Bài toán lũy thừa toán 12

Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.

MỤC LỤC

1 [DS12.C2.1.D01] Tính giá trị của biểu thức chứa lũy thừa

1 [DS12.C2.1.D02] Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa

1 [DS12.C2.1.D03] So sánh các lũy thừa

1 [DS12.C2.1.D04] Tính chất lũy thừa

2 [DS12.C2.2.D01] Tập xác định của hàm số chứa hàm lũy thừa

2 [DS12.C2.2.D02] Đạo hàm hàm số lũy thừa

2 [DS12.C2.2.D03] Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số lũy thừa

2 [DS12.C2.2.D04] Tính giá trị hàm số

3 [DS12.C2.3.D01] Tính giá trị biểu thức chứa lô-ga-rít

3 [DS12.C2.3.D02] Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa lô-ga-rít

4 [DS12.C2.4.D07] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa hàm mũ,hàm lôgarit một biến số

4 [DS12.C2.4.D08] Các bài toán lãi suất – trả góp

4 [DS12.C2.4.D09] Các bài toán thực tế liên môn

1 Định nghĩa lũy thừa và căn

Cho số thực b và số nguyên dương n n 2

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n b

Chú ý:  Với n lẻ và b  : Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu n b

 Với n chẵn: b0 : Không tồn tại căn bậc n của b.

b 0 : Có một căn bậc n của b là 0

b0 : Có hai bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký

hiệu là n b , căn có giá trị âm ký hiệu là - n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

Chú ý:  Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số  phải khác 0

 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số  phải dương

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Câu 1: Giá trị của biểu thức  

Câu 8: Viết biểu thức

3 0,75



Câu 9: Khẳng định nào sau đây là sai?

BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN, BIỂU DIỄN CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Câu 11: Đơn giản biểu thức 4 x x8 14

Câu 13: Viết biểu thức P3 x x.4 (x0) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.

A

1 12



5 12



1 7



5 4



P x

Câu 14: Cho biểu thức P4 x23 x , x0

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

7 12



8 12



6 12



9 12



5 6



11 6

 

53

 

23

 

16

 

Câu 18: Cho  

3 2 6

a b Mệnh đề nào dưới đây đúng?



a b P

a b được kết quả là :

Câu 29: Cho b là số thực dương Biểu thức

2 5 3

y B . P xy C P4 xy D 4 .

x P y

Câu 32: Cho các số thực dương a và b Rút gọn biểu thức

b a

Câu 35: Cho số thực dương a Rút gọn biểu thức

1 2

31 30

ab B P b a  3 C  3

a P

3

b a P

a

Câu 44: Cho a0,b0 Biểu thức thu gọn của biểu thức  1 1  1 1  1 1

37 13

53 36

43 60

a

Câu 51: Cho biểu thức P x x x x .5 3 , x>0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2 3



3 10



13 10



1 2



13 24



1 4



2 3



Câu 54: Cho a0; b0 Viết biểu thức

2 3

Câu 55: Biểu thức Q x x x.3 .6 5 với x0

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là2

3



Q x

5 3



Q x

5 2



Q x

7 3



Q x

Câu 56: Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

a n Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

C

2 2

5

x x x ; về dạng x m và biểu thức

4 5 6



Câu 64: Rút gon biểu thức K  x 4 x1  x4 x1  x x1

SO SÁNH CÁC LŨY THỪA

Câu 66: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

(I):

3 0.4 5 0.3 (II): 5 5 3 3(III): 3 25 4 (IV): 3 5  5 3

A (I) và (IV) B (I) và (III) C (IV) D (II0 và (IV)

Câu 67: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

 

x

12



x

12

 

x

12

Câu 77: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?



m

12



m

12



m

32

Câu 90: So sánh hai số m và n nếu  2 1   2 1 

C x0. D Không có giá trị xnào

Câu 97: Với giá trị nào của xthì đẳng thức

C x1. D Không có giá trị xnào

Câu 98: Với giá trị nào của xthì đẳng thức 2016x2016 x đúng

A Không có giá trị xnào B x0.

Câu 103: Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình x2015 2 vô nghiệm.

B Phương trình x2121 có 2 nghiệm phân biệt.

