Chuyên đề phương trình lượng giác 2014

Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 1.. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos

Trang 1

Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

1 Hệ thức cơ bản giữa các ham số lượng

giác:

2 2

0

0 30 6



0 45 4



0 60 3



0 90 2



0

180



5 Các cung liên quan đặc biệt

Cung đối nhau:

Trang 2

2 2

cos (a ± b) = cosacosb sinasinb

sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa

) cos(

2

1 sin

sin

) cos(

2

1 cos cos

b a b

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

8 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

Trang 3

2 =1 2sin a

2cota

-cos 3a 4 cos a 3cos a

sin 3a 3sin a 4 sin a

sin 3a 3 tan a tan atan 3a

Trang 4

sin x   0 cos x   1; sin x   0 cos x   1

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)

Trang 5

Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t0, ta sẽ có phương trình

- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi lượng giác

cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên

- Cách giải:

+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản

+ Chú ý: |sinu|  1, |cosu|  1

4 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

 PT dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0 Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản:

sinx = t0 (hay cosx = t0)

 PT dạng: atg 2 x + btgx + c = 0 (hay acotg2x + bcotgx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Trang 6

Đặt t = tgx , t  R (hay t = cotgx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0 Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:

tgx = t0 hay (cotgx = t0) Nhớ để tgx có nghĩa  x ≠ /2 +k

5 Phương trình đẳng cấp: asin 2 x + bsinxcosx +ccos 2 x = 0 (1)

Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin2

x + bsinxcosx +ccos 2 x = d  0

thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )

* Cách 1: Thay sin2x =1 cos2x

Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)

* Cách 2:

 Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:

bsinx.cosx +c.cos2x = 0

 cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải

 Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:

x ≠ /2 + k cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

6 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = 2cos(x )

4



  - 2t 2

Trang 7

Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x )

1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4cos 2x

2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x

3) 16cosx cos2x cos4x = 3 sin 8x

Trang 8

cos x sin x 3) 5cos x + sin x = 4

4) sin x tg2x 3(sin x 3tg2x) 3 3

1 5) 3sin x cos x

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) cos3x + sinx – sin3x = 0

2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x





5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x + 1

sin 2x

1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos22x + sin2x – 1

2) 3(cos2x + 12

cos x) + 5(cosx +

1 cosx) = 2

Trang 9

3) 4sin5x cosx – 4cos5x sinx = cos24x + 1

4) sin4x + cos4x – cos2x + 1

4sin

22x = 2

5)

2

4x cos cos x

Giải các phương trình sau:

3

2

1) 3 sin x cos x 2 0

2) 3sinx + 1 = 4sin x 3 cos 3x

3) 3 sin x cos x 2 cos(x ) 2

3 4) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin x

5) 1 cos x sin 3x cos 3x sin 2x sin x

cos x 7) (sin2x + 3 cos 2x) 3 cos( 2x)

6



PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

1) 2sin2x – 3cos2x + 5sinx cosx = 2

2) 3cos3x – 5sin3x + 7sinx - 8

3cosx = 0 3) 14sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 0

4) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0

5) 6sinx – 2cos3x = 5sin 4x cos x

2cos 2x

6) sin3(x +

4

) = 2sinx

7) 3 2cosx – sinx = cos3x + 3 2sinx sin2x

Trang 10

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1) 4 2(sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0

2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0

3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0

4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|

5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx + 1

sin x+

1 cos x = 0 6) cos3x – sin3x = cos2x

7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x

C CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆT

I BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP

II BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

1 2

Dạng 3: Phương trình bậc bốn:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K (Với a + b = c + d)

Trang 11

c) tg2x – 2tgx + sin2x = 0

IV PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

 Phương pháp: Giải phương trình f(x) = g(x):

- Ta đi chứng minh MGT của f(x) và g(x) chỉ chứa 1 số A chung duy nhất

- Hay đi CM: f(x)  g(x) (hoặc f(x)  g(x))

Trang 12

a) 3sin2x – 2sin2x – 4cosx + 6 = 0

b) 2sin2x + cos2x + 2 2sinx – 4 = 0

D CÁC DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ

(Tham khảo)

I CÁC BÀI TOÁN:

1 BÀI TOÁN 1: Tìm tham số (m…) để PTLG có nghiệm

 Phương pháp: Dùng phương pháp giải tích (đã học):

- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t

- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)

- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)

- PTLG có nghiệm  g(m)  MGT của f(t)

(Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu  cotgu)

2 BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm

 Phương pháp:

Cách 1: Dùng PP giải tích:

- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t

- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1)

- Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x

- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)

Từ đó suy ra số nghiệm của (1)  giá trị m cần tìm

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho phương trình: cos4x + (cosx – 1)4 = m3 (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm x  [0; 2π ]

3

Trang 13

c) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x  [0; ] π

2 : mcos2x – 4cosx + 3m = 0

Bài 3: Cho phương trình: cos2x + 4mcosx – 4m+1 = 0 (1)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)

Bài 5: Cho phương trình: 3m.sinx + (2m – 1)cosx = 3m + 1 (1)

4

Trang 14

E GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH (2000 – 2010)

Bài 1: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (KD – 2002)

Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:

5(sinx + cos3x sin 3x

Trang 15

1) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (KB – 2002)

Bài 7: Giải phương trình:

Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3   Tính ba góc của tam giác ABC (KA – 2004)

Bài 8: Giải phương trình:

4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (KB – 2005)

5) cos23x cos2x – cos2x = 0 (KA – 2005)

6) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KD – 2006)

Trang 16

13) sin3x – 3cos3x = sinx.cos2x – 3sin2x.cosx (KB – 2008)

14) 2sinx(1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx (KD – 2008)

15)

(1 2sin x) cos x

3 (1 2sin x)(1 sin x)

16) sin x cos xsin 2x   3 cos3x  2(cos 4x sin x)  3 (KB – 2009)

17) 3 cos 5x  2 sin 3x cos 2x  sin x  0 (KD – 2009)

18) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010)

19) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB – 2010)

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:

Trang 17

3)2

x = 1 + 2sinx

1) 4cos2(2x - 1) = 1 2) 2sin2 (x + 1) = 1 3) cos2 3x + sin2 4x = 1

4) cos2 (x –

5

) = sin2(2x + 4

5

) 5) sin2x + cos2x = 2sin3x

6) cos3x – sinx = 3(cosx –sin3x ) 7) cos5 0

2

15sin2

3)32cos(  x  x x

8) sin3x = 2cos(x –  /5) + cos3x 9) sin(x +  /4) + cos(x +  /4) = 2cos7x

10) cos22x – sin28x = sin( 10x

sin

1cos

)8sin(

3

2    2 

x x

3x)cos(

3cos(

-x(sin4

3 2    

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI

1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0 3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x – 1 = 0

1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0

4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0

Bài 3 Giải các phương trình:

1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0

3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0

Bài 4 Giải các phương trình:

Trang 18

7) 42

cos x+ tanx = 7 8)

sin6x + cos4x = cos2x 9) cos2x + 5sinx + 2 = 0 10) sin( 5π

2x +

2 ) - 3cos(

72

14) sin x   1 cos x  0 15) cos2x + 3cosx + 2 = 0

16)

4sin 2 6sin 9 3cos2

0cos

sin x cos x  sinxcosx 0

24) sin x cos x sin x cos 4x4  4  44  4 25) 1 4 4  2 2

2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx  

26) cos xcos3x sin xsin3x=3 3 2

4

 27) cos 4x cos xcos3x sin xsin3x3  3  3

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS

1) 3sinxcosx 20 2) 3sinx 1 4sin3x 3cos3x 3) sin4 cos4 1

2 cos xsin x  3sin 4x2 5) 2sin2x 2sin4x0 6) 3sin 2x2cos2x3

1) 3cosx sinx  2 2) cosx  3sinx   1

3) 3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x   3 4) sin x cos (x4 4 ) 1

Trang 19

x ( ; )

5 7

 10) 2sin15x + 3cos5x + sin5x = 0

6 11) sinx +3cosx + = 6 4sinx +3cosx +1 12.

1 3sinx + cosx = 3+ 3sinx + cosx +1

13) ( cos2x - 3sin2x) - 3sinx – cosx + 4 = 0 14) cosx - 2sinx.cosx2 = 3 2cos x +sinx -1 15) 1+ cosx + cos2x + cos3x2 2 = (3- 3sinx) 2cos x + cosx -1 3

16)cos7x sin5x   3(cos5x sin7x)  DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2sin2xsin cosx x3cos2x0 2) 2sin 2x3cos2x5sin cosx x 2 0 3) sin2xsin 2x2cos2x0,5 4) sin 2x2sin2x2cos 2x 5) 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6) sin3 2 sin 4 x  x        Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 3sin2x - 3sinxcosx+2cos2x cosx=2 2) 4 sin2x + 3 3sinxcosx - 2cos2x=4 3) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4) sinx - 4sin3x + cosx = 0

5) 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3)cos2x – 5 - 3 = 0 6) (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7) sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 8) tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9) 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0

10) 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11) 2cos3x = sin3x

12) cos3x - sin3x = cosx + sinx 13) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

14) sin3(x - /4) = 2sinx

DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Giải các phương trình sau: 1) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) 3) sin2x 2 sin x 4 1       4) tanx 2 2sinx 1  5) 1 + tanx = 2sinx + 1 cos x 6) sin x + cosx= 1 tanx - 1 cot x

7) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 8) 1- sin3x+ cos3x = sin2x

9) 2sinx + cotx = 2sin2x+1 10) 2sin2x(sin x + cosx) = 2

Trang 20

11) (1+sin x)(1+cosx) = 2 12) 2(sin x + cosx) = tanx + cotx

1) cos2x - cos8x + cos4x = 1 2) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0

3) sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4) sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0

5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6) 3

2 sin2x + 2cos

2

x + 6cosx = 0 7) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

8) sin3 sin5

x  x 9) 2cos2x - 8cosx + 7 = 1

cosx 10) cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5

4cos2x 11) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

12) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

13) sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14) 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x +

1cosx 15) tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1

cosx) = 0 16) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17) cos2x - 2cos3x + sinx = 0

18) sin2x = 1+ 2cosx + cos2x 19) 1 + cot2x = 1-cos2x2

sin 2x 20) 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1

sin2x 21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22) 1 + tanx = sinx + cosx 23) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

23

sin 2x

 26) cotx – tanx = cosx + sinx 27) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Trang 21

=1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4)

sin x + cos x 1

= (tanx + cotx)sin2x 2 5) cos6x - sin6x = 13

8 cos

22x 6) sin4x + cos4x = 7 π π

cot(x + )cot( - x)

7) cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8) cos3x + sin3x = cosx – sinx

9) cos6x + sin6x = cos4x

10) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

1) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2

xk  x  n 

2) tanx.sin2x  2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2

HD: sin3x - sin2x + cosx = 0; 3sinx - 4sin3x - 2sinxcosx + cosx = 0 (chia cho cosx)

4 ) thanh cos(2 - x) råi dïng công thức biÕn tÝch thµnh tæng

7) sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = sin34x ĐS:

12

xk 

Trang 22

8) sin 3x 3 cos 3 x sin cosx 2 x 3 sin 2 xcosx

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =

9) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

HD: Đưa về cung x rồi đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )

x  k   x  k  k

10) sin2x + cos2x = 1 + sinx – 3cosx (1)

HD: (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0

2cos2x + (2sinx + 3)cosx – (sinx + 2) = 0 cos 1

2

x

11) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0

HD: (1+sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x = 0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x) = 0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …

14) cos 2x 5 2(2 cos )(sin x xcos )x

HD: Phương trình  (cosx – sinx)2 – 4(cosx – sinx) – 5 = 0

15) (cosx + 1)(cos2x – mcox) = msin2x khi m = -2 (ĐH QG TP HCM)

16) sin2008x + cos2008x = 1

17) sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (ĐHKTQD HN)

18) (ĐH HUẾ) a) sin4x + cos4x = cos4x b) sin6x + cos6x = 7

Bài 2: Giải các phương trình:

1) sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3

x

5) cos4x - 5sin4x = 1 6) 4sin3x - 1 = 3 - 3cos3x 7) sin22x + sin24x = sin26x 8) sin2x = cos22x + cos23x

Trang 23

9) (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx= 0 10) 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x

11) sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12) 8cos3(x + π

3) = cos3x 13) sin5x

5sinx = 1 14) cos7x + sin

22x = cos22x - cosx 15) sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16) 3cos4x – 2cos23x =1

17) sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x víix (0; π)

18) sin24x - cos26x = sin(10,5π +10x ) víi π

x (0; )

2

19) 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3cos4x = 3

20) cos4xsinx - sin22x = 4sin2(

x

 ) - 7

2 víi x -1 < 3 21) 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0

22) cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

ST&BS: Cao Văn Tú

Lớp: CNTT_K12D

Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên

Email: caotua5lg3@gmail.com

Blog: www.caotu28.blogspot.com

Tiêu đề	Chuyên đề phương trình lượng giác
Tác giả	Cao Văn Tú
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,2 MB