Hình chiếu vuông góc của ñiểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của A[r]
Trang 1CHUYÊN đỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ TỌA đỘ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Chuyên ựề này ựề cấp ựến các bài toán liên quan ựến tọa ựộ của ựiểm và tọa ựộ của véc tơ trong
KG Các bài toán thường gặp có thể chia thành hai loại:
Loại 1: Các bài toán mà ựầu bài cho dưới dạng HHGT không gian, ta giải bằng cách sử dụng công cụ phép tắnh tọa ựộ trong không gian
Loại 2: Các bài toán ựầu bài cho dưới dạng HHKG thông thường Ta tọa ựộ hóa bài toán bằng
cách chọn hệ trục tọa ựộ thắch hợp, chuyển bài toán sang giải bằng PP tọa ựộ trong không gian
A Lý thuyết:
1 Hệ tọa ựộ đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng ựôi một và chung một ựiểm gốc O Gọi i j k, , là các vectơ ựơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa ựộ đêcac
vuông góc Oxyz hoặc ựơn giản là hệ tọa ựộ Oxyz
Chú ý: i2 =j2 =k2 =1 và i j i k = =k j =0
2 Tọa ựộ của vectơ:
a) định nghĩa: u = (x y z; ; )⇔ =u xi y j zk+ +
b) Tắnh chất: Cho a=( ; ; ),a a a1 2 3 b=( ; ; ),b b b1 2 3 k∈R
Ớ a bổ = (a1ổb a1; 2ổb a2; 3ổb3)
Ớ ka = (ka ka ka1; 2; 3)
=
Ớ 0=( ; ; ),0 0 0 i=( ; ; ),1 0 0 j =( ; ; ),0 1 0 k=( ; ; )0 0 1
Ớ a cùng phương b b(≠0) ⇔ a kb k R= ( ∈ )
3
0
=
Ớ a b.=a b1 1 +a b2 2+a b3 3 Ớ a⊥b ⇔ a b1 1+a b2 2+a b3 3=0
a = a +a +a
a b
a b
cos( , )
3 Tọa ựộ của ựiểm:
a) định nghĩa: M x y z( ; ; )⇔OM =( ; ; )x y z (x : hoành ựộ, y : tung ựộ, z : cao ựộ)
Chú ý: Ớ M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
ỚỚỚỚ M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
b) Tắnh chất: Cho A x( ;A y A; z A), ( ;B x B y B;z B)
Ớ AB=(x B−x y A; B−y z A; B−z A) Ớ 2 2 2
AB = (x −x ) +(y −y ) +(z −z )
Ớ Toạ ựộ ựiểm M chia ựoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
M
Ớ Toạ ựộ trung ựiểm M của ựoạn thẳng AB:
Trang 2• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4 Tích cĩ hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) ðịnh nghĩa: Cho a=( ,a a a1 2, )3 , b=( , , )b b b1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số
b) Tính chất:
• i j , = k; j k,=i; [ ]k i, =j • a b[ , ] ⊥ a; [ , ]a b ⊥ b
• [ , ]a b =a b .sin , (a b ) • a b , cùng phương ⇔ [ , ]a b = 0
c) Ứng dụng của tích cĩ hướng:
• ðiều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b , và c
đồng phẳng ⇔ [ , ] =a b c 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: S▱ABCD = AB AD,
2
ABC
S∆ = AB AC ,
• Thể tích khối hộp ABCD.A′′′′B′′′′C′′′′D′′′′: V ABCD A B C D ' ' ' ' = [ AB AD AA, ] '
6
ABCD
V = [AB AC AD , ]
Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc,
tính gĩc giữa hai đường thẳng
– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương
[ ] [ ]
0
0 0
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
,
B Các dạng bài tập cơ bản
CHỦ ðỀ 1: CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ðƯỜNG THẲNG
A Các bài tốn cho dưới dạng hình học giải tích trong khơng gian
Trang 3Bài: (KA-06) Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
(0; 0; 0), (1; 0; 0), (0;1; 0), '(0; 0;1)
A B D A Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm AB và CD Tính khoảng cách giữa hai ñường A’C và MN
Bài: (KA-04) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD
tại gốc O Biết (2; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0; 2 2) A B S Gọi M là trung ñiểm của SC Tính góc và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BM
Bài: (KA-03) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của
hệ trục, ( ; 0; 0),B a D(0; ; 0),a A'(0; 0; )b (a>0,b>0) Gọi M là trung ñiểm của CC’ Xác ñịnh tỉ số a
b ñể hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau
Bài: (KD-04) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 1 Biết
1
( ; 0; 0), ( ; 0; 0), (0;1; 0), ( ; 0; ) ( , 0)
a) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng B C1 và AC1theo a,b
b) Cho a,b thay ñổi thỏa mãn a+b=4 Tìm a,b ñể khoảng cách giữa hai ñường thẳng B C1 và AC1
lớn nhất
Bài: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với tọa ñộ các ñỉnh như sau: A’(0;0;0),
B’(a;0;0), D’(0;b;0); A(0;0;c) ( trong ñó a,b,c>0) Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung ñiểm của các cạnh
AB, B’C’, C’D’, DD’ Tìm mối liên hệ giữa a,b,c ñể PR vuông với QS
Bài: (KB-03) Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0 , ) (B 0; 0;8)và ñiểm C sao cho AC(0; 6; 0)
Tính
khoảng cách từ trung ñiểm I của BC ñến ñường thẳng OA
Bài: (TK 03) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD
vớiA(2;3; 2 , ) (B 6; 1; 2 , − − ) C(− −1; 4;3 , ) D(1; 6; 5− Tính góc giữa hai ñường thẳng AB và CD Tìm )
tọa ñộ M thuộc ñường thẳng CD sao cho tam giác AMB có chu vi nhỏ nhất
Bài:(KB 03) Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0 , ) (B 0; 0;8)và ñiểm C sao cho AC(0; 6; 0)
