Dạy thêm toán 11 1D4 3 hàm số LIÊN tục

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  ?1.A. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 7... Hàm số không liên tục tại

TOÁN 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC

1D4-3

Contents

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 3

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số 3

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số 4

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số 4

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG 11

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số 11

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số 12

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 14

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT 15

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 15

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số 15

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số 16

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số 17

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG 24

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số 24

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số 26

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 29

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1 (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số yf x 

liên tục trên a b; 

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên a b;  là

A lim    



và lim    



B lim    



và lim    



C lim    





và lim    





D lim    





và lim    





Câu 2 (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x  xác định trên a b; 

Tìm mệnh đề đúng

A Nếu hàm số f x 

liên tục trên a b; 

và f a f b     0

thì phương trình f x   0

không có nghiệm trong khoảng a b; 

Câu 3. Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b; 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình ( ) 0 không có nghiệm nằm trong a b; 

B Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình ( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a b; .

C Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình ( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a b; 

x y

Chọn mệnh đề đúng

A Hàm số yf x 

có đạo hàm tại điểm x 0 nhưng không liên tục tại điểm x 0

B Hàm số yf x liên tục tại điểm x 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x 0

C Hàm số yf x 

liên tục và có đạo hàm tại điểm x 0

D Hàm số yf x  không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x 0

Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  ?1

A Có đúng hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề đều đúng.

C Cả ba mệnh đề đều sai D Có đúng một mệnh đề sai

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7. Cho hàm số

3

1, khi 11

A y liên tục phải tại x 1 B y liên tục tại x 1

C y liên tục trái tại x 1 D y liên tục trên 

Câu 8. Cho hàm số

khi 33

A Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x  0 3

B Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x  0 3

C Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x  0 3

D Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x  0 3

Câu 9. Cho hàm số

 

2 khi 2

 Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số liên tục tại x 1 B Hàm số liên tục tại x 0

C Hàm số liên tục tại x 1 D Hàm số liên tục tại

12

Câu 12 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm

x y x





x y x



11

x y x

x y x

x gián đoạn tại điểm x bằng?0

A x0 2018. B x0 1. C x0 0 D x0 1.

Câu 15. Cho hàm số 2

31

x y x





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số không liên tục tại các điểm x 1 B Hàm số liên tục tại mọi x  

C Hàm số liên tục tại các điểm x 1 D Hàm số liên tục tại các điểm x 1

Câu 16 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

C f x  liên tục tại x  0 D f x  gián đoạn tại x  0

Câu 17 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số

A Hàm số f x  liên tục tại mọi điểm x thuộc 

B Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 0.

C Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 1.

D Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 0 và x 1.

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

x 

A k 2 2019 B

2017 20182

k 

20016

20192017

1

x khi x

a 

12

, 11

m

5 2

m

3 2

m 

5 2

m 

a 

43

a 

43

a 

34

44



m

74

-1.

9.4

Câu 40. Cho hàm số

 

3 6 2 11 6

khi 33

m   

31; 2

3 2

22

m 

16

m 

12

m 

12

4 2khi 05

4

x

x x

a 

43

a 

43

a 

34

khi

1khi

12

Câu 47 (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

khi 02

ax

e

x x

a 

12



Câu 54 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số

a 

116

a 

C a 3 D a 2 Câu 56 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số yf x 

khi 44

1 khi 4

x x

m 

12

1 khi 14

x

x x

m 

132

m 

112

m 

12

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ?

A y x 3 x B ycotx C

2 11

x y x

D Hàm số gián đoạn tại x  0 2

Câu 68. Hàm số nào sau đây liên tục trên  ?

A f x  x. B f x  x4 4x2

C  

4 4 21

A Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0;1.

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0

C Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc 

D Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1

Câu 70 (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số

B Hàm số liên tục trêncác khoảng   ; 1 và 1;

C Hàm số liên tục trêncác khoảng  ;1

và 1; 

D Hàm số gián đoạn tại x  1

Câu 71 (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên

?



x y x



x y x





Câu 72 (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số   sin neu cos 0

1 cos neu cos 0

m 

13

m 

43

m 

23

m 

Câu 74 (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số

a 

43

a 

43

Câu 81 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số

P 

12

P 

16

P 

13

 

 

15

 

 

35

m 

.B

74

m 

C

74

m 

74

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Câu 89. Cho phương trình 2x4 5x2  x 1 0 (1) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng 2;1

B Phương trình  1 vô nghiệm.

C Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 0; 2

D Phương trình  1 vô nghiệm trên khoảng 1;1

Câu 90 (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong

4x 2x  x 3 0  1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình  1 vô nghiệm trên khoảng 1;1

B Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1;1

C Phương trình  1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;1

D Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1;1

A Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3

B Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

C Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2

D Phương trình có nghiệm trong khoảng 5; 1 

Câu 94. Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và thỏa mãn f a  b, f b  a với ,a b  ,0

a b Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng a b; .

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn a b;  Chọn: lim    

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn a b;  .

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

2 2

x

x x

x y x

x y x

x y x

Ta có f  0 1

và

 

2 2 2

2

x x

Hàm số gián đoạn tại x 1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

x

x x



Để hàm số liên tục tại x  khi 0 1 lim1    1

 

2 2

Tập xác định: D .

.Hàm số f x( ) liên tục tại 0 lim ( )0 (0)

1 2

x

x x

é =ê+ - = Þ ê =-ê

2sin 5 sin 2lim

m m

Để hàm số liên tục tại điểm x 2

Câu 46.

Lời giải Chọn C

a a



44

Hàm số f x 

liên tục tại điểm x  khi và chỉ khi 0 4 lim4    4

     4m 1 72

m

Câu 57. Ta có 1

3 1 2lim

1

x

x x



 

2 1

3 1 2lim

m m

Câu 60. Hàm số f x  liên tục tại lim2    2

2lim

2

x

m x

4 3lim

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64 Chọn A

Vì y x 3 x là đa thức nên nó liên tục trên 

Câu 65. * Ta có hai hàm số 2 

3 12

là hàm đa thức

 hàm số f x  liên tục trên khoảng  ; 2

hàm số gián đoạn tại x  0 2

 Hàm số không liên tục trên 

Với x 1 thì hàm số liên tục trên tập xác định

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng  ;1 và 1; 

Câu 71. Tập xác định của hàm số 1

x y x



 là \ 1  Hàm số liên tục trên từng khoảng  ;1 và 1; 

nên hàm số không liên tục trên  Câu 72. Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số

43

13

43

khi đó f x 5x 5m m 2

là hàm đa thức liên tục trên  hàm số liên tục trên  ;2

.+ Xét tại x 0 2, ta có: f  2 4

liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số f x 

Câu 80. Ta có hàm số luôn liên tục   x 2

Tại x  , ta có 2 lim2   lim 12   1 2

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt Vậy có hai giá trị của m

Câu 81 Hàm số f x  liên tục trên  f x  liên tục tại x 0

liên tục với mọi x 0.Tại x 0 ta có f  0 a

Câu 84. Ta có hàm số liên tục trên các khoảng   ; 1 và 1; 

Xét tính liên tục của hàm số tại x 1

Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 0

x

x x

16 5

x

x x



Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm x 3

35

, là hàm đa thức nên liên tục trên 5;10

.Với x 10 ta có f x  ax b 10, là hàm đa thức nên liên tục trên 10; .

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x 5 và x 10

a b

Câu 89 Chọn C

Vì ta có:

(0) 1(1) 1

(2) 15

f f f

Hàm số liên tục trên đoạn 0;1 và f  0 1f   4 1  4 ⇒ f  0 1f  0

Vậy phương trình 3x2017 8x  có nghiệm trong khoảng 4 0 0;1

Như vậy phương trình f x   0

có hai nghiệm trong khoảng 1;1 Mặt khác f x  6x34x1 Ta có f   1 11, f  1 9 f1  f 1 0 Do đóphương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng 1;1

có đúng 3 nghiệm trên  Do đó C sai.

Suy ra: phương trình f x  x

có nghiệm trên khoảng a b; .

Câu 95 Chọn C

là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm.

Vậy đồ thị hàm số yf x  cắt trục Ox tại đúng 3 điểm.

Câu 96. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên  và số giao điểm của

Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng   ; 1, 1;1, 1; 

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3