Bài 2 NHỊ THỨC NIU tơn

NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu  Kiến thức + Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.. + Biết tính chất các số hạng..  Kĩ năng + Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số

Trang 1

BÀI 2 NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

+ Biết tính chất các số hạng

 Kĩ năng

+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển

+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Với mọi số thực a, b và mọi n   ta có

a b n

0

n

k n k k n k





0 n 1 n 1 k n k k n n

Quy ước: a0 b0 1

Tính chất

a) Số các số hạng của khai triển bằng n  1

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

số mũ của b tăng dần từ 0 đến n Tổng các số mũ của a

và b trong mỗi số hạng bằng n.

c) Số hạng tổng quát thứ k  có dạng:1

1

k n k k

  với k 0,1, 2, ,n

d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu

và cuối thì bằng nhau: k n k



e) C n k đạt giá trị lớn nhất khi 1

2

n

k  hay 1

2

n

với n lẻ;

2

n

k  với n chẵn

f) 0 n 1

1



Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:

- Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi

hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n n  thì hàng thứ 1 n  tiếp 1

theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp

của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị

trị giữa hai số này Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối

hàng

Hệ quả:

Với a b 1, ta có 0 1

Với a1;b1, ta có:

0 1

Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp

 1n 0 n 1 n 1 n 1 n

1 n 0 1 n 1 n 1 n n

 1n 0 1  1n n n

0

k



    0 1  

0

0n 1 1 n n k 1 k 1 n n

k



        

Trang 3

- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy

gồm n  số 1 0, 1, 2, , n 1, n

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển ax p bx qn

Phương pháp giải

Xét khai triển:

ax pbx qn    

0

n k





0

n

k n k k np pk qk n

k



Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa mãn

m np

np pk qk m k

q p



Vậy hệ số của số hạng chứa x m là k n k k

n

với giá trị k m np

q p





Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai

triển không chứa x m, hệ số phải tìm bằng 0

Ví dụ: Cho khai triển 2x 110 a) Tìm hệ số của x5 trong khai triển trên

Hướng dẫn giải

10

2 1 k 2 k 2k k k

Số hạng chứa x5 ứng với k  5

Hệ số cần tìm là 5 5

10.2 8064

Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm

giá trị k thỏa np pk qk  0

b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai

triển trên

Số hạng không chứa x ứng với k  0

Hệ số cần tìm là 0 0

10.2 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

21

2

x



  x  0

Ta có số hạng tổng quát là

 

2

k

x



Số hạng không chứa x ứng với 21 3 k 0 k 7

Chú ý:

 m n m n.

x x ;

m

m n n

x x x



m

n x m x n

Trang 4

Vậy hệ số cần tìm là 7 7

21

2 C

Ví dụ 2 Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển x31 x8

Số hạng tổng quát của khai triển là 3     3

 k   k

Số hạng chứa x6 khi k  3 6 k 3

Vậy hệ số cần tìm là C8313 56

Ví dụ 3 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

10

Ta có

10

Số hạng tổng quát trong khai triển là

10

Số hạng không chứa x ứng với 20 5 k 0 k4

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là

14C104.2 36 4 210.64.81 1088640

Chú ý: Phân biệt giữa

hệ số và số hạng.

Với    

0

n

g k x k



số hạng chứa x tương ứng với g k  ; giải phương trình ta tìm được k.

* Nếu k;k n thì

hệ số phải tìm là a số k

hạng phải tìm là k

k

* Nếu k   hoặc

k n thì trong khai triển không có số hạng của x, hệ số phải tìm bằng 0.

Bài toán 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P x ax tbx pcx qn

0





n

n k

Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là k i n k k i i  t n k   p k i qi   

n k

Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của x m

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển P x  x2 x 110

Với 0  q p 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x x2 x 110 là

Trang 5

 2 10 20 2

10   1 10   

Theo đề bài thì p q 20 2 p 2 p q 18

Do 0  q p 10 nên  p q;  9;9 ; 10;8    .

Vậy hệ số của x2 trong khai triển P x  x2 x 110 là 9 9 10 8

10 9  10 10 55

Ví dụ 2 Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển

1 2 x2015x2016 2016x20172017x201860

1 2 x2015x  2016x 2017x

1 2  20162015 2016 2017 2 60

Ta thấy chỉ có số hạng C600 1 2 x60 chứa x3 nên hệ số của số hạng chứa x3 là C C600 603 238C603

Bài toán 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Ví dụ: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức

   110

Hướng dẫn giải Bước 1: Tính hệ số a theo k và n Giả sử sau k

khi khai triển ta được đa thức:

0 1 2

P x a a x a x a x

Ta có  

10 10

10 0



k

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức x110 là a k C10k

1 10  , 1; 2;3; ;10

  k 

k

Bước 2: Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các k

hệ số a a0, , ,1 a Khi đó ta có n 1

1















Giải hệ phương trình với ẩn số k.

Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các hệ số k

0, , ,1 10

a a a Khi đó ta có 1

1















1

10 10 1

10 10

5











Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức là 5

5  10 252

Ví dụ mẫu

Trang 6

Ví dụ 1 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức

   13 13 12

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức 2x113 là

13

13.2 

k

a C với k1; 2;3; ;13 Giả sử a là hệ số lớn nhất trong các hệ số k a a0, , ,1 a 13

Khi đó ta có 1

1















13 1 12

11

4 14

3











k

Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là

4 9

4  13.2 366080

Ví dụ 2 Cho khai triển biểu thức  3329 Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất

Số hạng tổng quát trong khai triển là    9 3

9 3  2



k k

Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để T là một số nguyên thì k

 

   

3 9

9 9

3







 











k

Dễ thấy 4536 8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T3 4536.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Hệ số của x5 trong khai triển P x   x16x17 x112 là

Câu 2: Trong khai triển

6 2



x

x , hệ số của

3

x với x0 là

Câu 3: Hệ số của x7 trong khai triển 3 2 x15 là

A C157.3 28 7 B C157.3 27 8 C C157.3 28 7 D C157.3 27 8

Câu 4: Hệ số của x5trong triển khai thành đa thức 2x 38 là

A 5 5 3

8.2 3

Câu 5: Trong khai triển biểu thức x y 20, hệ số của số hạng chứa 12 8

x y là

Trang 7

A 77520 B -125970 C 125970 D -77520.

Câu 6: Hệ số của x5 trong khai triển x1 2 x5x21 3 x10 là

Câu 7: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P x  3x2 x 110 là

Câu 8: Khai triển  5 4 7124 Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

1 – A 2 – A 3 – C 4 – B 5 – C 6 – C 7 – A 8 – C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

Xét khai triển x 16 thấy ngay số hạng chứa x5 có hệ số là 1

6

C Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của x5 là 2 3 7

7, 8, , 12

Do đó hệ số cần tìm là C16C72 C127 1715

Câu 2.

Số hạng tổng quát của khai triển:

3 6

2

k

x





Số hạng chứa x3 ứng với 6 3 3 2

Vậy hệ số của x3 là 2 2

6.2 60

Câu 3.

Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn 3 2x 15 là

   

1 15k.3 k 2 k 1 k 15k3 k k2 k k

Để số hạng chứa x7 thì k  7

Vậy hệ số của số hạng chứa x7 là 7 8 7

153 2

C

Câu 4.

8

8 0

2 3 k.2 k k 3 k

k



Số hạng chứa x5 ứng với 8 k 5 k 3

Hệ số cần tìm là 3 8 3 3 3 5 3

8.2 3 8.2 3

Câu 5.

20

20 0

1k

k



Trang 8

Ứng với số hạng chứa x y thì 12 8 20 12 8

8

k

k k







Vậy hệ số của số hạng chứa 12 8

x y là  8 8

20

1 C 125970

Câu 6.

Hệ số của x5 trong khai triển x1 2 x5 là 2 C4 54

Hệ số của x5 trong khai triển x21 3 x10 là 3 3

10

3 C Vậy hệ số của x5 trong khai triển x1 2 x5x21 3 x10 là 2 4 C543 3C103 3320

Câu 7.

Với 0  q p 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P x 3x2 x 110 là

10p 3q p p q.1q 10p .3q p p q p

Theo đề bài ta có p q 20 2 p 4 p q 16

Do 0  q p 10 nên  p q ;   8;8 ; 9;7 ; 10;6      .

Vậy hệ số của x4 trong khai triển    2 10

P x  x  x là

8 8 10 8 9 7 10 9 10 6 10 10

10 .38 10 .39 10 10.3 1695

Câu 8.