Tính khoảng cách từ trung ñiểm I của BC ñến ñường thẳng OA
Bài: (TK 03) Trong KG Oxyz cho tứ diện OABC với (0;0;A a 3), B a( ; 0; 0) C(0;a 3; 0) (a>0) Gọi M là trung ñiểm BC Tính (d AB OM , )
Bài: (CðSPMG TW 3 06) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(7; 4;3), B(1;1;1), (2; 1; 2)
C − , D( 1;3;1)− Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và CD
B Các bài toán cho dưới dạng hình học không gian thông thường
Giải các bài toán này bằng phương pháp “tọa ñộ hóa” ta tiến hành theo các bước sau:
Lập hệ trục tọa ñộ thích hợp
Tìm tọa ñộ của các ñiểm, các véc tơ cần thiết
Sử dụng các công thức ñã biết ñể tính các ñại lượng theo yêu cầu ñầu bài
Chú ý: việc chọn hệ trục tọa ñộ ñóng vai trò quan trọng, các phép tính của bài toán ñơn giản hay phức tạp phụ thuộc chủ yếu vào bước này
Bài 1: (KD-08) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
AA =a Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM,
B’C
Bài 2: (KB-08) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB,BC Tính theo a cosin của góc tạo bởi hai ñường SM, DN
Bài 3: (KA-08) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ trên mp(ABC) là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a cosin của góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’
Trang 4Bài 4: (KD-07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình thang,
ABC=BAD= BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA=a 2 Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD)
Bài 5: (KB-07) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a Gọi E là ñiểm ñối
xứng của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC Chứng minh:
MN ⊥BD và tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC
Bài 6: (KB-06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a
và SA⊥(ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC Chứng minh: ( SAC)⊥(SMB)
Bài 7: (KA-07) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M,N,P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD
Chứng minh rằng: AM ⊥BP
Bài 8: (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa A B1 và B D1
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung ñiểm của các cạnh BB CD A D1, , 1 1 Tính góc giữa hai ñường
thẳng MP và C N1
Bài: (TK 02) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD SA), = Gọi a
E là trung ñiểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S ñến BE
Bài: (ðHVH 06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BD và SC
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 1 có tất cả các cạnh ñều bằng a M là trung ñiểm của
1
AA CM: BM ⊥B C1 và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BM và B C1
CHỦ ðỀ 2: TÍNH VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀ THỂ TÍCH KHỐI ðA DIỆN BẰNG PHÉP
TÍNH TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN
A Các bài toán cho dưới dạng hình học giải tích trong không gian
Bài 1: (KA-03) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc
của hệ trục, ( ; 0; 0), (0; ; 0), '(0; 0; )B a D a A b (a>0,b>0) Gọi M là trung ñiểm của CC’ Tính thể tích khối
tứ diện BDA’M theo a,b
Bài 2: (KA-04) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD
tại gốc O Biết (2; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0; 2 2) A B S Gọi M là trung ñiểm của SC Giả sử mp(ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Bài 3: (TN-03) Trong không gian Oxyz cho A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1)
a) Chứng minh AB⊥ AC AC, ⊥ AD AD, ⊥AB
b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Bài: (CðTCKT 06) Trong KG Oxyz cho các ñiểm (1; 2; 3), (0;1;1), ( 1; 1;0)A − B C − − Tính diện tích tam giác ABC
B Các bài toán cho dưới dạng hình học thông thường
Bài 1: (KB-06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a
và SA⊥(ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC; I là giao ñiểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 2: (KD-09) Cho hình lăng trụ ñứngABCA B C' ' ' có ñáy ABC là tam giác vuông tại tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C Tính theo
a thể tích khối tứ diện IABC
Bài: (KA 02) Cho hình chóp tam giác ñều SABC ñỉnh S, có ñộ dài cạnh ñáy bằng a Gọi M,N lần lượt
là các trung ñiểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết ( AMN)⊥(SBC)
Trang 5Bài: (TK 03) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD=a, AC=b, AB=c Tính diện tích S của tam giác BCD theo a,b,c và chứng minh: 2S≥ abc a b c( + + )
Bài: (TK 03) Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, cạnh SA
vuông góc với ñáy, SA=2a Gọi M là trung ñiểm của SC Chứng minh tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a
Bài: (KB 06) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a và
SA⊥ ABCD Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC; I là giao ñiểm của BM và AC CMR: (SAC)⊥(SMB) và tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài: (CðYT I 06) Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với
ñáy, góc ACB=60 ,o BC=a SA, =a 3 Gọi M là trung ñiểm cạnh SB Chứng minh rằng:
(SAB)⊥(SBC) và tính thể tích tứ diện M.ABC
Bài: (KA 07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M,N,P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD Chứng minh rằng: AM ⊥BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C có ñáy ABC là tam giác vuông, AB=AC=a, 1 1 1
AA =a Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm của AA và 1 BC Chứng minh MN là ñường vuông góc 1
chung của AA và 1 BC Tính thể tích tứ diện 1 MA BC 1 1
Bài: (DB KB 07) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy
Cho AB=a, SA=a 2 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh rằng:
SC⊥ AHK và tính thể tích hình chóp OAHK
Bài: (DB KB 08) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng ñáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SB,AC
Bài: (KA 08) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB=a, AC =a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ trên mp(ABC) là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’
Bài: (KB 09) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C có B’B =a, góc giữa ñường thẳng BB’ và ' ' '
mp(ABC) bằng 60 o ; Tam giác ABC vuông tại C và BAC =60o Hình chiếu vuông góc của ñiểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Bài: (KD 09) Cho hình lăng trụ ñứngABCA B C có ñáy ABC là tam giác vuông tại tại B, AB=a, ' ' '
AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C Tính theo
a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(IBC)
CHỦ ðỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CỦA VÉC TƠ
Bài : Trong không gian cho 4 ñiểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) Chứng minh rằng 4 ñiểm
này ñồng phẳng
Bài : Trong không gian cho 4 ñiểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1)
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện
b) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M trong không gian sao cho ñại lượng MA2+MB2+MC2+MD2 ñạt GTNN và hãy tính giá trị ñó
Bài : Cho ba ñiểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2)
a) Chứng minh: A,B,C là 3 ñỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác và ñộ dài trung tuyến AM
c) Tính ñộ dài ñường cao kẻ từ ñỉnh A của tam giác ABC
Bài : Cho các ñiểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)
a) Chứng minh: A,B,C,D là các ñỉnh của một tứ diện
b) Tìm tọa ñộ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai ñường thẳng AC và BD
Trang 6c) Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A ñến mp(BCD)
Bài :Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1)
a) Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính của ñường tròn ñó
b) Tìm tọa ñộ trực tâm H của tam giác ABC
Bài : Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3)
a) Tìm tọa ñộ S thuộc Oy ñể tứ diện SABC có thể tích bằng 2
b) Tìm tọa ñộ hình chiếu H của O trên mp(ABC)
CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
Dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán sau:
Bài 1: (KA-07) Cho hình chóp SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M,N,P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD
CMR: AM ⊥BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP ðS:
3 3 96
a
Bài 2: Cho kình hộp ñứng ABCD A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h Tìm thể
tích tư diện BDD’C’ ðS:
2
6
a h
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông góc
với ñáy, cạnh SB tạo với mp ñáy một góc 60o Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao cho 3
3
a
phẳng (BCM) cắt SD tại N Tìm thể tích khối chóp S.BCNM ðS:
3
27
a
Bài 4: (HV-06) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BD và SC ðS: 6
6
a
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA=a
Gọi E là trung ñiểm của CD Tính theo a khoảng cách từ ñiểm S ñến ñường thẳng BE ðS: 3 5
5
a
Bài 6: Trong KG cho tứ diện OABC với (0;0; A a 3); ( ; 0; 0), (0;B a C a 3; 0) (a >0) Gọi M là trung ñiểm của BC Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và OM ðS: 15
5
a
Bài 7: (CðSP TN-06) Cho hình vuông ABCD cạnh a Qua trung ñiểm I của cạnh AB dựng ñường
thẳng d vuông góc với mp(ABCD) Trên d lấy S sao cho 3
2
a
SI = a) Tính diện tích tam giác SCD
b) Tính thể tích khối chóp S.ACD
c) Tính khoảng cách từ C ñến mp(SAD)
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bằng a và ñường chéo BD=a
2
a
SC = vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) vuông góc với nhau
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa AB’ và BC’ ðS: 3
3
a