www.facebook.com/hocthemtoan
Trang 1
———m—^—->:«>†{+>_—t©=—————————
St: SO GIAO DUC VA DAO TAO TINH NINH THUAN wae
DE TAI NGHIEN CUU KHOA HOC SU PHAM UNG DUNG:
SỬ DỤNG SƠ ĐỎ TƯ DUY VÀO
CHUNG MINH CÁC BÀI TOÁN QUAN HỆ VUÔNG
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Giáo viên thực hiện : Nguyên Đức Thắng
Tô chuyên môn : Toán - lý - tin - KTICN
À
|
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Trang 2
A DAT VAN DE
Chúng ta biết rằng: toán học là bộ môn khoa học bồi bỗ cho người học có năng lực trí tuệ,
năng lực này sẽ giúp họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội và có tác dụng tương hô cho các bộ môn khoa học khác Vì vậy, đạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nam được kiến thức, những định lý toán học Điều quan trọng là dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ, phát triển tư duy Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong quá trình học tập Vì vậy cần giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ chung, bồi đưỡng thế giới quan duy vật
biện chứng
Thực tế cho thấy đối với các học sinh yếu kém, kha năng tư duy hình học là rất yếu đặc biệt là khả năng tư duy về hình học không gian Các bài toán chứng minh hình học không gian nói chung và chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian nói riêng đòi hỏi phải có một tư
duy trừu tượng Do đó các em rất khó lĩnh hội các kiến thức mà giáo viên đưa ra
Trong quá trình lên lớp, việc trình bày và hướng dẫn học sinh giải một bài toán hình học
không gian thường mất khá nhiều thời gian, nội dung truyền tải trong phạm vi 45 phút không
được nhiêu Chính vì vậy ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết cách tự tông hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo
Sử dụng sơ đồ tư duy g1úp các em năm được hệ thống bài toán một cách liền mạch và có định hướng đề có thể trình bày bài toán một cách mạch lạc và không bị trùng lặp các ý Đặc biệt các em để dàng tìm các cách giải khác nhau cho cùng một bài toán Tuy nhiên vận dụng sơ đồ tư
duy hiện nay trong giảng đạy hầu như chỉ mang tính chất kích thích khả năng ghi nhớ, khả năng tông hợp kiến thức của học sinh mà chưa đi sâu vào việc giải quyết các vấn đề đặt ra, đặc biệt là các bài toán chứng minh trong toán học
Chính điều đó, đã thôi thúc tôi tìm hiểu và viết dé tai “St dung sơ đồ tư duy chứng
mỉnh quan hệ vuông góc trong không gian”
Trang 3B GIAI QUYET VAN DE
I So do tw duy — Mot công cụ học tap day sáng tạo
1 Sử dụng sơ đồ tư duy vào quá trình ghi chép, quản lý kiến thức
a So đỗ tr duy là gì?
Sơ đồ tư duy là một công cụ tô chức tư duy Đây là phương pháp dễ nhất đề chuyền tải
thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não Nó là một phương tiện ghi chép đây sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó, “Sắp xếp” ý nghĩ của bạn
Nguyên lý hoạt động theo nguyên tắc liên tưởng “ý này gọi ý kia” của bộ não Cách vẽ cũng rất giản đơn và còn rất nhiều tiện ích khác khiến cho sơ đồ tư duy ngày càng trở nên phô biến toàn cầu
b Sử dụng sơ đồ tư duy vào quá trình ghi chép, quản lý kiến thức
* Lợi ích khi sử dụng sơ đồ tư duy
Những thành tựu nghiên cứu trong những năm gần đây cho thấy, bộ não không tư duy theo dạng tuyến tính mà bằng cách tạo ra các kết nối những nhánh thần kinh Việc ghi chép theo kiểu truyền thống chưa phát huy được tối đa các chức năng của bộ não như: hình ảnh, khung
cảnh, màu sắc, âm thanh và giai điệu,
Trong sơ đồ tư duy, học sinh được tư đo phát triển các ý tưởng, xây dựng mô hình và
thiết kế mô hình vật chất hoặc tinh thần để giải quyết các vấn đề thực tiễn Từ đó cùng với việc
hình thành được kiến thức, các kĩ năng tư duy (đặc biệt là kĩ năng tư duy bậc cao) của học sinh
cùng được phát triển
Với việc lập sơ đồ tư duy, học sinh không chỉ là người tiếp cận thông tin mà còn phải suy
nghĩ về các thông tin đó, giải thích nó và kết nối nó với các hiệu biết của mình Và điều quan trọng hơn là học sinh học được một quá trình tô chức thông tin, tô chức các ý tưởng
Với cách thể hiện gần như cơ chế hoạt động của bộ não, sơ đô tư duy sẽ giúp học sinh:
— Sáng tạo hơn
~ Tiết kiệm thời gian
— Ghi nhớ tốt hơn
— Nhìn thấy bức tranh tông thể
— Tổ chức và phân loại suy nghĩ của học sinh,
Trang 4
* Một số lời khuyên khi tạo sơ đồ tư duy để ghi chép, quản lý kiến thức
hình chữ nhật là tứ giác A B
có bôn góc rune
ABCD l inh chirnhit )z)=(:
thay
1.Bắt đầu từ trung tâm với hình ảnh của chủ đề Tại sao lại phải dùng hình ảnh? Vì một hình
ảnh có thê diễn đạt được cả ngàn từ và giúp bạn sử dụng trí tưởng tượng của mình Một hình ảnh
ở trung tâm sẽ giúp chúng ta tập trung được vào chủ đề và làm cho chúng ta hưng phấn hơn 2.Có thê sử dụng màu sắc Bởi vì màu sắc cũng có tác dụng kích thích não như hình ảnh
3.Nối các nhánh chính (cấp một) đến hình ảnh trung tâm, nối các nhánh cấp hai đến các nhánh
cấp một, nói các nhánh cấp ba đến nhánh cấp hai, bằng các đường kẻ Các đường kẻ càng ở gần hình ảnh trung tâm thì càng được tô đậm hơn, dày hơn Khi chúng ta nối các đường với nhau, bạn sẽ hiệu và nhớ nhiều thứ hơn rất nhiều do bộ não của chúng ta làm việc bằng sự liên
tưởng
4.Mỗi từ/ảnh/ý nên đứng độc lập và được nằm trên một đường kẻ
5.Tạo ra một kiêu bản đồ riêng cho mình (Kiểu đường kẻ, màu sắc, )
6.Nên dùng các đường kẻ cong thay vì các đường thang vì các đường cong được tô chức rồ
ràng sẽ thu hút được sự chú ý của mặt hơn rât nhiều
Trang 57.Bồ trí thông tin đều quanh hình ảnh trung tâm
* Dòng chảy thông tin
Xin lưu ý rằng không giống như cách viết thông thường, sơ đô tư duy không xuất phát từ trái
sang phải và từ trên xuống đưới theo kiểu truyền thống
Thay vào đó, sơ đô tư duy được vẽ, viết và đọc theo hướng bắt nguồn từ trung tâm di chuyên
ra phía ngoài và sau đó là theo chiều kim đồng hồ Do đó, bạn sẽ thấy các từ ngữ nằm bên trái sơ
đồ tư duy nên được đọc từ phải sang trái (bắt đầu từ phía trong đi chuyên ra ngoài) Các mũi tên xung quanh sơ đô tư duy bên dưới chỉ ra cách đọc thông tin trong sơ đô Các số thứ tự cũng là
một cách hướng dẫn khác
Bon ket câu chính L II, II, IV trong sơ đô tư duy phía trên được gọi nhánh chính Sơ đồ tư
duy này có bốn nhánh chính vì nó có bốn tiêu đề phụ Số tiêu đề phụ là số nhánh chính Đồng thời, các nhánh chính của sơ đô tư duy được đọc theo chiều kim đồng hồ, bắt nguồn từ nhánh ]
tới nhánh II, rồi nhánh III, và cuối cùng là nhánh IV Hãy tham khảo các mũi tên đậm phía ngoài trong hình vẽ.Tuy nhiên, các từ khóa được viết và đọc theo hướng từ trên xuống đưới trong cùng một nhánh chính Hãy tham khảo các mũi tên phía trong hình vẽ
Trang 62 Sử dụng sơ đồ tư duy — lap ké hoach giai quyết các yêu câu đặt ra
Bất kì một vấn đề, một công việc hay một yêu cầu nào đó trong học tap cùng như trong thực
tiễn cuộc sống, người thực hiện cũng cần lên kế hoạch Kế hoạch thực hiện có thê được trình bày thông qua các dạng ngôn ngữ khác nhau( lời nói, chữ viết, hình ảnh, .) hoặc cũng có thê nó chỉ nằm trong suy nghĩ của người thực hiện.Đó là một quá trình tư duy phức tạp và đây sáng tạo Lập kế hoạch cũng là một dạng sơ đồ tư duy, mà quá trình đưa thông tin đã qua xử lý ra ngoài của não được sắp xếp một cách hệ thống và khoa học tùy theo năng lực bộ não của từng cá
nhân Tùy thuộc vào từng điều kiện mà vấn đề cần thực hiện có thê được giải quyết theo nhiều cách (phương án) khác nhau Mỗi phương án được chia thành các vấn đề nhỏ, mỗi vấn đề nhỏ lại có nhiều cách giải quyết khác nhau và cứ như vậy cho đến khi các vấn đề được thực hiện
theo điều kiện cụ thể hiện có Sau khi loại bỏ các phương án không khả thi, các phương án kém
hiệu quả ta được phương án tối ưu nhất( đây là kế hoạch thực hiện cho công việc)
Xem sơ đồ phía dưới ta thấy: cách giải quyết vẫn đề đưa ra được lựa chọn là cách 4, cách 2
và cách 3 đều không khả thị, trong cách 1 thì vấn đề 2 khó thực hiện nên cùng được loại bỏ
Cach 2( ?)
Van dé I »5
|
0
:
|
Cach 2
=
Cách 4:
{4S
"*, D
Vấn đề 2( -
Nguyên nhận ly
) Cách 3:( :
Nguyên nhân 2Á -'
nguyên nhân 1( ?)
Nguyên nhân 2( ?)
Khác với việc sử dụng sơ đồ tư đuy vào quá trình ghi chép, quản lý kiến thức Việc sử dụng
sơ đô tư duy đề lập kế hoạch không nhất thiết phải đòi hỏi phải sử dụng hình ảnh hay màu sắc
bởi các thông tin này đã có sẵn trong bộ não được bộ não xử lý biến thành các thông tin mới Tùy thuộc vào yêu cầu, điều kiện và tính chất công việc mà người lập kế hoạch đưa ra quyết định có sử dụng hình ảnh, âm thanh hay không Các chuyên gia của hăng Boeing cùng đã vẽ nên
những sơ đô tư duy không lồ khi xây dựng ý tưởng về việc cơ cấu lại hăng này để tạo lợi thế
cạnh tranh chỉ với một màu
Trang 7IT Sw dung sơ đô tw duy — chieng minh quan hé vuéng goc trong
Đề giải quyết một bài toán chứng minh, ta có thể suy luận theo hai hướng:
+) Suy luận xuôi: Từ giả thiết bài toán và những tính chất đã học suy ra kết luận
+) Suy luận ngược: Từ kết luận(yêu cầu cần chứng minh) của bài toán suy luận ra cách chứng minh bài toán đó
Riêng với quá trình "suy luận ngược":Việc sử dụng sơ đồ tư duy trong chứng minh toán học
cùng chính là việc lập kế hoạch giải quyết các yêu cầu của đề bài Việc lập kế hoạch, học sinh
cũng có thê thực hiện trên giấy nháp, hay chỉ được các em suy nghĩ trong đầu Đối với hầu hết
học sinh việc lập sơ đồ giải quyết bài toán thường không được chú ý nhiêu, do đó các em thường
lung tung khi trình bày lời giả
Đề thuận tiện hơn trong việc giải quyết các bài toán chứng minh, tôi xin đưa ra một dạng sơ
đồ ở dạng chuỗi đề học sinh tiện quan sát và theo đði( xem hình vẽ phía dưới) Thoạt nhìn sơ đồ
dưới đây không giống với dạng sơ đô tư duy dùng đề ghi chép, quản lý kiến thức, tuy nhiên đây
van 1a mét dang so d6 tu duy bởi nó vẫn là sự “Sắp xếp” ý nghĩ, vẫn theo nguyên tắc liên tưởng
“ý này gọi ý kia” của bộ não Và điều quan trong là hiệu quả rất tích cực của nó trong việc giải quyết các bài toán chứng minh
Cách 1.1:( ).gôm { a
Vấn đề 1.1( ) €
Vấn đê 1.2( ) &
G5 c| Cách 2: f=
Vân đề cuôi cùng của chuỗi là giả thiết.một tính chất đã thừa nhận
một định lý đã được chứng minh hoặc một điều hiển nhiên đúng
hay có thê là một vần đê các em đã biết
* Trong đề tài này chỉ trình bày ba vẫn đề quan trọng chứng mỉnh quan hệ vuông góc trong không gian, đó là:
© Ching minh hai đường thắng vuông góc
