Bai toan van dung cao Chu de 7 TOA DO TRONG KHONG GIAN OXYZ Co loi giai file word

Phương trình tham số của d ' l{ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :... Hình chiếu song song của.[r]

Chủ đề 7 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

C}u 1: (SGD VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;2; 0( ), B 3; 4;1( ),

uuur uuur

v{ AB= AD Theo giả thiết, suy ra DC = 2AB

uuur uuur

Kí hiệu C(a; b; c), ta có

DC = (a+ 1; b- 3; c- 2)

uuur

, 2AB= (4; 4;2)

y

x m

d : y 0

íï =ïï

ï =ìï

ï =ïïî

ï =ì

ïï =ïïî

ï =ìï

ï =ïïî

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H 3;2;1( ) v{ cắt ba đường

thẳng d1, d2, d3 lần lượt tại A, B, C sao cho H l{ trực t}m tam gi|c ABC

A 2x+ 2y+ z- 11= 0 B x+ y+ z- 6= 0 C 2x+ 2y- z- 9= 0 D

3x+ 2y+ z- 14= 0

Hướng dẫn giải Chọn A

C}u 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A B C D¢ ¢ ¢ ¢ có A trùng với gốc tọa độ O, c|c đỉnh B(m; 0; 0), D(0; m; 0), A (0;0;n)¢ với

m, n> 0 v{ m+ n = 4 Gọi M l{ trung điểm của cạnh CC¢ Khi đó thể tích tứ diện BDA M¢ đạt gi| trị lớn nhất bằng

2 BDA M

27

¢

Chọn đ|p |n: C

C}u 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng

4x- 4y+ 2z- 7= 0v{ 2x- 2y+ z+ 1= 0 chứa hai mặt của hình lập phương Thể tích khối lập phương đó l{

27

V 

Hướng dẫn giải Theo b{i ra hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0v{ 2x2y  z 1 0 chứa hai mặt của hình lập phương M{ hai mặt phẳng ( ) : 4P x4y2z 7 0 v{ ( ) : 2Q x2y  z 1 0 song song với nhau nên khoảng c|ch giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương

Điểm Cthuộcd sao

cho chu vi tam gi|cABCl{ nhỏ nhấ thì độ d{iCMbằng

5Hướng dẫn giải

Do AB có độ d{i không đổi nên chu vi tam gi|c ABCnhỏ nhất khiACCBnhỏ nhất

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

C}u 6: (T.T DIỆU HIỀN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1;1, B0;1; 2,

 2;0;1

C   P :x   y z 1 0 Tìm điểm N P sao cho 2 2 2

2

S NA NB NC đạt gi| trị nhỏ nhất

Gọi I l{ trung điểm BC v{ J l{ trung điểm AI Do đó 1; ;1 3

Tọa độ điểm J l{ nghiệm của hệ:

253

44

35

44

   Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc

với cả d d1, 2 v{ có t}m thuộc đường thẳng ?

Đường thẳng d1 đi qua điểm M11;1;0 v{ có véc tơ chỉ phương uuurd1 0;0;1

Đường thẳng d2 đi qua điểm M22;0;1 v{ có véc tơ chỉ phương uuurd2 0;1;1

Gọi I l{ t}m của mặt cầu Vì I nên ta tham số hóa I1t t; ;1t, từ đó

Chọn D

Thay tọa độ A1; 0; 2 ;  B 0; 1; 2  v{o phương trình mặt phẳng  P , ta được P A P B   0 

hai điểm A B, cùng phía với đối với mặt phẳng  P

Gọi A l{ điểm đối xứng của A qua  P Ta có

MA MB MAMB A B Nên min MA MB  A B khi v{ chỉ khi M l{ giao điểm của

A B với  P

Phương trình

1: 2

véctơ chỉ phương nuuur P 1; 2; 1 )

Gọi H l{ giao điểm của AA trên  P , suy ra tọa độ của H l{ H0; 2; 4 , suy ra A   1; 4;6,

Vectơ chỉ phương của  :ur1;1; 1  , vectơ ph|p tuyến của  P l{ nuuur P 1; 2; 2

P

Vậy đường thẳng d đi qua H 2; 1; 4 v{ có VTCP urd 4; 3;1   nên có phương trình

 

2 4: 1 3

C}u 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có bao nhiêu mặt phẳng

đi qua M v{ cắt c|c trục tọa độ tại A B C, , m{ OAOBOC0

Hướng dẫn giải Chọn C

Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox Oy Oz, , lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0c)(a, b, c0)

(3)(4)

Thay (2), (3), (4) v{o (*) ta được tương ứng 4, 6, 3

4

a  a a 

Vậy có 3 mặt phẳng

C}u 11: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).Viết

phương trình mặt phẳng ( ) qua E v{ cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho OG nhỏ nhất với G l{ trọng t}m tam gi|c ABC

A x y 2z 11 0 B 8x  y z 66=0

C 2x  y z 180 D x2y2z120

Hướng dẫn giải Chọn D

khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

a  b c    a b c  a  b c  a b c Mặt kh|c

Mặt cầu  S có t}m I1;2;1 , R 2

C}u 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CH]U) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;1

Mặt phẳng  P thay đổi đi qua M lần lượt cắt c|c tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , kh|c O Tính gi| trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC

Hướng dẫn giải Chọn C

C}u 14: (THTT – 477) Cho hai đường thẳng 1

2: 12

C x5y2z120 D x5y2z120.

Hướng dẫn giải Chọn D

1

d qua A2;1;0 v{ có VTCP l{ ur11; 1;2 ;

2

d qua B2;3;0 v{ có VTCP l{ ur2   2;0;1

Có u ur r1, 2    1; 5; 2; ABuuur0;2;0, suy ra u ur r1, 2.ABuuur 10, nên d d1; 2 l{ chéo nhau

Vậy mặt phẳng  P c|ch đều hai đường thẳng d d1, 2 l{ đường thẳng song song với d d1, 2 v{ đi qua trung điểm I2;2;0 của đoạn thẳng AB

Vậy phương trình mặt phẳng  P cần lập l{: x 5y 2z 120

C}u 15: (THTT – 477) Cho hai điểm A3;3;1 ,  B 0; 2;1v{ mặt phẳng   :x   y z 7 0 Đường

thẳng d nằm trên   sao cho mọi điểm của d c|ch đều 2 điểm A B, có phương trình l{

Mọi điểm trên d c|ch đều hai điểm A B, nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Có uuurAB   3; 1;0 v{ trung điểm AB l{ 3 5; ;1

x t

d y t t

z t

C}u 16: (SỞ GD H[ NỘI) Trong không gian Oxyz, cho c|c điểm A1;0;0 , B2;0;3 , M0;0;1

v{ N0;3;1  Mặt phẳng  P đi qua c|c điểm M N, sao cho khoảng c|ch từ điểm B đến  P

gấp hai lần khoảng c|ch từ điểm A đến  P Có bao mặt phẳng  P thỏa m~n đầu b{i ?

C|ch 1: Mặt cầu  S có t}m O0;0;0 v{ b|n kính R2 2

Có

2 2

    nên M nằm trong mặt cầu

Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM ⊥ AB Khi đó 2 2

AB R OM  v{ 1

C}u 18: (BẮC YÊN TH[NH) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M(1;9; 4) v{ cắt c|c trục tọa độ

tại c|c điểm A , B , C (kh|c gốc tọa độ) sao cho OA OB OC 

Hướng dẫn giải Chọn D

Giả sử mặt phẳng ( ) cắt c|c trục tọa độ tại c|c điểm kh|c gốc tọa độ l{

C}u 19: (BIÊN HÒA – H[ NAM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho



  

Gọi   l{ mặt phẳng trung trực của đoạn OC

a b

a b

  v{o phương trình mặt cầu ( )S ta thấy đúng nên M( )S

Suy ra: (ABC) tiếp xúc với ( )S thì M l{ tiếp điểm

C}u 21: (LƯƠNG T]M) Phương trình của mặt phẳng n{o sau đ}y đi qua điểm M1; 2;3 v{ cắt ba

tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A 6x3y2z180 B 6x3y3z210

C 6x3y3z210 D 6x3y2z180

Hướng dẫn giải Giả sử A a( ;0;0),B(0; ;0), (0;0; ) ( , ,b C c a b c0)

(ABC): x y z 1

a  b c (1) M(1;2;3) thuộc (ABC): 1 2 3 1

a  b c Thể tích tứ diện OABC: 1

C}u 22: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 3x   y z 5 0 v{ hai điểm A1;0; 2, B2; 1; 4   Tìm tập hợp c|c điểm M x y z ; ;  nằm trên mặt phẳng  P sao cho tam gi|c MAB có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta thấy hai điểm A B, nằm cùng 1 phía với mặt phẳng  P v{ AB song song với  P Điểm M P

sao cho tam gi|c ABM có diện tích nhỏ nhấtĐăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

