Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.[r]
Trang 1Chủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số
1 Hệ phương trình bậc 1 :
ax by c
a x b y c
Tính : D = , Dx = , Dy =
' '
a b
c b
a c
a c
D 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0, Dx 0 Dy 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)
2 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y Đặt S = x + y, P = xy
ĐK : S2 – 4P 0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y
(, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm;
Nghiệm duy nhất = m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không
3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1
4 Hệ phương trình đẳng cấp :
ax bxy cy d
a x b xy c y d
Xét y = 0 (Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx)
Xét y 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trình theo y, giải ra
y, suy ra t, suy ra x
5 HOÁN VỊ VÒNG QUANH :
( ) ( ) ( )
x f y
y f z
z f x
Xét hàm số f(t) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D
Với x, y, z D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D suy ra x = y = z
Thế vào hệ, giải pt x = f(x) trên D
Trích đề thi ĐH – CĐ (2002–2008) A– Cơ bản:
1) (A–03)
y x
(2)
(2)
1;
2 1
2) (B–02)
2 (2)
x y x y
x y x y
(1)
(2) (2)
1
3) A2–05)
x y
Đặt u = u 2x y 1 0;v x y 0
Có u v 1 u 2 ĐS (2; −1)
Trang 24) (D1–06) Đặt
3( ) 7( )
x xy y x y
x xy y x y
u x y
v xy
.ĐS: (0;0),(2; 1),(−1; −2)
2
2
1; 2 2
u v
v u
5) (D–02)
1
x
x
y
(2) 2x = y >0 (1) (0;1),(2;4)
6) (B–05)
3log (9 ) log 3 (2)
(2) x = y (1) ñk (1;1),(2;2)
7) (A–04)
4
2 2
1 log ( ) log 1 (1)
y x
y
x y
(1) 3 (2) (3;4)
4
ñieáu kieän
y
x
8) (D2–06)
ln(1 ) ln(1 ) (1)
12 20y =0 (2)
x xy
(2) x= 2y; x = 10y x và y cùng dấu
Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) f(x) = f(y)
Từ tính đơn điệu của f(t) x = y ĐS: (0; 0)
9) D08)
2 2 2 (1)
xy x y x y
(1)(x+y)(x–2y–1)=0ñk:x 1;y 0 x= 2y+1 (2) (5;2)
10) (A08)
4 2
5 4 5 (1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
Đặt có
2
u x y
v xy
2
5 (1) 4
5 (2) 4
u v uv
u v
(1)
2 (2)
5
11) (B–08)
2
x x y x y x
x xy x
(2) xy = 3 3 2 (1) ( 4; )17
x x
12) (B2–08) x 1 y 8 x3 (1)
Trang 3Thế (2) vào (1) x 1 (x 1) 2 x3 8 0 (x 1)
Cách 1: đặt t = x1 t =1 (2; 1)
Cách 2: f(x) = x 1 (x 1) 2 x3 8 (x 1)
Có f(x) đồng biến x > 1 x =2 là nghiệm duy nhất
13) (A–06)
.
x y xy
Bình phương 2 vế pt(2) pt(3) Đặt t = xy (1) x y t 3; thay vào (3)
t =3 đáp số (3; 3)
B- Đối xứng loại I (S; P)
14) (A1−05)
x y x y
x x y y y
ĐS:( 2; 2),( 2; 2),(1; 2),( 2;1)
15) (CĐ–06)
2 y =8 2 xy(x+1)(y+1)=12
x y x
16) (A1–06)
2 2
1 ( ) 4 (1)
x y y x y
Cách 1: (1) y 0 chia 2 pt cho y ,
2 1
2
x
u
y
v x y
2
1 1
u v
u v
Cách 2: Thay y từ (2) vào (1) y+x–2=1 ĐS(1;2), (–2;5)
17) (A2–07) Đặt u = –x2; v = xy ĐS:
4 3 2 2
1 1
x x y x y
x y x xy
0 1
u
u v uv
v
u v uv
(1; 0), (–1; 0)
C- Đối xứng loại II
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
19) (ĐH –99)
2
2
x
y x y
x y
( 2; 2),( 2; 2) (1;1), (-1;-1)
2 2 3 1 (1)
2 2 3 1 (2)
y x
Đặt u =x –1; v =y –1 Lấy (1)–(2) pt (3): f(u) =f(v)
Với hàm số f(t) = t t2 1 3t đồng biến trên D u=v
g(u)= 21 1 =0; g(u) nghịch biến u =0 là nghiệm duy nhất x =
3u
u u
y =1
HD: TH1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú ý: x>0 , y>
0 suy ra vô nghiệm
Trang 421) (B2–07)
2
3 2
2 2
3
2 9
2 9
x x
y y
C1: (1)– (2) cĩ (x–y).A = 0 (A 0 ) x = y
2
xy
vì
2 2
(x 1) 8 (y 1) 8
ĐS (0; 0), (1; 1)
2
2
2007 (1)
1
1
x
y
y e
y x e
x
0 0
x y
Từ x>0; y > 0 ex>1; ey>1 Lấy (1) –(2) (3): f(x)=f(y),
Với f(t)= f(t)đồng biến t >1 x =y
2 ( 1) 1
t
g(x) = g”(x) > 0 ;
2 2007 0 1
e
x
kết hợp tính liên tục của hàm số đpcm
23) HSG)
2 2
3 ln(2 1) (1)
3 ln(2 1) (2)
Đk: x> –1/2; y>–1/2 Lấy (1) –(2) f(x) = f(y)
Với f(t)= t2+4t+ln(2t +1)( 1) f đồng biến x = y
2
t
g(x) = x2+4x+ln(2x +1) = 0; g(x) đồng biến x = 0 là nghiệm duy nhất
Đáp số x = y = 0
thư ûlại
D- Hệ đẳng cấp:
3 3
x xy y a)Giải hệ phương trình khi m = 3
b)Tìm m để hệ phương trình co ùnghiệm
x xy y m
x = 0 y2 = 3= −m/3 m = –9
x 0 y = tx (t ) (*)
2 2
C1: KSHS f(t) =
2 2
1
t t
C2: (*) pt b2 theo t ĐKCN : 0đáp số
25) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x2 –xy +y2 3 Chứng minh:
1 2 7 x2 xy 2y2 1 2 7
E- Hệ hốn vị vịng quanh
Trang 526) D2–08)
2 2 2 2 2 2
60
60
60
x y x y z y z x z
x; y ; z không âm
x = 0 y = z = 0 x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ
x > 0 y > 0; z > 0
Xét f(t) = f đồng biến x = y = z= là 1 n0
2 2
60
36 25
t t
5 6
27) (A2–06)
3 3( 1)
28) (B2–06) ( (3;2), (–2;–3) )
2 2
2 2
x y x y
x y x y
29) (D1–04) (x=y=–1; x=1,y=0)
1
2x y 2x
x y y x
x y
30) (A1–03)
3 log 2
x y
31) (B1–02) ((1;1), (9;3))
2 2 1 7 2( , )
1 13
x y
5
x x y
x y
x
2
2
xy y
2
5
2 5
y
x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x2=20 x,y