các dạng bài tập nhị thức niu tơn

các dạng bài tập nhị thức niu tơn

Nhi thức Newton

n

C C C  C

PP giải: Vận dụng công thức hệ quả Sau đó chon giá trị x phù hợp với bài toán

1 Tính giá trị của biểu thức:

5 2 5 2 5 2 5

BC  C  C  C

n

CC C C  C

2n n 2n n 2n n n n

2

n

2n 2n n

3 1 2

n

2 2 2n n

FC  C  C  C

n

n

n

1

1

n

A n

 





2

n n

B 

1 2n



 1   1   1

D

 E P1 2P23P3 nP n

n

A

B

A A A A

a: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66

b: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55

c: S3 = 317 C017 – 41 316 C117 + 42 315 C217 – 43.314 C37 + …-417.C1717

d: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111

e: S4 C20020 C20022001C12002C20012000 C2002k C20022001k k  C20022001C10





2 Chứng minh rằng:

3 a C20n C22n  C22n n C21nC23n C22n n1

4 b    0 2 1 2  2

2

n n

2

2 2 3 2 3 2n3 n 2 n 2 n 1

C C C  C   

7 e C0 C2001C1 C2000 C k C2001k  C2001C0 1001.22002

Nhi thức Newton

8 (C n0)2 (C12n)2 (C22n)2 (C22n n)2 (1)n C12n

9 (-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cnn = 1

10 C02n + C12n + C42n + … + 2 2

2 ) (C n n = 22n-1

1001 1001 1  1001 1 

12 n1n2n3 2  n chia hết cho P = 1.3.5.7…(2n - 1)

13 Tìm số nguyên dương n thõa mãn: C21nC23n C22n n12048 ĐS: n = 6

n 2n 1

2) Chứng minh: C k kC k k1C k k2  C k m k 1C k m k1

3) Cho mkn Chứng minh: 0 1 1 2 2

C C C C  C C   C C  C 

1 k k 1 n n 0

5) a) Chứng minh:

1

1

n n n

n n n n

C C C C

n



  

   

HD: Sử dụng bất đẳng thức cosi

2n n k 2n n k 2n n

HD:

2.1.C n 3.2.C n  n n 1 C n n n n 1 2n 8) b) Chứng minh:    0 2 1 2  2

2

14

CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP

2

3

3) Chứng minh : C n kC n k1C n k11

4) Chứng minh: 21 23 25 1 ! 5 5

2

P A C  A  n k A

5)

6) Chứng minh rằng với 4kn thì: 1 2 3 4

4

C  C   C   C  C  C

C C  C  3 lần ta được đpcm

2 n k n k n k

n

Nhi thức Newton

n

n



    (n > 1, n thuộc N)

9) CMR:

1

n

     (n > 0, n thuộc N) 10) CMR P n   1 P1 2P23P3 n1P n1 = n! - 1 (n >1)

HD: Ta có: P k P k1k1P k1 Cộng vế cho vế ta được điều phải cm

Giải phương trình giai thừa

9) 3.C x212.A x2 x

A C   x

11) 2 2 3  1 2

12) Pn2 720A P n5 n5 

13) 3 2  1 

1

2

A  A  P 

14) Giải bất phương trình:

15) 41 31 5 22 0

4

C  C   A 

16)

4

1

3 3

1

14

x

x

x

A

P C









17) 1 22 2 6 3 10

18) Giải bất phương trình: C x x12 C x x11 2000

19) GPT: A x y1:A x y1:C x y121: 60 :10 ĐS: x = 7, y = 3





21) (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:

,

1 !

M

n

 



 biết rằng:

C  C  C C  ( n là số nguyên dương ) DS: M = 3/4

22) (DH- B 2002)Cho đa giác đều A1A2…A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O Biết số tam giác có 3 đỉnh

là 3 trong 2n đỉnh của đa giác gấp 20 số hình chữ nhật có đỉnh là 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác Tìm n

ĐS: n = 8 23)

Nhi thức Newton

IV – Nhị thức Newton:

24) Cho

12

1

x

x

a Xác định hệ số của số hạng thứ 8

b Xác định hệ số của số hạng chứa x 4

c Xác định số hạng khong chứa x của khai triến

25) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 của khai triển:

12

3 3

x x

26) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x của khai triển:

18 3

3

1

x x

27) Tìm hệ số của x9

trong khai triển  19

T  C

28) Tìm hệ số của x7trong khai triển  15

2

T C 

29) Tính hệ số của 5 8

y

x trong khai triển  13

y

x ĐS: T9C138 1287 30)

31) Tìm số hạng đứng giữa của khai triển: 1

3

n

x

  biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 5

32) Cho 3 12

n

x

x

  Tìm hệ số của số hạng chứa x

2

biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển bằng

11

33) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển  2 

1 n

x  bằng 1024 Tìm hệ số của số hạng chứa x12 34) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 của khai triển:

8

x x

35) Tìm x để trong khai triển:

6 1

12

lgx1

x  x



  có số hạng thứ 4 bằng 200

36) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

8











x

37) Trong khai triển

17 3 4

1

x x



  Tìm số hạng không chứa x của khai triển

38) (ĐH-D-2004 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

7 3

4

1

x x

  với x > 0

39) Biết hệ số x2

trong khai triển  n

x

3

1 là 90 Tìm n

40) Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết

Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 ĐS: 792

x x

x3  28/15

Nhi thức Newton 41) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:   5  6 7  11

1x  1 x  1 x    1 x

Tính A7=?

42) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức  2 39

1 x x Ta được một đa thức:

x

P A A x A x  Tính A7

43) (Đại học Thuỷ lợi, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:     9 10  14

Q x  x  x   x

Q x a a x a x Xác định hệ số a9

44) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của 8

x trong khai triển của biểu thức: 2  8

45) Tìm hệ số chứa 5 3 6 6

x y z t trong khai triển  20

x  y z t

46) Tìm hệ số chứa x y z trong khai triển: 6 5 4  15

126126.10



1 x x x a a x a x

1.Tính a3

2.Tính a0  a1 a2 a28

48) Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển:  210

1 2 x3x

49) Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:     2  3  4 5

x

50) Trong khai triển:

7 3

2

1

x x



  .Tìm số hạng chứa

2

x của khai triển đó

51) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa 8

x trong khai triển nhị thức Newton của: 13 5

n

x x

rằng: C n n41C n n3 7(n3) ( n là số nguyên dương, x > 0 )

52) (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3là hệ số của 3n 3

x  trong khai triển thành đa thức của

 2   

1 n 2 n

x  x Tìm n để a3n3 26 n

53) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa 26

x trong khai triển nhị thức Newton của: 14 7

n

x x

  , biết

rằng: C12n1C22n1C23n1  C2n n1 2201 ( n là số nguyên dương, x > 0 )

54) Trong khai triển:

21 3

3



  Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau



Nhi thức Newton 56) Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: 0 1 2

, , , , n

C C C C

57) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:  n

a b , biết rằng tổng các hệ số bằng 4096

58) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: (1 + x)n

59) Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển ĐS: 1792/2187

60) (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1 2 xn a0a x1   a x n n Trong đó nN* và các hệ số a a0, 1, ,a n

thỏa mãn hệ thức: 1

n n a a

a     Tìm số lớn nhất trong các số: a a0, , ,1 a n

61) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:

1 1







dương ) Biết rằng trong khai triển đó 3 1

5

C  C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x

62) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 2 1 2n 2n1 2005

63) (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng:

n

n

n





64) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2

2 4 2n n 243

C  C  C   C 

65) Xác định hệ số chứa x11 trong KT:  2   3 

2 n 3 1 n

2n n 3 2n n 1 3k k 2n n k 3 n 2n 1024

C  C    C   C 

66) Tính tổng !

! ! !

i j k n

n

i j k

67) Tính tổng:   ! 2

! ! ! 3

j k

i j

i j k n

n

  



3 3

n

Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau:

Hãy tìm hệ số a5

Bài 2: Tìm hệ số của x5

trong khai triển  5 2 10

x  x x  x ( Khối D-2007)

Bài 3: Tìm hệ số của x5

y3z6t6 trong khai triển đa thức  20

x  y z t ( Đề 4 “TH&TT” -2003)

Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11

trong khai triển đa thức:

 2   3 

2 n 3 1 n

x  x  biết:

 

2n n 3 2n n 1 3k k 2n n k 3n 2n 1024

C  C     C    C 

Bài 5: (LAISAC) Khai triển   3

2

1 2

n

x

P x a x a x  a x   Biết rằng ba hệ

8

3

2 3

1











 