( ; )2

ABC

AB d M AB

S

  nhỏ nhất d M AB ;  nhỏ nhất, hay M      P  Q , Q l{ mặt

phẳng đi qua AB v{ vuông góc với  P

Ta có uuurAB1; 1; 2 , vtpt của  P nuuur P 3;1; 1 

Suy ra vtpt của  Q : nuuur Q uuur uuurAB n,  P   1;7; 4

đi qua M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời c|ch điểm A một khoảng bé nhất

A ur 2;1;6 B ur 1;0; 2 C ur 3; 4; 4  D ur 2; 2; 1 

Hướng dẫn giải Đ|p |n: B

Gọi  P l{ mặt phẳng qua M v{ vuông góc với d

A

P

M ,K  có véctơ chỉ phương ur 1;0; 2

C}u 24: (MINH HỌA L2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét c|c điểm A0; 0;1, B m ;0;0,

0; ; 0

C n , D1;1;1 với m0;n0 v{ m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt

cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC v{ đi qua d Tính b|n kính R của mặt cầu đó?

Gọi I1;1;0 l{ hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy)

Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) l{: x   y z 1

uuur uuur uuuur r

hay T º G' hay (1) l{ hệ thức cần v{ đủ để hai tam gi|c ABC, A’B’C’ có cùng trọng t}m

Û uuur+ uuur+ uuur + uuuuur + uuuuur + uuuuur + uuuur = r (2)

Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt l{ trọng t}m tam gi|c ABC, A’B’C’ nghĩa l{

Gọi (P) l{ mặt phẳng qua A v{ vuông góc với d, B’ l{ hình chiếu của B lên (P)

Khi đó đường thẳng  chính l{ đường thẳng AB’ v{ ur B'Auuur

B’ l{ giao điểm của d’ v{ (P) B'( 3; 2; 1)    ur B'Auuuur (1;0;2) Chọn D

C|ch 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A v{ vuông góc với d

Gọi d’ l{ đường thẳng qua B v{ song song d’

AB’ d u B'Auur uuuurd      0 t 2 ur B'Auuuur (1;0;2)  Chọn D

C}u 27: (AN L^O)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1

Đường thẳng d qua M(2;1;0) v{ có VTCP u uurd   1;2; 1  

Ta có: ABd v{ ABOz nên AB có VTCP l{: u uuurAB    u k uur rd,     2; 1;0  

(P) chứa d v{ AB nên (P) đi qua M(2;1; 0), có VTPT l{: n r    u u uur uuurd, AB    1;2;5 

   P : x  2 y  5 z   4 0  Chọn A

C|ch 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng d qua 2 điểm M(2;1;0) v{ N(3;3;-1)

Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

C}u 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0)  Biết

đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy) v{ có tọa độ l{ những số nguyên, khi đó CA CBuuuruuur bằng:

a b

a b

Gọi G l{ trọng t}m của ABCD ta có: 7 14; ; 0

C}u 31: Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1; 2;3 Gọi H l{ trung

điểm của CD, SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích bằng 27

2 (đvtt) thì có hai điểm S S1, 2 thỏa m~n yêu cầu b{i to|n Tìm tọa độ trung điểm I của SS1 2

Lại có H l{ trung điểm của CDH0;1;5

Gọi S a b c ; ; SHuuur  a;1b;5 c SHuuurk AB ACuuur uuur, k3;3;3  3 ;3 ;3k k k

3 3 9k 9k 9k   k 1 +) Với k 1 SHuuur3;3;3S 3; 2; 2

2

80202

Vậy phương trình mặt cầu l{:   2  2 2

C}u 34: Cho điểm A2;5;1 v{ mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H l{ hình chiếu vuông góc của

A trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 v{ tiếp xúc với mặt phẳng

 P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu l{:

Do đó, H4; 2;3

 Gọi I R, lần lượt l{ t}m v{ b|n kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784, suy ra 2

4R 784  R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H nên IH ( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2 t  t  t, với t 1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa m~n:

C}u 35: Cho mặt phẳng  P :x2y2z100 v{ hai đường thẳng 1: 2 1

; 2 đi qua điểm A(2;0; 3) v{ có vectơ chỉ phương uura2 (1;1; 4)

 Giả sử I(2t t; ;1 t) 1 l{ t}m v{ R l{ b|n kính của mặt cầu  S

 Ta có: uurAI ( ; ; 4t t t)  uur uurAI a, 2  (5t4; 4 5 ;0) t    2

 Với t 1 I(1; 1; 2), R3   2 2 2

: ( 1)  ( 1)  ( 2) 9

Lựa chọn đ|p |n A

C}u 36: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0 , Q :x2y4z 6 0

Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q v{ cắt c|c trục tọa độ tại c|c điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC l{ hình chóp đều