124 124

124

124 0

k k

k

C





124

4

k

k k











 





Vậy số các giá trị k là 124 0 1 32

4



 

Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước

- Xác định số hạng tổng quát của khai triển 1



- Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k.

- Giải phương trình để tìm kết quả

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho x là số thực dương Khai triển Niu-tơn của biểu thức

12

2 1



x 

x ta có hệ số của một số hạng

chứa x m bằng 495 Tìm tất cả các giá trị m.

Trang 9

Số hạng thứ k1 trong khai triển là

 2 12 24 2 24 3

1

 

 

k k

x

Hệ số của số hạng x m là 495 nên

12

4 12!

8

! 12 !







C

k

Khi đó m24 3 k sẽ có 2 giá trị là m0 và m12

Ví dụ 2 Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1xn có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là

7

15.

Ta có 1  0 1 1 1

x n C n C x n  C x n k k C x n k k  C x n n n

 

1



k

n

k

n

Vì k n;   nên ta có k1 7  kmin  6 nmin 21.

Câu 1: Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1ax 1x4 có chứa số hạng 22x3

Câu 2: Biết rằng hệ số của x n 2 trong khai triển 1

4



n

x bằng 31 Tìm n.

1 3 x n a a x a x  a x n n với n*,n3 Giả sử a127, khi đó a2 bằng

Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển  2 1



n x

x biết

2 2 105

Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A n2 C n2C1n4n6 Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thức   2 3

n

Trang 10

Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5  1 3



n

C C Số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức

Niu-tơn

2

1 14

  

n nx

P

x với x0 là

A 35

16

35

16

35

 x

Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của   14 

n

x x

x với x0 nếu biết rằng

2 144

1 – C 2 – A 3 – C 4 – D 5 – C 6 – C 7 – A

Câu 1.

Ta có 1ax 1x4  1 x4ax 1 x4

Xét khai triển x14 x44x36x24x1

Suy ra số hạng chứa x3 là 4x3

Xét khai triển ax x 14 ax x 44x36x24x1ax54ax46ax34ax2ax

Suy ra số hạng chứa x3 là 6ax3

Suy ra số hạng chứa x3 trong cả khai triển là 6a4x3

Theo đề ra, ta có 6a 4 22 a3

Câu 2.

Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có

0

k n k n k



Hệ số của x n 2 nên ta có x n 2 x n k k 2

Ta có

2

4

Vậy n 32

Câu 3.

1

n

k



Suy ra a2 C92 23 324

Câu 4.

Trang 11

Ta có:

2 ! 2! 2 !

1

14 2

n







Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là  2 15   30 3

1

k

x



Số hạng không chứa x ứng với 30 3 k 0 k10

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là 10  10

15 1 3003

Câu 5.

Với n  , ta có:2

2

n n

A C C  n  n n    n n

12

n







Với n  ta có khai triển: 12   12  2 12 12 24 3

3

k k

x

 

 

Số hạng chứa x9 ứng với 24 3 k  9 k5

Vậy hệ số cần tìm là 5 5

12

3 C 192456

Câu 6.

Điều kiện: n,n3

Ta có

5

n

4

n







Với n  , ta có 7

7

2 1 2

x P

x

  

Số hạng thứ k  trong khai triển là 1   14 3

1 2

k



Số hạng chứa x5 ứng với 14 3 k  5 k 3

Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển là  3 3 5 5

7 4



Câu 7.

8 2

n

n n

n





Trang 12

Với n  ta có khai triển: 11  

11

2

k



Số hạng không chứa x ứng với 33 11 0 3

2

k



Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là 3

11 165

Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn

Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp:

 1 0 1  1 2  2   1

 n  n n n n  n n   n k n k   n n  n n

1  0 1 2 2 1 1

x n C n C x C x n  n  C x n k k C x n n n C x n n n

 1 0 1 1 2 2  1  1  1 1  1

 n  n n n n  n n    k n k n k  n n  n  n n  n

0

k



    0 1 2  

0



         

n

k

Một số kết quả thường sử dụng:





