Vaø neáu (x, y) laø nghieäm cuûa heä thì (y, x) cuõng laø nghieäm cuûa heä.. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.[r]
Trang 1Bài 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Dạng: f(x,y) 0
f(y,x) 0
=
⎧
⎩
2 Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:
f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0
II CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Hãy xác định a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
y x 4x ax (1)
x y 4y ay (2)
⎧ = − +
⎪
⎨
= − +
⎪⎩
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996) (1) - (2): (x y) x− ⎡ 2+y2+xy 4(x y) a y x− + + + + ⎤=0
2 2
y x x y xy 3(x y) a 0
⇔ = ∨ + + − + + =
* x y : (1)= ⇔x3−5x2+ax 0= ⇔x(x2−5x a) 0+ =
2
x 0 f(x) x 5x a 0 (1)
⇔ = ∨ = − + =
Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có: 0 0
f(0) 0
∆ =
⎧ ∨ ∆ <
⎨ =
⎩ 0
f(0) 0VN
∆ =
⎧
⎨ =
⎩
25
0 25 4a 0 a
4
∆ < ⇔ − < ⇔ >
* x2+y2+xy 3(x y) a 0− + + = ⇔y2+(x 3)y (x− + 2−3x a) 0+ =
2
(x 3) 4(x 3x a) 3x 6x 9 4a
3(x 1) (12 4a) 0
∆ = − − − + = − + + −
Khi a 25
4
> Vậy khi a 25
4
> hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y = 0
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 2
2 2
a 2x y
y (I) (a 0)
a 2y x
x
⎧
= +
⎪
⎨
⎪ = +
⎪⎩
Giải Điều kiện x > 0, y > 0
Hệ (I) 2x y y22 22 a22 2x y y2 2 a2
(x y)(2xy x y) 0 2y x x a
− + + =
⎪
= +
⎩
x y
(*) 2x x a
=
⎧⎪
⇔ ⎨
− =
⎪⎩
Đặt f(x) 2x= 3−x2⇒f '(x) 6x= 2−2x ; f '(x) 0 x 0 x 1
3
= ⇔ = ∨ = Bảng biến thiên:
Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên ⇒(I) có nghiệm duy nhất
Trang 2Ví dụ 3:
Định m để hệ phương trình: x33 y22 7x22 mx
y x 7y my
⎧ = + −
⎪
⎨
= + −
Có nghiệm duy nhất:
Giải
Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ Vậy
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y
⇒phương trình : x3−x2−7x2+mx 0= ⇔x3−8x2+mx 0= có
nghiệm duy nhất
x −8x +mx 0= ⇔x(x −8x m) 0+ = (*)
2
x 0
x 8x m 0 (**)
=
⎡
⇔ ⎢
− + =
⎢⎣
Để (*) có nghiệm duy nhất ⇔(*)có nghiệm x = 0 và (**) VN
' 16 m 0 m 16
⇔ ∆ = − < ⇔ >
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
3.1 Giải hệ phương trình: x33 2x y
y 2y x
⎧ = +
⎪
⎨
= +
⎪⎩
3.2 Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2
x 2 y m
y 2 x m
⎧ + + =
⎪
⎨
⎪ + + =
⎩
3.3 Giải và biện luận hệ : x(3 4y ) m(3 4m )22 22
y(3 4x ) m(3 4m )
⎪
⎨
⎪⎩
Hướng dẫn và giải tóm tắt
3.1 x33 2x y (1)
y 2y x (2)
⎧ = +
⎪
⎨
= +
⎪⎩
(1) – (2): x3−y3= − ⇔x y (x y)(x− 2+y2+xy 1) 0− =
2 2
x y
x y xy 1 0
=
⎡
⇔ ⎢ + + − =
⎢⎣
Hệ đã cho tương đương với:
(I) (II)
x 2x y x y 3(x y)
⎧
=
= +
Giải (I) : x 0 x 3 x 3
⎧ ∨⎪ ∨⎪
⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ Giải
2 2
(x y) xy 1 0 (II) : (II)
(x y) (x y) 3xy 3(x y)
⎧ + − − =
⎪
⇔ ⎨ + ⎡ + − ⎤= +
⎩
2
s 0
p xy
s 1 p s(s 3p) 3s s 3p 3
⎧ − − = ⎧ = ⎧ = + ⎛ = + ⎞
=
− =
p 1 y 1 y 1
⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨
Đáp Số: (0,0) , ( 3, 3), (1, 1),( 1,1),( 3,− − − − 3)
3.2
2
0 0 2
x 2 y m Nếu he äco ùnghiệm (x ,y )thì cũng có
y 2 x m nghiệm( x , y ),(y ,x ),( y , x )
⎧ + + =
⎪
⎨
⎩ Vậy điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là x0=y0= thế vào hệ ta 0 được m= 2 Thử lại: m= 2
2 2
x 2 y 2
x 2 x 2
⎧ + + =
⎪
⎨
⎪ + + =
⎩
Trang 3Nếu x 0 : x2 2 2 VN
y 0
⎧ + >
⎪
≠ ⎨
≥
⎪⎩
Nếu y 0 : y2 2 2
x 0
⎧ + >
⎪
≠ ⎨
≥
Vậy x = y = 0 là nghiệm khi m= 2
3.3 x(3 4y ) m(3 4m ) (1)22 22
y(3 4x ) m(3 4m ) (2)
⎪
⎨
⎪⎩
(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0
TH 1: x = y : (1)⇔4x2−3x 3m 4m+ − 3= 0
2
x m
=
⎡
⎣
2
m 1 m 3 :≤ ∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm x ,x ⇒ hệ có 3 nghiệm 1 2 m 1 m 3 := ∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép: x1 x2 m
2
= = − ⇒hệ có 2 nghiệm
TH 2: 3 4yx 0 xy 3
4 + = ⇔ = −
Mặt khác (1) + (2): 3(x y) 4xy+ − 2−4x y 2m(3 4m )2 = − 2
2 2
(x y)(3 4xy) 2m(3 4m )
m(3 4m )
x y
3
−
⇒ + =
x,y
⇒ là nghiệm phương trình: t2 m(3 4m )2 t 3 0
−
giải tương tự như trên