A.x   y z 6 0 B.x   y z 6 0 C.x   y z 6 0 D x   y z 3 0

Hướng dẫn giải Chọn M6;0;0 , N 2; 2; 2 thuộc giao tuyến của   P , Q

Gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c lần lượt l{ giao điểm của   với c|c trục Ox Oy Oz, ,

B C D' ' ' :16 x 40y 44z 39 0

C}u 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )a đi qua điểm M(1; 2;3) v{ cắt c|c

trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( kh|c gốc toạ độ O ) sao cho M l{ trực t}m tam gi|c ABC Mặt phẳng ( )a có phương trình l{:

C|ch 1:Gọi H l{ hình chiếu vuông góc của C trên AB , K l{ hình chiếu vuông góc B trên

AC M l{ trực t}m của tam gi|c ABC khi v{ chỉ khi M= BKÇCH

Ta có : AB CH AB (COH) AB OM(1)

AB CO

ü

^ ïï Þý ^ Þ ^ï

+) Do A,B,C lần lượt thuộc c|c trục Ox,Oy,Oznên A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c (a b c, , 0)

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng( ABC)l{: x y z 1

a  b c

+) Do M l{ trực t}m tam gi|c ABC nên

0 0( )

Giải hệ điều kiện trên ta đượca b c, ,

Vậy phương trình mặt phẳng:x2y3z140

C}u 39: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng

 P cắt c|c trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho N l{ t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi|c ABC

A. P :x   y z 3 0 B. P :x   y z 1 0

C. P :x   y z 1 0 D. P :x2y  z 4 0

M K

H O z

y

x C

B

A

Hướng dẫn giải Gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c lần lượt l{ giao điểm của  P với c|c trục Ox Oy Oz, ,

uur uur uuur    nên d d1, 2 chéo nhau

Do   c|ch đều d d1, 2 nên   song song với d d1, 2nuur uuur uurd1;u d27; 2; 4  

C}u 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A3; 1;1 , nằm trong mặt phẳng

 P :x   y z 5 0, đồng thời tạo với : 2

   một góc 0

45 Phương trình đường thẳng d l{

 có vectơ chỉ phương auur 1;2;2

d có vectơ chỉ phương auurd a b c; ; 

 P có vectơ ph|p tuyến nuurP 1; 1;1 

23

C}u 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1; 1;2 , song song với

 P : 2x   y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

 một góc lớn nhất Phương trình đường thẳng d l{

 có vectơ chỉ phương auur 1; 2;2 

d có vectơ chỉ phương auurd a b c; ; 

 P có vectơ ph|p tuyến nuurP 2; 1; 1  

Vì d/ / P nên auurd nuurP a nuur uurd P 0 2a b c    0 c 2a b

t t



 

 

3 6 14 9

t d

  , ta suy ra được min f t  f  0   0 t 0

Do đó min cos ,d   0 t 0 uuuurAM 2;2 1 

Vậy phương trình đường thẳng d l{ 1 1

x t y

 P có vectơ ph|p tuyến nuurP 1;1;1

Vì / / P  nên uuurABnuurPuuur uurAB n P   0 b a 1.Khi đó uuurAB   a 1;2a5;6a

  2  2 2 2

  v{ vec tơ chỉ phương uuurd   1;0;1

Vậy phương trình của l{

65292

x t y

  , p

d  P uuur uurAB n cùng phương

 có một số k thỏa uuurABknuurp

d đi qua điểm A2;0; 1  v{ có vectơ chỉ phương auurd nuurP 7;1 4 

Vậy phương trình của d l{ 2 1

 uuur uur cùng phương

 có một số k thỏa uuurABkauurd

 đi qua điểm A2;3;3 v{ có vectơ chỉ phương uuurAB0; 1; 1  

Vậy phương trình của  l{

233

C}u 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1,

d đi qua điểm B12;9;1

Gọi H l{ hình chiếu của B lên  P

 P có vectơ ph|p tuyến nuurP3;5; 1 

BH đi qua B12;9;1 v{ có vectơ chỉ phương auuurBH nuurP3;5; 1 

 

12 3: 9 51

d đi qua A0;0; 2  v{ có vectơ chỉ phương auurd' 62; 25;61 

Vậy phương trình tham số của d' l{

6225

 Gọi  Q qua d v{ vuông góc với  P

d đi qua điểm B12;9;1 v{ có vectơ chỉ phương auurd 4;3;1

 P có vectơ ph|p tuyến nuurP 3;5; 1 

 Q qua B12;9;1 có vectơ ph|p tuyến nuurQa nuur uurd, P  8;7;11