1, 1



1 1





1





 1  1  11



 n k   n k

0 1  n 2n

0





n

n k

1 2



0

1



 



n

k k n k

Ví dụ mẫu

2020 2020 2020 2020

Xét khai triển 1 n 0 1 2 2 n n

Thay x1;n2020 vào (*), ta được: 2020 0 1 2 2020

2020 2020 2020 2020

2 C C C  C (1)

Thay x1;n2020 vào (*), ta được 0 1 2 2020

2020 2020 2020 2020

0C  C C  C (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 2S22020 S 22019

Trang 13

Ví dụ 2 Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của 2 3 x2n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

2 1 2 1 2 1 2n1 1024

         Tìm hệ số của x7 trong khai triển trên

Ta có khai triển 1 2n 1 20 1 21 1 22 1 2 22n11 2n 1

Thay x  vào (*) ta được 1 2 1 0 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

Thay x  vào (*) ta được 1 0 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được 1 3 5 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2n1 2 n

        

Từ giả thiết ta có: 1024 2 2n  n5

Suy ra  10   10

10 0

2 3 n k 3 2k k k

k



Hệ số của x7 trong khai triển là 7  7 3 7 7

10 3 2 8.3 10

2017 2017 2017

S C C  C Khi đó giá trị S là

A 22018 B 22017 C 220171 D 22016

Câu 2: Tính tổng S C 100 2.C101 2 2C102  2  10C1010

A S 210 B S 410 C S 310 D S  311

Câu 3: Cho S C 158 C159 C1510  C1515 Tính S.

A S 215 B S 214 C S 213 D S 212

Câu 4: Cho 0 5 1 52 2 5n n

A C  C  C   C Khi đó

A A  7n B A  5n C A  6n D A 4n

1 x x a a x a x  a x Khi đó a0a1a2 a2018 bằng

A 22017 1

2017 B 22018 1

2018



2017



2018

Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3n 0 3n 1 1 3n 2 2  1n n 2048

trong khai triển x 2n là

Tổng S 1.a12.a23.a3 80. a80 là

Trang 14

Câu 9: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 26 7

4

x x



  , biết

2 1 2 1 2n 1 2 1

C  C   C    là

2018 2018 2018 2018 2018

S C  C C  C  C Khi đó:

A S  0 B S 22018 1 C S  1 D S 22018 1

1 – C 2 – C 3 – B 4 – C 5 – A 6 – B 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A

Câu 1.

2017 2017 2017 2017 2017

1x C C x C x  C k x k C x

2017 2017 2017 2017 2017

2 C C C  C k  C Suy ra 22017  1 S S 22017 1

Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển 1 1 2017 thì được

2017 2017 2017 2017 2017

       Suy ra S 22017 1

Câu 2.

Xét khai triển nhị thức  

10

0

k



Cho x  , ta được 1 310  1 210 C100 2C101 22C x102 8 2 10C1010

Câu 3.

Sử dụng đẳng thức k n k

C C 

 ta được:

15 15 15 15 15 15 15 15

S C C C  C C C C  C

 8 9 10 15  7 6 5 0  15 15

0

k



14

2

S

15 15 15 15 2

Câu 4.

Với a5,b1ta có: 5 1n 0.5 10 n 1.5 11 n 1 n.5 1n 0 0 5 1 5n n

6n

A 

Câu 5.

Trang 15

Xét khai triển  21009 2 2018

Thay x  vào (1) ta được: 1  1009 1009

0 1 2018 1 1 1 3

Câu 6.

Xét số hạng tổng quát 1 2017

1

k

C

k  , ta có:

1



k





2018 2018 2018 2018

C

Câu 7.

Ta có 3 1n 3n 0 3n 1 1 3n 2 2  1n n

11

2n 2048 2n 2 n 11

Xét khai triển  

11

11 0

k



Tìm hệ số của x tương ứng với tìm 10 kk11 thỏa mãn 11 k 10 k1

Vậy hệ số của x trong khai triển 10 x 211 là 1

11.2 22

Câu 8.

Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được:

80 x 2 a 2a x3a x  80 a x (2)

Thay x  vào (2) ta được: 1 S 80 1 2  79 80

Câu 9.

2k 1 2n1 k 0,1, 2, , 2 1

2 1 2 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n1

            

2 1 2 1 2n1 2 n

      

2 1 2 1 2 1 2 1

        

2 1 2 1 2n 1 2 n 2 1 2 n 1

4

1

k

x



Hệ số chứa x ứng với giá trị k: 1126 k 40 26  k 6

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,4 MB