C Phương trình x e  có 1 nghiệm.

D Phương trình x2015 2 có vô số nghiệm.

Câu 104: Cho n nguyên dươngn2

khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?



là căn bậc 5 của

1243



C Có một căn bậc hai của 4 D Căn bậc 8 của 2 được viết là 8 2

Câu 106: Cho a0,b0, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

x x

x . D x y u. u x y. u

Câu 108: Cho a thuộc khoảng

20;

A 5 2

3

3 ln 5

C 5 2

3

5 lnx x D . y5ln 53 x ln 5x35

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

BẢNG ĐÁP ÁN

101.B 102.D 103.A 104.A 105.C 106.A 107.B 108.D 109.D 110.B 111.C 112.D 113.D

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 1: [DS12.C2.1.D01.a]Giá trị của biểu thức  

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương pháp tự luận.

Ta có:

3 4

3

2

64



Hướng dẫn giải Chọn A

Phương pháp tự luận  

5 13

6 2

6 3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có lũy thừa với số mũ hữu tỉ  a m n

thì cơ số a0 nên khẳng định sai là 3  1  1 13

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

6 5 4 3

2x  2  2x21 1 1 1 12 3 4 5 6 .

1 6!

2 2

 x

16!

 x

BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN, BIỂU DIỄN CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 11: [DS12.C2.1.D02.a] Đơn giản biểu thức 4 x x8 14



5 12



1 7



5 4



8 12



6 12



9 12



5 6



11 6

A a a3 4a B

5 3 6

 

53

 

23

 

16

 

Hướng dẫn giải Chọn C

1 2 1

3 2 2 3

1 6

Hướng dẫn giải Chọn D

a

a b b

x

.Mà: a b 2 nên  1  2a b  16 a b 8

A 4 B 2sin cos  C 2sincos D 2

Hướng dẫn giải Chọn D

a b Mệnh đề nào dưới đây đúng?



a b P

Câu 30: [DS12.C2.1.D02.b] Cho

1 2

y B . P xy C P4 xy D 4 .

x P y

Hướng dẫn giải Chọn B

1 2

Câu 37: [DS12.C2.1.D02.b] Cho hai số thực dương a và b Biểu thức

5 a b a3

b a b được viết dưới

dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

A

7 30

31 30

5 6

1 6

 

 

 

a b

Câu 38: Cho a0,b0.Biểu thức thu gọn của biểu thức  1 1

b a

a b =

2 15 2 15

a

b =

2 15

 

 

 

a b

Câu 40: [DS12.C2.1.D02.b] Choa0,b0và a b Biểu thức thu gọn của biểu thức

a a a là:

Hướng dẫn giải Chọn D

a P

ab B P b a  3 C  3

a P

3

b a P

 

1 2 1

a b

Câu 48: [DS12.C2.1.D02.b] Cho biểu thức P x x3 2k x3 x0

Xác định k sao cho biểu thức23

Câu 50: [DS12.C2.1.D02.b] Cho số thực dương a Biểu thức P a a a a3 4 5 được viết dưới dạng

lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A

25 13

37 13

53 36

43 60

43 60

a

Câu 51: [DS12.C2.1.D02.b] Cho biểu thức P x x x x .5 3 , x>0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2 3



3 10



13 10



1 2



13 24



1 4



2 3



Hướng dẫn giải Chọn D

Hướng dẫn giải Chọn C



5 3



5 2



7 3

x

VẬN DỤNG:

Câu 56: [DS12.C2.1.D02.c] Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu

Câu 59: [DS12.C2.1.D02.c] Biểu thức thu gọn của biểu thức

2 2

2 2

1 21

y y y ; về dạngy Ta có n m n  ?

A

116

4 4 5 1 7

5 6

Câu 65: [DS12.C2.1.D02.d] Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x được viết

dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng

a b

 x x x x x x x x

3 2

 x x x x x x x

 3 212

 x x x x x x x  x x x x x x74

7 8

 x x x x x x

15 8

 x x x x x  x x x x x 1516

31 16

31 32

 x x xx

63 32

 x x x

63 64

 x x x

127 64

 x x

127 128

 x x  x x 128255

255 128

255 256

x Do đó a255,b256.

