LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1 : Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ).. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )a[r]
Trang 1BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
1
1
3
: 2
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
1
b/
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
ax 4
Giải
a
4
A
2 2
1 -1
2
ax
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
Giải
Trang 2
2 2
2
2 2
2
b/
2
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
a 3 a3b a 23 b23 3 ab
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
Giải
a/ 3a3b a 23 b23 3ab3 a3b 3a 2 3a b3 3b 2 3 a 3 3b 3 a b
b/
: 2
2
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
3
3 2
4 4
2 2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
Giải
a/
3
2
2
4
a a
B
a a
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
2
b
5 3
3
5 2
10 5
2 3
y
y
Giải
Trang 3a/
1
Với x= 3,92 x2 3,92 4 x2 0,08 2 4 x2 0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
y y
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
b
6
B
Giải
a/
1
3
3
8 8
a
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
0 8
b/
2
B
2
2 2
3 3
2
b a
Bài 6 Rút gọn biểu thức sau
Trang 4a
1
A=3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
1 2
4
B
Giải
a/
1
b/
3
B
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
1 1
1
1 1
2 2
4 4
:
1 1
2 2
Giải
a/
1
a
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :
1
2
1 1
2 2
ax
C
x a
b Chứng minh : a23 a b4 2 b23b a4 2 3 a2 3b23
Giải
Trang 5a/
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
b Chứng minh : a23 a b4 2 b23b a4 2 3 a2 3b23
a2 3 a b4 2 b2 3 a b2 4 2 2a b2 2 a2 3a b2 4 b2 3 a b4 2 a2 33 a b4 2 33 a b2 4 b2
Bài 9.
a Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
( đáp số : =3 )
8 8
1
Giải
a/ Đặt y=
3
3125
27
b/ 1 8 382 83 82 4342 3 2 ; VP 43 42 4342 3 2
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5 3
11 16
a b
Giải
3 1 3
Trang 6b/
1
1 1
11 16
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
2 1
a
a
d a 2..a1,3:3a3 2
Giải
2 1
2 1
a
1 1 2
2 4
a
c/ a 3 3 a 3 3 a3
d/
2 1,3 3
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
2 2 2 3
2
b
4 3 3
1
c
2 5 3 7 2 7
a b ) d a b 2 41ab
(đáp số : a b
Giải
2
b/
3
1
a
c/
d/ a b 2 41ab a2 b2 2a b 4a b a b 2 a b
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
Trang 7 Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
Giải
a/ 330 5 20 Ta có
3
15 3 15 3 5
b/ 45 3 7 Ta có :
3 12
4 12
c/ 17 3 28 Ta có :
6 3 6
3
6 2
d/ 413 523 Ta có :
20 5 20 4
5 4
20 4
e/
Vì
f/ 4 5 4 ;7 7 5 4 5 4 7
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 21,7 20,8 b
1,7 0,8
d
5
2
5
1
7
2,5
12 1 2
2
Giải a/ 21,7 2 ;0,8 vi:1,7 0,8 21,7 20,8 b/
2
do
c/
2
do
Trang 8d/
0
5 0
7
do
e/
2
2,5
2,5 6,25
f/
5 5 4 1
6 36 36 3
0 0,7 1
do
Bài 3 Chứng minh :202303 2
Giải
Ta có :
20 20
20 30 30
30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y3 x x b
2
sin
y
Giải
a/ y3 x x
Do vậy :
1
4
2
sin
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
sin os
x x
y e
Giải
a/
2
GTNNy
b/
1 3
1 3
c/
sin os sin os
2
1
VẼ ĐỒ THỊ
Trang 9Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a
1
1
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2
y
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
1 2
1 2
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
x
y
2 x
y e
3
x
1 3
x x
Giải
x
y
x
y
Là một hàm số đồng biến b/
2 x
y
e
Do
x
y
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
x
x
3
3
x
x x
x
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1 log
5
x y
x
2
5
1
3
x y
x
3 log
1
x y
x
2 0,3 3
2
5
x y
x
d
2
2
1
1
x
x
2
1
6
1 log
x y
x
Giải
Trang 10a/ 12
1 log
5
x y
x
Điều kiện :
1 2
1
0
1 1
x
x
x
x x
Vậy D=1;
b/
2
5
1
3
x y
x
Điều kiện :
2 3
2
1
3
x
x
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a
9
125 7
1 1
4 2
81 25 49
1 log 3 3log 5
c
7 7
3
1log 9 log 6
log 4 2
Giải
a/
81 25 49 3 5 7
=
5
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
1log 3 3log 5
2 1 log 5 log 3 6log 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 4
36 16
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
3
1
2
1
2
log log 4.log 3
D
Trang 11a/
b/
3
Bài 2 Hãy tính
a A log 2sin2 12 log os2c 12
1
3
x
Giải
1
c/ C=log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 410 10 log1 0
d/
Bài 3 Hãy tính :
b Chứng minh :
ax
log
1 log
a
bx
x
2
1
k k
Giải
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011! 1
b/ Chứng minh : ax
log
1 log
a
bx
x
log
x
Trang 12Chứng minh :
2
1
k k
2log
k
a
x
Bài 4 Tính :
a Aloga a3 a a5 b Bloga a a3 25 a a c
5 3 3 2
log
a
a a
d log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
Giải
a/
1 1 3
2 5 10
b/
1
1 1
2
3
c/
3 2 1
2 4
a a
d/ log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0 0 0 0 0 0
