chuyên đề phương trình lượng giác

Đại Học Y Dược TP... Đại Học Kỹ Thuật TP... Trung Học Kinh Tế năm 2002 cos 4x sinxsin 7x cos 2x MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các đề thi đại học những năm gần đây

Giá trị lượng giác của các cung có dạng: ; ; ; ; ( )

2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

☻ Hai cung đối nhau : x và x ☻ Hai cung bù nhau : x và    x

 

cos  x cosx sin x  sinx sin   x sinx cos   x  cosx

 

tan  x  tanx cot x  cotx tan  x  tanx cot   x  cotx

☻ Cung hơn kém  là : x và   x ☻ Hai cung phụ nhau là : x và

4 Công thức NHÂN ĐÔI

2 2

2cos 1

1 2sin

a a

1 cos 2

2

a a

1 cos 2

2

a a

a





cos cos 2cos cos

a b  a b  a b  cos sin  sin cos  ?

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

 Nếu a 1 hoặc a  1 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu a 1 hoặc a  1 thì phương trình (2) vô nghiệm

Điều kiện xác định của phương trình (4) là: sinx0  x k , k 

Phương trình (4) luôn có nghiệm

CT12 cotx a  xarc cota k , k 

BT1 Giải các phương trình lượng giác sau:

 sinxcosx 1 sin cos x x  sinxcosx sinx cosx 0  …

2) cos 2x1 2cos x sinx cosx 0

 cos2x sin2x 1 2cos x cosx sinx  0  …

3) 4sin3x4sin2 x3sin 2x6cosx0

4sin x4sin x6sin cosx x6cosx 0  2sin2 xsinx13cosxsinx1 0  …

4) 2sin2 x1 tan 2 2 x3 cos 2x1 0 (nhớ điều kiện của phương trình là: cos 2x 0)

 sin 22 x3cos 2 sinx 2 x0

 4sin cos2x 2x3cos 2 sinx 2 x 0  …

 3 sin 2x cos 2x4sinx 1 0

 3 sin 2x4sinx 1 cos 2x0

 2 3 sin cosx x4sinx2sin2x0  …

11) sin 2xcos 2xsinx cosx1 0

 sin 2x1cos 2xsinx cosx 0   cosx sinx2cos2x sin2 x cosx sinx0 

15) sin 3x 3 cos3x2sin 2x

4sin3

19) 2sin 22 xsin 7x1 sin x

 2sin 22 x 1 sin 7xsinx

 cosxsinxsin cosx xsinxcosx  sinxcosx2 …

 cos 2x2sin 22 x1 cos 2x2 1 cos 2  2 x 1  …

24) sin2 tan2 cos2 0

 cos 6x1 cos 2 x cos 2x1 0  …

2 2

x



 5sinx 2 1 sin   x3sin2 x  …

 2cosx1 2sin  xcosx 2sin cosx x sinx

 2cosx1 2sin  xcosx sinx2cosx1  …

2 cos xsin x  cos 4xsin 2x 3 0

 2 cos 2 xsin2x2 2sin2xcos2x  cos 4xsin 2x 3 0

???

2 4sin xcos x cos 4xsin 2x 3 0

 2 sin 2 2 x cos 4xsin 2x 3 0

 2 1 3sin cos  2 x 2 x sin cosx x0

 4 1 3sin cos  2 x 2 x 2sin cosx x0

 2 sin 6xcos6 x sin cosx x0  …

31) cot sin 1 tan tan 4

 cos3x cosx  cos 2x1 0  … (biến tổng thành tích)

33) 2sinxcotx2sin 2x1 (điều kiện sinx 0)

 2 2 sin xcosxcosx2cos2 x2  …

(chia cả hai vế cho cos x , rồi đưa về pt bậc hai đối với 2 tan x , nhớ vận dụng 12 1 tan2

39) 2sinx1 3cos 4  x2sinx 44cos2 x3

 2sinx1 3cos 4  x2sinx 44(1 sin 2x) 3

 2sinx1 3cos 4  x2sinx 4 1 4sin2x0

 2sinx1 3cos 4  x2sinx 4  1 2sin x 1 2sin x 0  …

 2cosx2sinx1sinx2sinx1 3 2sin x1  …

 sinxcosx sin2x sin cosx xcos2x cos2x sin2 x  …

69) sin 2 2cos sin 1 0

55) sinxcos sin 2x x 3 cos3x2 cos 4 xsin3x (B-2009)

sin

2

x x

62) 1 sin 2xcosx1 cos 2xsinx 1 sin 2x (A-2007)

x x

Vì cosx0 không thỏa mãn phương trình Chia hai vế của phương trình cho cos3x0 ta có :

tanx134 tan 1 tanx  2x  tanx1 3tan  2x1 0 tanx1

C2 (*)sinx cosx3 4sinx sinx cosx sinx cosx2 4sinx

2 2

1cos 2

23

2

x x

x x

(1) tan4 x 2 tan2 x  1 0 tan2x12 0 tan2 x 1 tanx1

25 5 1 sin 2  x12 sin xcosx 7 0

2sin

x x

x x x x

34 C1 : tan2xcot2x2 tan xcotx 6 (*)

2

k

35 tan2 xcot2x5 tan xcotx 6 0 (*)

38.sinxcosx3 2 1 sin 2  xsinxcosx 2 0

Phương trình trở thành :t3 2t2 t 2 0  t 2 t21   0 t 2

39. 2 sin xcosx tanxcotx

x x

59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999

sin3x cos3x sin2x cos2x 2 sin 5x cos5x

64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

66 Học Viện Quân Y khối B năm 2001

sin 2x4 cosx sinx  4 1 sin 2 x  4 cosx sinx  3 0

cosx sinx2 4 cos x sinx 3 0

sinx2cosxcos 2x 2sin cosx x0

2

x x x

2 cot 2x cot 3x tan 2xcot 3x

Điều kiện : sin 2x0 ; sin 3x0 ; cos 2x0

Vậy phương trình vô nghiệm

77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997

86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D

2

x x

88 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997

2sinx1 2sin 2  x1  3 4cos2 x

2

x x

96 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1995

3 cotx cosx  5 tanx sinx 2 (*)

Ñieàu kieäncossinx x00

tanxcotx2 sin 2xcos 2x

x

x x

106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A

cosxsin 2x sin 4x

Điều kiện :sin 4x 0

tan x tan tan 3x x2

x x

tanxcotx2cot 2x

115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998

2cos xcos 2xsinx0 2cos3 x2cos2 x 1 sinx 0 2cos2x1 cos x  1 sin x0

1 sinx cosx sinx cosx sinx 2 0 1 sinx cosx sinx 0

123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997

3 2sin cos 1 cos2 

127 Đại Học Tài Chính – Kế toán năm 1997

1 tan x 1 sin 2 x 1 tan (*) x

Điều kiện: cosx 0

2

2

129 Trung Học Kinh Tế năm 2002

cos 4x sinxsin 7x cos 2x

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trong các đề thi đại học những năm gần đây, đa số các bài tốn về giải phương trình lượng giác đều rơi vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu Nhằm giúp các bạn ơn thi cĩ kết quả tốt, bài viết này tơi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng tốn đĩ.

x k

Bài 2 Giải phương trình : 3 3 2 3 2

*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng

công thức nhân 3 (chương trình mới không dùng)

Bài 3 Giải phương trình : 2cos2 2 3 cos 4 4cos2 1

2 Phương trình sử dụng một số biến đổi khác

Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

x x

 2sin cosx x sinx cosxsinx  cosx sinx2 2 cos x sinx 0

 cosx sinx 2sin x cosx2sin2x cosxsinx 2 0

 cosx sinx 2sin cosx x 2cos2x cosxsinx 0 phần còn lại dành cho bạn đọc

Bài 5 Giải phương trình : cos 2x3sin 2x5sinx 3cosx3 (5)

Giải

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm

Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot Khi đó, có thể sử dụng một số công thức

Bài 6 Giải phương trình : cot tan 2cos 4

k Z

x x