© Ching minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
© Ching minh hai mặt phẳng vuông góc
Trang 81_ Chứng mình hai đường thăng vuông góc:
d) Phương pháp:
Cho hai đường thẳng a và b
Đề chứng minh a Lb ta có thể thực hiện theo các cách sau:
> Cách 1: Chứng minh cho a vuông góc với mp(P) chứa đường thăng b
> Cách 2: Dùng định lý 3 đường vuông góc
Định lý: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b năm trong mp(P), a’
là hình chiếu của a trên mp(P)
Khi đó: bLa <>bLa'
> Cách 3: Sử dụng tích vô hướng:
Đường thẳng a và b có vectơ chỉ phương lần lượt là Hạ và u, :
Khi đó: alb u,u,=0
> Cách 4: Thông qua quan hệ song song
a//b a//(P)
e >ale e >ale
> Cách 5: Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng ta sử dụng các tính chất về chứng minh
vuông góc trong hình học phẳng đã biết
b) Các ví dụ:
Thí dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB = SC =CA =CB =a+/2 ,ASC=BSC =60”
Chứng minh SC L AB
* Hinh vé:
* Sơ độ tư duy: (Voi H là trung điểm của AB)
ABLSH ()
(C1):AB 1 (SCH)< lo ICH @)
SC LAB<
(C2):SC.AB =0
Trang 9
* Trinh bay lời giải:
Cách1: Gọi H là trung điểm của AB
Theo giả thiết: SA= SB > ASABcantaiS => ABLSH ()
CA =ŒCB => AC AB cân tại C > AB | CH (2)
SH và CH cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ABC)
=> AB | (SCH).ma SC c (SHC)
=> SC 1 AB (dpcm)
Cách 2: Taco: SC.4B_ = SC.(SB- S4)= SC.SB - SCSA
= SC SBeosBSC — SC SAcosASC
=a42a 42c0s60° — av2.a 42c0s60° =0
=> SC | AB (dpcm)
Thí dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bang a.Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm cạnh SA Gọi M, N lân lượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh MN LBD
* Hình vẽ:
* Sơ độ tư duy: — (P là trung điểm SA, I là tâm của hình vuông ABCD)
MN //CP <<MNCP là hình bình hành CPc (SAC)
BD 1 AC
BD LSI
MN // (Sac) =|
MN | BD <=
BD (SAC) =|
* Trinh bay lời giải:
Gọi P là trung điểm SA và I là tâm của hình vuông ABCD
=> MP là đường trung bình trong tam giác EAD
Trang 10= MP // AD vi MP = — AD (1)
Vì N là trung điểm BC > NC // AD va NC = „BC= 5 AD (2)
( ABCD la hinh vuong nén BC = AD)
Ti (1) va (2) > MP // NC va MP = NC
=> Tit gidc MNCP 1a hinh binh hanh
=> MN // CP , ma CP < (SAC) > MN // (SAC) (3)
Mat khac BH L AC (vi ABCD là hình vuông )
BD | SI (SI 1a dudng cao của hình chóp đều)
Từ (3) và (4) >BD 1 MN (dpcm)
c) Bai tap:
Bai 1: (SGK hinh hoc 11- trang 98)
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB va nam trong hai
mặt phẳng khác nhau.Goi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', CA'
Chứng minh rằng
a) AB 1 CC' :
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Bài 2: (SGK hinh hoc 11- trang 98)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có ASB = BSC = CSA Chứng minh
rang SA | BC, SB L AC,SC L AB
Bai 3: (SGK hinh hoc 11- trang 98)
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABCTD' có chung cạnh AB nam trong hai
mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm là O và O' minh rằng AB L OO' và tứ giác CDD'C' là
hình chử nhật
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a
.Goi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD Gọi I là giao điểm của SC va mat phang
(AMN) Ching minh SC vuông góc với AI
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1a hinh thang, trong d6 ABC = BAD = 90°:
BA =BC =a, AD = 2a Gia stt SA = a¥2 va SA vuéng goc voi mặt phẳng (ABCD) Chứng minh SC | CD