( vì : tan 890 cot10 tan1 tan 890 0 tan1 cot10 0 1; Tương tự suy ra kết quả
1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a.Nếu : a2b2 c a2; 0,b0,c0,c b 1, thì :
logc b alogc b a2logc b a.logc b a
b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
a b c
c Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2log log
b
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a2b2 7ab Chứng minh :
ln
Giải
a/ Từ giả thiết : a2 c2 b2 c b c b 2 log ac b logac b
Trang 131 1
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2 ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
c/ Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng thì logx alogz c2logy b
2log log
log
b
y
2 2
3
a b
Lấy lê be 2 vế ta có :
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A log 166 Biết : log 27 x12
b B log 30125 Biết : log 3a;log 2b c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b
d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 14 a2
Giải
a/ A log 166 Từ :
3
(*)
Do đó :
4
6
log 16
Thay từ (*) vào ta có : A=
c/ Từ :
2
log 3
C
(*) Suy ra :
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
D
e/ Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
5 2
log 32
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga blogb a2 log a b logab blogb a1
Trang 14b
2
log log 1
1
2
c C loga plogp a2 log a p logap p loga p
Giải
2
log
a
a
b
b
a
b
b
a
log log 1
2 2
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b3;loga c2:
4 3 3
x c
c
2 4 2 4 3
x
Giải
2
b/Ta có :
4 3 3
c
c/ Ta có :
2 4 2 4 3
Bài 4 Chứng minh
1
2
với : a3b0;a29b2 10ab
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
loga b loga c
loga ;logb ;logc
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
Trang 15a/ Từ giả thiết :
2
1
2
b/ Chứng minh :
loga b loga c
* Thật vậy :
* log log loga b b c c a 1 log loga b b aloga a1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : 3 4
1
3
Ta có :
Ví dụ 2 So sánh : 3log 1,16 7log 0,996 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a log0,4 2 log 0,340,2
b 53 34
1 log log 3 2
2 1 2
2log 5 log 9
5 log 3 log 11
h
9
8
log 2 log
9
1 log 2 log 5 2
3
1
18 6
Giải
a/ log0,4 2 log 0,340,2
Ta có :
b/ 53 34
4 5 Ta có :
Trang 16c/ 5 5
1 log
log 3 2
2 3 Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2
d/ log 2 log 33 2 Ta có :
log 3 log 2
e/ log 3 log 112 3 Ta có :
2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/
2 1
2
2log 5 log 9
2 8 Ta có :
2 1
2 2
25 2log 5 log 9 log
9
2
Nhưng :
2 1 2
2
5
log 3 log
11
4 18 Ta có :
2
2 2
9 11 5
5 1 5 log 9 log log log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
Nhưng :
2 4 5 log 3 log 11
h/
9
8
log 2 log
9
9 5 Ta có :
3 3
9
log 2 log 2log 2 log log 2 log log
8
k/
1
log 2 log 5
1
18 6
Ta có :
6
1
Bài 2 Hãy so sánh :
e
Giải
a/ log 10 log 302 5 Ta có :
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 5 log 43 7 Ta có :
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
c/
e
Ta có :
3
3
1
1
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
Trang 17a 12 3
1
2
b 4log 7 5 7log 4 5 c log 7 log 3 23 7
d 3log 5 2 5log 3 2 e
1 log 3 log19 log 2
log
Giải
1
2
Ta có :
2
Nhưng :
b/ 4log 7 5 7log 4 5 Ta có : 5
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
Vậy 2 số này bằng nhau
1
log 7
d/ 3log 5 2 5log 3 2 Ta có : 2
2 log 3 log 5 log 5.log 3 2
e/
1
log 3 log19 log 2
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
f/
log
Ta có :
Bài 4 Hãy so sánh :
log 9 log 17
c 12 12
log e log
d
Giải
a/Ta có :
3 1
b/ 13 13
log 9 log 17
Ta có :
1
log 9 log 17 3
9 17
Trang 18c/ 12 12
log e log
Ta có :
1
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
a yx2 2x2e x
b ysinx-cosxe2x c
y
d ylnx21
e
ln x
y x
f y 1 lnxlnx
Giải
a/ yx2 2x2e x y'2x 2e xx2 2x2e x x e2 x
b/ ysinx-cosxe2x y'cosx+sinxe2x2 sinx-cosx e2x 3sinx c osxe2x
c/
4 '
2
2
1
x
x
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
a y x 2ln x21
2
log x x1
c y3ln2x
4 log
4
x
y
x
2 3
9 log
5
x y
x
1 log 2
x y
x
Giải
b/
2
1 ln 2
x
3
e/
2
Trang 19f/
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
a
0
lim
x
x
b
0
lim sin 2
x
x x
c
0
lim
x
x x
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
x
e 0
1 lim
1 1
x x
e x
3 0
ln 1 lim
2
x
x x
Giải
a/
b/
3
sin 2
2
x x
x
x
4
d/
5
3
x x
e
e
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
a
0
lim
tan
x
x
x
b
2 3 0
lim 5
x
x
c
3 0
1
x
e x
d
1
sin 3 lim
x
x x
lim
x
x
Giải
a/
2
tan tan
x x
x
x
b/
5
2
c/
3
d/
1
1
x
e
x
3
f/
2 2 2
5 2sin
2
4 5
25 2
x
Trang 20Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
lim
sin
x
x
b 2
1
os
3
x
d
4
2 2cos lim
sin
4
x
x x
Giải
a/
2sin 2 sin
b/ 2
1
os
Đặt :
2
c
2
2sin
t
t t
c
Khi
0 2
tan
2
t x
t
t
3
x
0
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x x
2 2cos
4
sin
4
c x
t x
Do đó :
t
Vậy :
4
2 2cos
2 sin
4
t o x
x