chuyen de phuong trinh luong giac

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos x  sin 2 x  0.. Giải.[r]

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC

I CÔNG THỨC

I 1 Công thức lượng giác cơ bản

2

2

2

1

1

a









I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối:  à

b Cung bù:  à  

c Cung phụ: và 2



c c

d Cung hơn kém  : à  

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

I 3 Công thức cộng

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b

a b







Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia

1 trừ tích tan.

I 4 Công thức nhân đôi

2

2 tan sin 2 2sin cos os2 os sin 2cos 1 1 2sin tan 2

1 tan

a

a



I 5 Công thức hạ bậc



I 6 Công thức tính theo t tan 2





2





I 7 Công thức nhân ba

3

2

3tan tan sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan 3

1 3tan

a





I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích

I 9 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1 sin cos sin sin

2

     

     

     

I 10 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung 0 00  0

30 6



 

 

 

0

45 4



 

 

 

0

60 3



 

 

 

0

90 2



 

 

 

0 2 120

3



 

 

 

0 3 135

4



 

 

 

0 5 150

6



 

 

  1800 

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

1 3

1 3

Chú ý:

 sin

2

n

 

với  0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 900 0 0 0 0 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4.

 Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:

0 0

a 180







I 11 Đường tròn lượng giác

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

II.1.1 Phương trình sin x a 

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1



2 sin sin

2



 



  







0

360 sin sin







  







sin 2 sin

sin 2









Tổng quát:

2 sin sin

2









* Các trường hợp đặc biệt

2

2 sin 0

















Ví dụ: Giải các phương trình sau:

)sin sin

12

a x  b)sin 2x  sin 360

1 )sin 3

2

3

Giải

)sin sin

11 12





 

 

)sin 2 sin 36 sin 2 sin 36

18 180

108 180

k





  





 

2

)sin 3 sin 3 sin









2 arcsin 2

)sin

2 3

arcsin 2 3











II.1.2 Phương trình cos x a 

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1

 c x cos  os  x  k2k 

 c x cos  os0  x0k3600k 

 c x aos   xarcc a kos  2k 

Tổng quát: c f xos   c g xos    f x g x k2 k 

* Các trường hợp đặc biệt

os 0

2













Ví dụ: Giải các phương trình sau:

) cos os

4

) cos 45

2

) os4

2

;

3 ) cos

4

Giải

2



II.1.3 Phương trình tan x a 

tan t an =

tan = arctan









Tổng quát: tan f x tang x  f x g x k k 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

) tan tan

3

) tan 4

3

b x  c) tan 4 x  200  3

Giải

) tan 4 20 3 tan 4 20 tan 60 4 20 60 180 4 80 180

20 45 ,

II.1.4 Phương trình cot x a 

cot cot x = + k

cot cot x = + k180

cot x = arc cot + k









Tổng quát: c f xot  c g xot    f x  g x k k 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

3 ) cot 3 cot

7

) cot 4 3

1 ) cot 2

c  x  

Giải

1

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin 2 x1 sin 3 x1

2)

    3) tan 2 3 tan

3

cot 45

3

x

3 sin 2

2

x

6) cos 2 250 2

2

x

7) sin3xsinx 8) cot 4 x2  3

9) tan 150  3

3

x

10) sin 8 x600sin 2x0

11) cos cos 2 300

2

x

x

12) sinx cos 2x0

13)

tan cot 2

4

x   x



2

3

16) sin 4x cosx 17) sin 5x sin 2x 18) sin 22 xsin 32 x

19) tan 3 x2 cot 2 x0

20) sin 4xcos5x0 21) 2sinx 2 sin 2x0

22) sin 22 xcos 32 x1 23) sin 5 cos3x xsin 6 cos2x x

2

cos 2sin 0

2

x x

25)       

2

26) tan 5 tan3x x1

27)





2 sin cos

4 x 2 28) tan 4sinx 1 1



2 2

x   

Bài 3: Tìm x0;3

sao cho:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Giải các phương trình sau:

18)

22)

23)

sin 5 cos3 sin 6 cos2 sin 2 sin8 sin 4 sin8 sin2 sin 4

24)

cos 2sin 0 cos 1 cos 0 cos

x

25)         

tan 3 cot 5 1 25

2

Vì



2

x

hoặc cot 5 x  0

không là nghiệm của pt (25) nên ta có:





1

x

26) tan5 tan3x x1 26 

Vì tan 5x0 hoặc tan3x0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:



1 tan 5 tan3 1 tan5 tan 5 cot 3 tan5 tan 3

x

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

0

at b  t trong đó a,b là các hằng số a 0và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ:

1 2sin 1 0; os2 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0

2

II.2.1.2 Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Giải

2

) 2sin 1 0 sin sin sin

5

2 6













 



  





) 3tan 1 0 tan arctan

) 3 cot 1 0 cot cot cot

3

d x   x  x   x  k k 

II.2.1.3 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình sau:2cosx sin 2x0

Giải

 

cos sin 2 0 cos 2sin cos 0 cos 1 2sin 0

2 cos 0

cos 0

, 1

6

x x















 

















  





II.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at bt c  , trong đó a, b, c là các hằng số a 0

và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ:

a) 2sin2xsinx 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x

b) cos x2 3cosx1 0 là phương trình bậc hai đối với cos2x

c) 2 tan2x tanx 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

d) 3cot 32 x 2 3 cot 3x 3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x

II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai

theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện   1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

Giải

2

) 2sin sin 3 0(1)

Đặt tsinx, điều kiện t 1 Phương trình (1) trở thành:

  2

1 ân

2







   

 



Với t=1, ta được sinx 1 x k 2k 

  2

b cos x cosx 

Đặt t c x os , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

  2

3 13

â 2

3 1 0

3 13 2

  







   

  







Với

3 13 2

Các câu còn lại giải tương tự

II.2.2.3 Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

2

)3sin 2 7 cos 2 3 0

Giải

2

)3sin 2 7 cos 2 3 0 3 1 cos 2 7 cos 2 3 0 3cos 2 7 cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0 cos 2 0

3cos 2 7 0

x x







*) Giải phương trình:

7 3cos 2 7 0 cos 2

3

Vì

7 1

3  nên phương trình 3cos 2x  7 0 vô nghiệm

  )7 tan 4 cot 12 1

Điều kiện: sinx 0và cosx 0 Khi đó:

1 7 tan 4 12 0 7 tan 12 tan 4 0

tan

x

Đặt t tanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2 4 12 0t 

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) 2 cos2x 3cosx 1 0 32) cos2 xsinx 1 0 33) 2 cos2x 4 cosx1

34) 2sin2x5sin – 3 0x  35) 2cos2x + 2cosx -√2=0 36)

6 cos2x+5 sin x −2=0

37) 3 tan2x (1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x14cos 21 0x 

39)

2

    40) 4cos 2( 3 1)cos2x  x 3 0 

II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:

II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

.sin sin cos os , , 0

a x b x x c c x d a b c 

II.2.3.2 Phương pháp:

 Kiểm tra cosx 0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

 cosx 0chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:

a d tan2x b tanx c d  0

Ví dụ: Giải phương trình sau

Bài tập đề nghị:

41) 3sin2x 4sin cos +5cosx x 2 x2 42) 2cos2x 3 3 sin 2x 4sin2x4

43) 25sin2x15sin 2x9cos2x25 44) 4sin2x 5sin cosx x 6 cos2 x0

45) 4sin2x 5sin cosx x0 46) 4sin2x 6cos2x0

II.2.4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

sin cos

a x b x c trong đó a b c  , , và a2 b2 0

Ví dụ: sinxcosx1; 3cos 2x 4sin 2x1;

II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

1

c

1

c

c

Đưa phương trình về dạng:





 ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình asinx b cosx c trong đó a b c  , , và a2b2 0 có nghiệm khi c2 a2b2

Giải

Ví dụ: giải các phương trình sau:

a) sinxcosx1; b) 3cos 2x 4sin 2x1;

47) 2sinx 2 cosx  2 48) 3sinx4 cosx5 49) 3sinx1 4cos x1 5

50) 3cosx4sinx5 51) 2sin 2x 2cos 2x 2 52) 5sin 2x 6cos2x13;(*)

53)



   

sin cos

III BÀI TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:

55

1 sin 2

2

x 

56

3 os2

2

57  0 1

tan 30

3

58

1 cot 5



  59

sin 2 sin

4

x x  

  60

61 cos 2 x200 sin 60 0 x

62

tan 5

3

x 

Bài 2 Giải các phương trình sau:

64

6

  65 cos 22 x c os2x=0 66 tanx1 cos x0

67 2sin2xsinx 3 0 68 4sin2 x4cosx1 0 69 tanx2 cotx 3 0

70 2cot4x 6cot2x 4 0 71 sin4 x c os4xcosx 2

72 1 cos4 sin 4x x 2 sin 22 x

(*) 73 3sin2 x 2sin cosx x c os2x0

74 cos2 x sin2 x 3 sin 2x1 75

sin 2 sin 4 2cos 2

2

Bài 3 Giải các phương trình sau:

76 3sinx4cosx5 77 2sin 2x 2 cos 2x 2 78 √3 cos x − sin x=√2

79

sin 2 sin

2

80 cos 2x9 cosx 5 0

81) sin 6x 3 cos 6x 2

82) cos2xsinx 1 0

83) 3sinx 3 cosx1

84) 5cos 2x12sin 2x13

85)

sin sin 2

2

86) cos2x sinx2

87) 4sin2 x3 3sin 2 2cosx 2x4

88) 24sin2x14cosx 21 0

89)

90)

2

91) 3sin2 x8sin cosx x8 3 9 cos  2x0

92) 2sin 3x 2 sin 6x0

93) 3 cos2x 5 sin2 x 1

94)

95) 4cos 22x  3 1 cos  x 3 0 

96) sin2 x–10sin cosx x21cos2x0

97) cos2x sin2x 2sin 2x1

98) cos 4 sin3 cosx x x sin cos 3x x

99)

1 sin cos

sin

x

Dành cho HS khá – giỏi 100) cosx 3 sinx2 os3c x

101) tanxtan 2 tan 3 x x

HD:

cos cos 2 cos3 cos cos 2 cos3

Giải phương trình

 

3 2

0 cos cos 2 cos3

cos3 cos cos 2 0

4cos 3cos cos 2cos 1 0

2cos 2cos 0

cos cos 1 0

102)  2sinx cosx 1 cos x sin2 x

103) (1 cos 2 )sin 2 x xsin 2 x

Hướng dẫn:

2

(1 cos 2 )sin 2 x xsin x

104) cos 1 tanx  x sinxcosxsinx

105) cotx tanxsinxcosx

Hướng dẫn

cotx tanxsinxcosx, (điều kiện sinx 0và cosx 0)

     

 

 

cos sin

sin cos sin cos

cos sin

sin cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin cos 0 cos sin cos sin sin cos 0

cos sin 0 91 cos sin sin cos 0 91



 



HD giải pt 91b):

cosx sinx sin cosx x0

2 2

cos sin cos sin 1 2sin cos sin cos

2

t

Thay vào phương trình, ta được:

2

2

1

2

t

t    t  t    t  t 

Ta giải 2 phương trình: cosx sinx 1 2; cosx sinx 1 2

106)

sin 2 2 cos 0

4

sin 2 2 cos 0 1 cos 2 1 cos 2 0

Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x

107) 2sin 17x 3cos 5xsin 5x0

HD:

2sin17 3cos 5 sin 5 0

sin17 cos 5 sin 5 0

sin17 sin 5 0

3

108) cos 7x sin 5x 3 cos 5 x sin 7x

109) tan 2 45 tan 180 0 0 1

2

x

200)

1 cos 2 sin 2 cos 1 cos 2





 ) cos 2 sin cos 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

52) 5sin 2x 6cos2x13;(*)

 

5sin 2 3 1 cos 2 13

sin 2 3cos 2 16

53)





2 2

1 cos 2

2

sin cos

x x

   

1 cos2 1 sin2 1

1 2 cos2 cos 2 1 2sin 2 sin 2 1

1 cos2 sin 2 0

cos2 sin 2 1

1 cos2 1 sin 2 1

sin cos2 cos sin 2 sin

sin 2 sin

x

72) 1 cos4 sin 4x x 2 sin 22 x

1 cos4 sin 4x x 2 sin 22 x



85)

sin sin 2

2

1 cos 2 sin 2

sin 2 cos 2 0

87) cosx 3 sinx c os3x

cosx 3 sinxcos3x

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Giải các phương trình sau:

201) cos5 sin 4x xcos3 sin 2x x

cos cos 2

2

203) sinxsin 2xsin3xcosxcos2xcos3x

204) sin3xsin 5xsin 7x0

205) cos2xcos 22 xcos 32 x1(*)

206)

3

x x

(*) (hay)

x

207)

3 sin 3 2sin

III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM

2

1) cos 3 cos 2x x cos 2x0 (Khối A - 2005)

2) 1 sin xcosxsin 2x c os2x0 (Khối B - 2005)

 6 6 

2 cos sin sin cos

2 2sin

x



5)

cot sin 1 tan tan 4

2

x

6)cos3x c os2x cosx1 0 (Khối D - 2006)

7)1 sin 2xcosx1cos2xsinx 1 sin 2x

(Khối A – 2007) 8)2sin 22 xsin 7x1 sin x (Khối B – 2007)

9)

2

10)

4sin 3

2

x





11)sin3x 3 cos3xsin osxc 2x 3 sin2xc xos (Khối B – 2008)

12)2sin 1x cos2xsin 2x 1 2cosx

(Khối D – 2008)

1 2sin cos

3

1 2sin 1 sin





(Khối A – 2009)

14)sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4 xsin3x

(Khối B – 2009)

15) 3 cos5x 2sin 3 cos 2x x sinx0 (Khối D – 2009)

1 sin os2 sin

1

x x



17) sin 2xcos 2 cosx x2 cos 2x sinx0

(Khối B – 2010) 18) sin 2x c os2x3sinx cosx 1 0 (Khối D – 2010)

1 sin 2 os2

2sin sin 2

1 cot

x



20) sin 2 cosx xsin cosx x c os2xsinxcosx (Khối B - 2011)

21)

sin 2 2cos sin 1

0 tan 3

x



22) 3 sin 2x c os2x2cosx1 (Khối A và A1 - 2012)

23) 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx1

(Khối B - 2012) 24) sin 3x c os3x sinxcosx 2 cos 2x (Khối D - 2012)