Nhận xét:

8 8

2 1 255

256 2



x x Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2

Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.

SO SÁNH CÁC LŨY THỪA

Câu 66: [DS12.C2.1.D03.a] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

(I):

3 0.4 5 0.3 (II): 5 5 3 3(III): 3 25 4 (IV): 3 5  5 3

A (I) và (IV) B (I) và (III) C (IV) D (II0 và (IV)

Hướng dẫn giải Chọn C

Áp dụng tính chất với hai số ,a b tùy ý 0   a b và n nguyên dương ta có n a n b

Câu 67: [DS12.C2.1.D03.a] Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

Dùng máy tính kiểm tra kết quả

Câu 68: [DS12.C2.1.D03.a] Với giá trị nào của x thì ( 2 4)  5  2 45 3

A

12

 

x

12



x

12

 

x

12

Do 0, 25   3 và số mũ không nguyên nên a0,25 a 3 khi a 1

Câu 70: [DS12.C2.1.D03.a] Kết luận nào đúng về số thực a nếu

Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết.

Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D

Câu 81: [DS12.C2.1.D03.b] Nếu

1 1 6

Câu 83: [DS12.C2.1.D03.b] Nếu  3 22m2  3 2

thì

A

32



m

12



m

12



m

32

4 và có số mũ không nguyên    

3

2 4

Do 0, 2 2 và có số mũ không nguyên nên a0,2a2khi a 1

Câu 88: [DS12.C2.1.D03.b] Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2 1)3 (2 1)1

TÍNH CHẤT LŨY THỪA

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU:

Câu 92: [DS12.C2.1.D04.a] Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:

  

nên  313

khôngcónghĩa Vậy đáp án B đúng

Câu 93: [DS12.C2.1.D04.a] Trong các biểu thức sau biểu thức nào không có nghĩa

Vì vậy 02016 không có nghĩa đáp A là đáp án đúng

Câu 94: [DS12.C2.1.D04.a] Căn bậc 2016 của -2016 là

n lẻ, b R : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu n b

Câu 96: [DS12.C2.1.D04.a] Với giá trị nào của xthì đẳng thức 2017x2017 x đúng

C x0. D Không có giá trị xnào

Hướng dẫn giải Chọn B



n x n x khi n lẻ nên 2017x2017 x với   x

Câu 97: [DS12.C2.1.D04.a] Với giá trị nào của xthì đẳng thức

A x0. B x0.

C x1. D Không có giá trị xnào

Hướng dẫn giải Chọn A

Do

4 4

Câu 98: [DS12.C2.1.D04.a] Với giá trị nào của xthì đẳng thức 2016x2016 x đúng

A Không có giá trị xnào B x0.

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác

Câu 101: [DS12.C2.1.D04.a] Cho a và n2 (k k *), a n có căn bậc n là:

Hướng dẫn giải :

Chọn D

Áp dụng tính chất của căn bậc n

Câu 103: [DS12.C2.1.D04.a] Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình x2015 2 vô nghiệm.

B Phương trình x21 21 có 2 nghiệm phân biệt.

C Phương trình x e  có 1 nghiệm.

D Phương trình x2015 2 có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải :

Chọn A

Áp dụng tính chất của căn bậc n

Câu 104: [DS12.C2.1.D04.a] Cho n nguyên dươngn2

khẳng định nào sau đây là khẳng định

Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác

Câu 105: [DS12.C2.1.D04.a] Khẳng định nào sau đây sai?

A Có một căn bậc n của số 0 là 0 B

13



là căn bậc 5 của

1243



C Có một căn bậc hai của 4 D Căn bậc 8 của 2 được viết là 8 2

Hướng dẫn giải :

Câu 107: [DS12.C2.1.D04.a] Cho x , y là các số thực dương; u, v là các số thực Khẳng định nào sau

đây không phải luôn luôn đúng?

x x

Câu 109: [DS12.C2.1.D04.a] Cho các số thực a b, ,a b 0, 1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 111: [DS12.C2.1.D02.a] Cho , x y là hai số thực dương và , m n là hai số thực tùy ý Đẳng thức

nào sau đây sai?

11







x y