Gọi M,N làn lượt là trung điểm AH, DH.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – 5xy – 6y2 b) ab( a + b) – bc( b + c) + ac( a- c) c) a4 + 8a3 + 14a2 -8a - 15
Bài 2: Giải phương trình.
a 2x2 + 7x – 15= 0 b.( x2 +1)2 + 3x( x2 + 1) + 2x2 = 0
c
3
3
d 2x( 8x2 – 1)2( 4x – 1 ) = 9
Bài 3:
a Cho 3a2 + 3b2 =10ab và b > a > 0.Tính giá trị biểu thức:
a b P
a b
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 – 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 20
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, diểm E thuộc cạnh BC, diểm F thuộc cạnh AD, sao cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M và N.
a.Chứng minh : CM.DN = a2
b.Gọi K là giao điểm của NA và MB.Chứng minh rằng góc MKN = 900.
c Các diểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Bài 5: Chứng minh rằng
x8 – x5 + x2 –x + 1 > 0 với mọi x
Trang 2
-HẾT -b Cho hình chữ nhật ABCD( AB > BC ) Từ A kẻ AH vuông góc với BD ( H BD) Gọi M,N làn lượt là trung điểm AH, DH
a.Chứng minh : AB2 = BD.BH
b AND đồng dạng với BMA.
Trang 4đồng dạng
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
B i 1: ( 2,5 i m) à đ ể
A= 1
x − 2+
x2− x − 2
(x −5)(x − 2) −
2 x −4
x − 5
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
x −2
¿
x −5+ x2− x −2 −(2 x − 4 )¿
A=¿
0,25
x − 2
¿
(x −5)¿
A= −(x − 5)( x −3)¿
0,25
1
x A
A nguyên khi và chỉ khi
1 2
x nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
x=3, hoặc x=1.
0,25
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
0,25
Trang 5= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2 : ( 1,5 i m) đ ể
2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc 0 0,25
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 0 …) nên có đpcm
0,25 Câu b
bc ¿2
¿
ac ¿2
¿
ab ¿2
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
Nhân hai vế với số dương abc được:
ab ¿2≥ a2bc+b2ac+c2ab
ac ¿2+ ¿
bc ¿2+ ¿
¿
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có:
ab ¿2≥
ac ¿2+ ¿
bc ¿2+ ¿
¿
a2bc+b2ac+c2 ab đpcm
0,25
Bài 3: (1,5 điểm)
x+2¿2+2
¿
x +8¿2+ 8
¿
x+4¿2+ 4
¿
x +6¿2+6
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
x+2+ 2
x +2+x +8+
8
x +8=x +4 +
4
x+4+x+6+
6
x +2+
8
x +8=
4
x +4+
6
1
x +2+
4
x +8=
2
x +4+
3
x+6
(x+2)(x +8)=
5 x+24
(x +4 )(x+6)
0,25
(5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
Trang 6 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
8x2 + 40x = 0
0,25
8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0,25
EDC + ADE = 900nên DE CF 0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui 0,25
Câu c: 0,75 điểm
Bài 5: (1,5 điểm)
Trong BMF có AD//MF nên:
BFBA= BM
BD
0,25 Trong CAD có AD//ME nên:
CECA= CM
CD
0,25 Chia vế theo vế được:
BFBA .CA
CE =
BM
BD .
CD CM
0,25
⇒BF
BA .
CA
CE =
CD
BD (BM=CM) 0,25
C D
M
E F
A
E F
Trang 7AD là phân giác nên:
CD
BD=
AC AB
0,25 Thay vào trên được:
BFBA .CA
CE =
AC AB
⇒BF
CE=1⇒BF=CE
0,25