Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 6 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS. A.[r]

PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP NG GIÁC TH ƯỜNG GẶP NG G P ẶP

VẤN ĐỀ 3.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ( BẬC N) THEO MỘT HSLG

A KI N TH C C B N ẾN THỨC CƠ BẢN ỨC CƠ BẢN ƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ẢN

Một số dạng cơ bản phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.2

B PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP NG PHÁP GI I TOÁN ẢN

 Bước 1 : Sử dụng các công thức lượng giác, có thể biến đổi phương trình lượng giác về dạng :

at bt c  hay at3bt2ct d 0 (2) trong đó t là một ẩn số phụ lượng giác.

Các ẩn số phụ thường gặp là :

 Đặt tsin , cos , cos 2 ,x x x với điều kiện 1  t 1

 Đặt tsin , cos ,2x 2 x với điều kiện 0 t 1

 Đặt ttan , cotx x với điều kiện t  

 Bước 2: Giải (1) hay (2) để tìm nghiệm t thỏa điều kiện Suy ra nghiệm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2 cos2x 3.cosx 1 0 2) sin2x3sinx 2 0

 Với t  1  cosx 1 x k 2 , k  

 Với

12

 Với t 3 cotx 3 x arc cot( 3) k ,   k  

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

1) cos 2x 3sinx 2 0 2) sin2x- cosx  1 0

(1) 1 cot2xcotx 3 cot2x cotx 2 0 (*)

 Với t 2 cotx 2 x arc cot 2k,k  

Vậy nghiệm của phương trình: x 4 k

 Với t 2 tanx 2 xarctan 2 k ,  k  

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1) cos3x3cos2 x2cosx0 2) 23sinx sin 3x24

3) 2cos3 cosx x 4sin 22 x 1 0 4)

1) cos3x3cos2 x2cosx0 (*)

, k  

C BÀI T P T LU N ẬP TỰ LUẬN Ự LUẬN ẬP TỰ LUẬN

Câu 1. Giải phương trình: 4cos2x 2 1  3 cos x 3 0

Lời giải

24cos x 2 1 3 cosx 3 0

(*)Đặt tcos , 1x   t 1

(*)

2

1( )2

3( )2

Vậy nghiệm của phương trình: x  k4 , k 

Câu 4. Giải phương trình:

Lời giải

Điều kiện sinx 0 x k k ,  

25

Vậy nghiệm của phương trình:

2 22cos 2x 1 cos 2x 3(1 cos 2 ) 2x 2cos 2x 4cos 2x 6 0

D BÀI T P TR C NGHI M ẬP TỰ LUẬN ẮC NGHIỆM ỆM

Câu 1. Nghiệm của phương trình 2 sin2x- 3 sinx 1 0 là :

41arcsin( )

1arcsin( ) 2

41arcsin( ) 2

1arcsin( ) 21

4sin

6arccos 2

C

23

D x k 

D

23

;6

526

526

526

26

5,

Câu 16. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : sin 3xcos 2x2sin cos 2x x thuộc khoảng

nào dưới đây?

26726

Câu 17. Cho phương trình :3cos 4x 2cos 32 x1 Trên đoạn 0;

,tổng các nghiệm của phương

2

5,

VẤN ĐỀ 3.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A KI N TH C C B N ẾN THỨC CƠ BẢN ỨC CƠ BẢN ƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ẢN

Là phương trình có dạng: a sinx b .cosx c (1) ; với , ,a b c   và 2 2

0

Hoặc a sinx b .cosx c ; a cosx b .sinx c

B PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP NG PHÁP GI I TOÁN ẢN

Cách 1:

* Điều kiện để phương trình có nghiệm :a2b2 c2

* Chia hai vế phương trình (1) cho a2b2 , ta được

Ta được phương trình bậc hai theo t

* Giải phương trình tìm t Suy ra nghiệm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 3 sinxcosx 1 2) 3 sinx cosx 2

3)

6sin cos

Vậy nghiệm phương trình : x k  2 ;

223

;

11

212

,k  

3)

6sin cos

(*) cos sin 2 xsin cos 2 x 1 sin 2 x 1

2) 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 33 x

3) 3 sin 7x cos 7x 2sin 5x 6

1sin 9 cos cos9 sin sin 9 sin

.Vậy 

12

m

thỏa yêu cầu bài toán

C BÀI T P T LU N ẬP TỰ LUẬN Ự LUẬN ẬP TỰ LUẬN

Câu 1. Giải phương trình sau:  3 1 sin  x  3 1 cos  x 1 3

,k  

Câu 2. Giải phương trình sau: 3sinx 4cosx 5

Lời giải

Chia hai vế phương trình cho 5, ta được

sin 8x cos 6x 3 sin 6xcos8x  sin 8x 3 cos8x 3 sin 6xcos 6x (1)

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

sin 8 cos cos8 sin sin 6 cos cos 6 sin

24

Câu 5. Giải phương trình sau: 2sin2x 3 sin 2x 3

Lời giải 2sin2x 3 sin 2x3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x (1)2

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

3

Lời giải

Chia hai vế phương trình cho 2, ta được

cos cos sin sin cos 2

;

2.3

3 cos5x 2sin 3 cos 2x x sinx 0 3 cos5x (sin 5xsin ) sinx  x0

3 cos5x sin 5x 2sinx

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

sin cos5 cos sin 5 sin

Vậy nghiệm phương trình : x 18 k.3

D BÀI T P TR C NGHI M ẬP TỰ LUẬN ẮC NGHIỆM ỆM

Câu 1. Giải phương trình 3 sin 2x cos 2x 1 0

Câu 2. Họ nghiệm của phương trình : sin 3x 3 cos 3x2 cos 5x là:

A

 

5

48 5512

k x

k x

k x

k x

Câu 4. Nghiệm của phương trình : 4 sin 4xcos4x 3 sin 4x2

k k x

k k x

k k x

k k x

k x

Câu 5. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

Câu 6. Giải phương trình : 3 cos 4x sin 22 xcos 2x 2 0

Câu 9. Nghiệm của phương trình : 2

cos 2sin cos

Điều kiện: 2 cos2xsinx 1 0

Phương trình  cosx sin 2x 3 cos 2x 3 sinx

22

Câu 10. Giải phương trình: 2

1 cos cos 2 cos 3 2

(3 3 sin )3

VẤN ĐỀ 3.3 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

A KI N TH C C B N ẾN THỨC CƠ BẢN ỨC CƠ BẢN ƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ẢN

Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng : a.sin2x b sin cosx x c cos2x d a , 2c2 0

Phương trình đẳng cấp bậc ba có dạng :

.sin cos sin cos sin cos sin cos 0,

B PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP NG PHÁP GI I TOÁN ẢN

 Giải phương trình : a.sin2x b sin cosx x c cos2x d a , 2c2 0

(1) bsin 2x(c a ) cos 2x2d a c  : phương trình bậc nhât đối với sin x và cos x

 Giải phương trình: a.sin3x b .cos3x c .sin cos2x x d .sin cosx 2x e .sinx f .cosx0,Chia hai vế phương trình cho cos x3 , ta được phương trình bậc ba theo tan x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x7sin cosx x cos2 x4

2) 3sin 22 x sin 2 cos 2x x 4cos 22 x2

1) 2sin2x7 sin cosx x cos2x4 (1)





   

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos 2x2 , ta được phương trình:

arctan 32

;

1arctan 32

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho

2

cos2

Vậy nghiệm phương trình : x 2 k2





 

; x2 arctan 5k 2 , k  

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1) 3sin3x2sin cos2x xsin cosx 2 x 2) 6sinx2cos3x5sin 2 cosx x

3) 3cos4x 4sin cos2x 2xsin4 x0

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

1tan

arctan3

3

x k x

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x4 , ta được phương trình:

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

C BÀI T P T LU N ẬP TỰ LUẬN Ự LUẬN ẬP TỰ LUẬN

Câu 1. Giải phương trình: 3 sin2x1 3 sin cos x x cos2x 1 3 0

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

15

arctantan

88

x k x

Vậy nghiệm phương trình : x k  ;

15arctan

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

là nghiệm của phương trình

* Xét cosx  , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos x3 , ta được phương trình:

tan x1 tan 1 tan x  x  1 tan x tan x t anx 2 0

: phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm phương trình : , 

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

là nghiệm của phương trình

* Xét cosx  , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos x3 , ta được phương trình:

Câu 8. Giải phương trình: tan sinx 2x 2sin2 x3(cos 2xsin cos )x x

Lời giải

Điều kiện cosx  0

tan sinx x 2sin x3(cos 2xsin cos )x x  tan sinx 2 x 2sin2x3 2cos 2x 1 sin cosx x

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

Câu 10. Giải phương trình:

3 5sin 4 cos6sin 2 cos

Điều kiện : cos 2x  0

3 5sin 4 cos 3 10sin 2 cos 2 cos

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

So sánh với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm

D BÀI T P TR C NGHI M ẬP TỰ LUẬN ẮC NGHIỆM ỆM

Câu 1. Giải phương trình : 2 cos2x6 sin cosx x6 sin2x1

Câu 2. Giải phương trình : cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

A

223

21

C

1arctan( 2)

31

sin x tanx1 3 sinx cosx sinx 3

A

2423

Vì cosx  không là nghiệm của phương trình nên ta có0

  phương trình sin 42 x3 sin 4 cos 4x x 4 cos 42 x0có :

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos 4x2 , ta được phương trình:

không là nghiệm của phương trình

* Chia hai vế phương trình cho cos x3 , ta được phương trình: