Câu hỏi trắc nghiệm môn toán 12 bài toán thực tế tọa độ TRONG KHÔNG GIAN file word có lời giải chi tiết

Bài toán vận dụng viết phương trình mặt phẳng Câu 01... Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng  P chứa  sao cho khoảng cách từ M đến mp P lớn nhất?. Phương trình nào

BÀI TOÁN VẬN DỤNG

BÀI TOÁN VẬN DỤNG

 Dạng 132 Bài toán vận dụng viết phương trình mặt

phẳng

Câu 01 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương , ABCD A B C D ’ ’ ’ ’,

biết A0; 0; 0 , B1; 0; 0 ,  D0; 1; 0  và A’ 0; 0; 1  Phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng B B D D một góc’ ’ 

lớn nhất?

C x2y z 30. D x3y z 40.

Lời giải tham khảo

Ta có: B1; 0; 0 , ’ 1; 0; 1 , B   C1; 1; 0 , D’ 0; 1; 1  

Do đó BB D D có phương trình: ’ ’  xy 1 0  P tạo với BB D D một góc lớn nhất ’ ’ 

  P vuông góc với BB D D’ ’ 

Vậy  P chứa CD’ và vuông góc với BB D D’ ’ 

nên phương trình  P là: x y z0.

Câu 02 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng , : 1 2

 x y z

và điểm M2; 5; 3 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng  P chứa 

sao cho khoảng cách từ M đến mp P lớn nhất?

A x 4y z  1 0. B x4y z 30.

C x 4y z 30. D x4y z  1 0.

Lời giải tham khảo

Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng bất kỳ chứa  không vượt quá khoảng cách từ M

đến đường thẳng  và khoảng cách đó sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng này chứa  và nhận 

MH làm vectơ pháp tuyến trong đó H là hình chiếu của M lên 

Ta có H3; 1; 4 và 1; 4; 1  

Câu 03 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A1; 2; 1 ,  B0; 4; 0 và

mặt phẳng  P : 2x y  2z20170 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

phẳng  Q đi qua hai điểm , A B và tạo với mặt phẳng  P một góc nhỏ nhất?

A  Q :xy z 40. B  Q :xy z  40.

C  Q :2xy 3z 40. D  Q :2x y z   40.

Lời giải tham khảo

Nhận xét: 00 ( ),( )P Q  900, nên góc ( ),( )P Q nhỏ nhất khi cos ( ),( ) P Q lớn nhất.

 Q :ax b y (  4)cz0;A( )Q  a2b c

Ta có cos ( ),( )  2 2 2 2 2 2 2 2

3

 

P Q

0 cos ( ),( ) 0 ( ),( ) 90

Nếu 0 cos ( ),( )  2 1 1 2 1

3

.

Dấu bằng xảy ra khi bc a;  c , nên phương trình mp Q là: xy z  40.

Câu 04 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng , : 1 1



y

và mặt phẳng  P : 2x y 2z 1 0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

phẳng  Q chứa  và tạo với  P một góc nhỏ nhất?

A 2x y 2z 1 0 . B 10x 7y13z30.

C 2xy z 0. D x6y4z50.

Lời giải tham khảo

Gọi A là giao điểm của d và  P , m là giao tuyến của  P và  Q Lấy điểm I trên d

Gọi H là hình chiếu của I trên  P , dựng HE vuông góc với m, suy ra φIEH IEH· là góc giữa  P

và  Q

 tan IH IH

 Dấu "" xảy ra khi EA

Khi đó đường thẳng m vuông góc với d, chọn  ; 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

;



  

Câu 05 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu,

: (  1) (  2) (  3) 9





y

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng  P đi qua M4; 3; 4, song song với

đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu  S ?

A 2x y 2z 190. B x 2y2z 1 0 .

C 2x2y z  180. D 2xy 2z 100.

Lời giải tham khảo

Gọi  ; ; 



n a b c là vecto pháp tuyến của  P

Ta có 3a2b2c0

Điều kiện tiếp xúc ta có 3a b c  3 a2 b2 c 2

Từ đó suy ra 2 b c, b2c

Suy ra hai mặt phẳng ở A và C

C loại vì chứa 

 Dạng 133 Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa độ

không gian Oxyz

Câu 06 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , A1; 2; 0 ,  B2; 1; 1 ,

3; 1; 0

C và D5; 1; 2  Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm A và B và cách

đều C và D

Lời giải tham khảo

Kiểm tra ta được AB song song với CD nên có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi qua hai điểm

A và B và cách đều C và D.

Câu 07 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho các điểm , A1; 0; 0 , B0; 1; 0 ,

0; 0; 1 , 0; 0; 0 

C D Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt phẳng ABC , BCD,

CDA , DAB ? 

Lời giải tham khảo

Gọi I x y z cách đều  ; ;  4 mặt ta có 1

3

  

x y z , phương trình có 8 nghiệm.

Câu 08 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , A1; –2; 0 , B0; –1; 1 ,

2; 1; –1

C và D3; 1; 4 Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chia tứ diện ABCD thành 2

phần có thể tích bằng nhau ?

Lời giải tham khảo

Trên các cạnh AB AC AD, , lấy lần lượt M N P, , sao cho 1

2



MN AN AP

AB AC CB thì mp MNP  

chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau có vô số mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu.

Câu 09 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , A1; –2; 0 , B0; –1; 1 ,

2; 1; –1

C và D3; 1; 4 Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

Lời giải tham khảo

Ta có:    1; 1; 1 ; 1; 3; 1 ;  2; 3; 4

Khi đó:  ; . 240

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

AB AC AD do vậy A B C D, , , không đồng phẳng

Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ABC

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ACD

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng ABD

+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng BCD

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD

+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , M1; 2; 3 và mặt phẳng  P

qua M cắt Ox , Oy , Oz tại A a ; 0; 0, B0; ; 0b , B0; 0;c (với a b c, , 0) Với giá trị

nào của , ,a b c thì thể tích khối tứ diện OABC (Olà gốc tọa độ) nhỏ nhất?

A. a9, b6, c3. B a6, b3, c9.

C a3, b6, c9. D a6, b9, c3

Lời giải tham khảo

Phương trình mặt phẳng là  : x y z 1

P

Vì đó mặt  P đi qua M1; 2; 3 nên ta có: 123 1 1 

Nên thể tích khối tứ diện OABC là : 1  2

6



V a b c

Ta có: 1 2 3 3 6

a b c a b c Vậy thể tích lớn nhất là: V 27.

Vậy a3;b6; c9 Phương trình là:  : 1 6 3 2 18 0

3 6 9      

y

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ,  P : 3x 3y4z160,





y

d và điểm M2 ; 3 ; 1 Gọi A là điểm thuộc đường

thẳng d B, là hình chiểu của A trên mặt phẳng  P Tìm tọa độ điểm A biết tam giác

MAB cân tại M

A A3 ; 1; 3. B A1 ; 3 ; 5 . C A2 ; 1 ; 4 . D A0; 5; 6 .

Lời giải tham khảo

Gọi H là trung điểm AB và A’ là điểm đối xứng của A qua M

Khi đó:  / / '  '   ' 





Vì M là trung điểm AA’ nên A   tt 3; 2 t9;  3 Mà A’  P  t2 A3; 1; 3.

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu,

  S : x 12 y12 z 12 1 và mặt phẳng  P :xy z 50 Điểm M thuộc

mặt phẳng  P sao cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu  S tiếp xúc với mặt cầu

 S tại N thỏa mãn MN nhỏ nhất Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A M1; 3; 1  .

B M1; 3; 1 .

C Không tồn tại điểm M

D Điểm M thuộc một đường tròn có tâm 1; 2; 3  , bán kính bằng 1thuộc  P

Lời giải tham khảo

Tâm của  S là I1; 1; 1  và bán kính của  S là R1

Ta có: MN2 IM2 –R2 IH2 –R2

Trong đó H là hình chiếu của I trên  P

Vậy: MN nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên  P Vậy M1; 3; 1  

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng , : 4 5





d

mặt phẳng   chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến   đạt giá trị lớn

nhất Tìm tọa độ giao điểm M của   và trục Ox

A. M3; 0; 0  B M6; 0; 0  C 9; 0; 0

2

M D M9; 0; 0 

Lời giải tham khảo

Gọi   là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:  

Tọa độ hình chiếu của O trên đường thẳng là M Ta có tọa độ M là: M3; 3; 3 

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng cần lập ta có: d O ,   OHOM

Vậy khoảng các lớn nhất băng OM   :x y z   90

Vậy tọa độ giao điểm của   với Ox là N9; 0; 0 

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ,  S và mặt phẳng  P

không có điểm chung Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng  P sao cho qua điểm đó

kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu  S thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến tiếp điểm đạt

giá trị nhỏ nhất?

Lời giải tham khảo

Gọi điêm M thuộc mặt phẳng  P kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm)

MA MI R (với I là tâm cố định, R không đổi) MA nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi M là hình chiếu của I trên  P ( chú ý mặt cầu  S và mặt phẳng  P không có điểm chung)

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ,  P :x 2y2z 50 và

hai điểm A3; 0; 1 , B1; 1; 3  Phương trình nào dưới đây là phương trình đi qua A

và song song với  P , đồng thời khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất?



y







y



y

Lời giải tham khảo

Đường thẳng d cần viết nằm trong mặt phẳng  Q qua A và song song với  P

Pt  Q là: x 2y2z 1 0 Để khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất thì d phải đi qua A và điểm H là hình chiếu vuông góc của B trên  Q

Ta có 1 11 7; ;

9 9 9



H Phương trình d là phương trình đường thẳng qua AH

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A1; 2; 2 ; B5; 4; 4 và mặt

phẳng  P : 2xy z 60. Gọi M là điểm thay đổi thuộc  P , tính giá trị nhỏ nhất

của MA2 MB 2

2968

25 .

Lời giải tham khảo

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , A 1; 2; 1 ,  B 2; 1; 1 , 

C 1; 1; 2 Tập hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng   : 3x6y 6z 1 0 sao cho

  0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

MA MB MB MC MC MA là hình nào trong các hình sau?

A một đường tròn B một mặt cầu C một điểm D một mặt phẳng.

Lời giải tham khảo

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có

3

Vì  ,( ) 1

3



d G  nên M là hình chiếu của G trên   : 3x6y 6z 1 0

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A1; 2; 2 ,  B3; 4; 4 và

mặt phẳng  P : 2xy z– 60. Tìm tọa độ điểm M nằm trên  P sao cho

MA MB nhỏ nhất.

A M2; 1; 1. B M3; 1; 1. C M2; 1; 3. D M3; 1; 1 .

Lời giải tham khảo

Áp dung công thức 2MA2 MB2 4MI2 AB với 2 I là trung điểm của đoạn AB Vậy để MA2 MB đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 MI nhỏ nhất Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

2; 3; 1 ,

I ta tìm được M2; 1; 3 

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A1; 2; 1 ,  B0; 4; 0 và

mặt phẳng  P : 2x y  2z20150 Gọi  là góc nhỏ nhất giữa mặt phẳng  Q đi

qua hai điểm ,A B và tạo với mặt phẳng  P Tính giá trị của cos

A cos 1

9



6



3



3



Lời giải tham khảo

Mặt phẳng  Q đi qua điểm B nên có phương trình dạng

Mà điểm A cũng thuộc  Q nên a.1b2 4 c 1  0 a2b c  1 .

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  :  ; ; 

Q

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , Q Khi đó ta có

 

cos

2

 

 

 P Q



Thế a2b c  1 vào  2 ta được

cos

3



+) Nếu b 0 c os =0 =900

+) Nếu

cos

0

3

b



ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN