

2

T    

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T và 1 T vừa tìm được ở trên.2

Chu kì của hàm ban đầu T 4

Dạng 3 Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

TXĐ: D  , x   x 

Và y( x)  sin  x   sinx  sin x y x 

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

Câu 47. Hàm số ycosx là hàm số chẵn, hàm số ysinx, ycotx, ytanx là các hàm số lẻ

Câu 48. Ta có các kết quả sau:

Câu 50. B sai vì hàm số ycosx là hàm số chẵn

Câu 51. Xét hàm số yf x sin 2016x cos 2017x

Tập xác định D 

Với mọi x D , ta có  x D

Ta có f x sin 2016 x cos 2017 x sin 2016x cos 2017xf x 

Vậy f x  là hàm số chẵn

Câu 52. Các hàm số yf x  tan 32 x; yf x cos 3x thỏa mãn điều kiện f xf x ,  x

nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Hàm số yf x  x25x 2 có trục đối xứng là

52

x 

.Vậy đồ thị hàm số   1 khi 0

Dễ thấy D không phải là tập 2

đối xứng nên ta kết luận hàm số g x 

Hàm số đã xác định khi cosx 0 x  2 k k ,  .

Vậy phát biểu 1 sai.

Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn

lẻ của hàm số đã cho

Hàm số đã cho xác định trên tập D ¡ nên ta loại A

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho

Mệnh đề D sai vì hàm số ysinx không có tiệm cận ngang

Mệnh đề B đúng vì hàm số ysinxđồng biến trên khoảng

Câu 64. Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản ysinx đồng biến

ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư

  là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến

Câu 65. Đáp án B đúng: Hàm số ysinx đồng biến trên

Đáp án A sai do ysinx tuần hoàn chu kì là T 2.

Câu 67. Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì   đáp án A sai

Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2  đáp án B sai

Hàm số ycotx nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k

Theo lý thuyết ta có hàm số ycosx

đồng biến trên mỗi khoảng   k2;k2,k¢

và nghịch biến trên khoảng k2  ; k2,k¢

Từ đây ta có với k  hàm số 0 ycosx

đồng biến trên khoảng  0

và nghịch biến trên khoảng 0; 

Tiếp theo ta đến với hàm số ytan x;n n ¢,

Hàm số ytan 2x

tuần hoàn với chu kì 2

,

 dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính

đơn điệu của hàm số trên

hàm số ytan 2x đồng biến trên khoảng 4

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến

thiên của hàm số trên

Từ đây suy ra hàm số y 1 sin :x

* Nghịch biến trên khoảng 2 2

Với A ta thấy hàm số ytanx không xác định tại mọi điểm x  ¡ nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng

Với B ta thấy B đúng vì hàm số ytanx đồng biến trên mỗi khoảng



là hàm giảm Vậy I sai, II đúng

Ta được đồ thị như hình vẽ trên Ta thấy hàm số ytanx

nghịch biến trên

;02

Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B

Dạng 5 Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos

Câu 77. Ta có  1 sin 2x1, x R.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là 1;1

Câu 78 Với   x , ta có cosx   1;1

.Tập giá trị của hàm số ycosx là 1;1

Câu 79 Ta có: 1 sin  x   1, x

Suy ra: 1 2 sin  x3,    hay 1x  y 3,    x

Vậy M 3 và m 1

Câu 80. Ta có  1 sin 2x1 8 3sin 2 x 52    8 y 2

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là 2; 8 

Câu 81.  Trong nửa khoảng

 Trong nửa khoảng

Câu 82. Xét y 3 sinx cosx 2

2 sin cos cos sin 2

.Câu 83. Ta có  1 sinx  1 1 2 sin 3x 3

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7

Câu 86. Dễ thấy các phát biểu  1 ; 2

; 3 đúng

Xét  4

:

coscot

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ

Câu 89. ycos2xsinx 1 sin2xsinx 2

Đặt tsin , 1x    t 1

Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số yt2  trên đoạn t 2 1;1

Tung độ đỉnh của parabol

78



  

Từ đây có bảng biến thiên

Ta kết luận:    

1;1

7min

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

Dạng 6 Đồ thị của hàm số lượng giác



vào phương án A ta nhận được y 2

x x





  f x 

.Vậy hàm số   sin2

5

 ,

4cos

5

  Ta có f x 5sinx 5

2

, k  .

Vậy hàm số f x 3sinx4cosx có giá trị lớn nhất là 5.

Vậy trong bốn mệnh đề đã cho có một mệnh đề đúng

Câu 99. Do đồ thị đi qua ba điểm ;0 , 0; 2

, ;0 nên chọn phương án A

Câu 100.

Ta thấy 2 2sin 2  x nên ta có loại A và2 B

Tiếp theo với C và D ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì

2

.2

Suy diễn đồ thị hàm số ysin | |x từ đồ thị hàm số ysin :x

Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số ysinx nằm bên phải trục Oy.

Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy.

Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên Phần đồ thị nét đứt là phần bỏ đi của đồ thị hàm số ysin x

Câu 104 Chọn B

Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y| sin |x từ đồ thị hàm số ysin :x

Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị ysin x

Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số ysinx phía dưới trục hoành qua trục hoành

Cách 2: Ta thấy | sin | 0,x  x nên đồ thị hàm số y| sin |x hoàn toàn nằm trên trục Ox.

Từ đây ta chọn B