Bài tập Lũy thừa, Mũ Logarit

Những bài tập cơ bản về lũy thừa, mũ logarit

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

(Trang 1 – 11 ) ĐẠO HÀM (Trang 13 – 16 )

GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 )

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 )

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1 LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):

Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) A =

2 3

3 2

2 2 2

Trang 5

2 LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa loga b có nghĩa khi 0 1

0

a b

loglog log log

loglog

Chú ý: +) Lôgarit thập phân : log10blogblgb

+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : loge blnb

2 9 525

log 36 log 28 log99

9 4 10 9) I = lg 81log 53 27log 369 32log 719 

12) L = log2013log (log 256) log4 2  0,25log (log 64)9 4  

13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8

6) F =  log 29 log 278   3 log22 log2333 32log 23 log 32

1

3 2 2log 3 2 log 2 3 log  3 2 2 1

3 7 7

2 7

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

1) A = logaa2 4a3 5a 2) B = loga blogb a2 log a blogab blogb a1

3) C =

3

5 1

2log 3log 1 1 3log 3log 1 1

a a

x c

 3)

2 3 3 3

Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:

1) A = log 0,16 biết 20 log 52 a 2) B = log 15 biết25 log 315 a

3) C = log 40 biết 2

3

1log

4) D = log (21, 6)6 biết log 32 a và log 52 b

5) E = log 2835 biết log 714 a và log 514 b 6) F = log 2425 biết log 156 a và log 1812 b

7) G = log12530 biết lg 3 và lg 2a  8) H = b 3 5

49log

8 biết log 725 a và log 52 b

9) I = log14063 biết log 32 a; log 53 b; log 72 c 10) J =log 356 biết log 527 a;log 78 b;log 32 c

1log 25 log 5 2 log 5 2. 2 1

a a

3log 10 log (2.5) 1 log 5 1 2 3

4) D = log (21, 6)6 biết log 32 a và log 52 b

Ta có: D =  

 

2 3 2

6

2 3loglog 21, 6 5 2 3log 3 log 5 2 3log (21, 6)

log 6 log 2.3 1 log 3 1

a b a

log 2.3log 18 1 2 log 3log 18

log 12 log 2 3 2 log 3

lg125 lg 5 3lg 5 3 1

a b

2 2

49 7log log

9) I = log14063 biết log 32 a; log 53 b; log 72  c

Ta có : log 52 log 3.log 52 3 ab I =  

2 2

log 3 7log 63 2 log 3 log 7 2log 63

log 140 log 2 5.7 2 log 5 log 7 2

Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

1) log ( ) log log

log log

t b

b b t

log 18 2 log 3 1 2 log 3 log 3

log 54 3 log 3 1 3log 3 log 3

8) Trong ba số: log2a ; log2b

9  6) F = log 32 log 3 2

4 9 7) G =

log 53 log 37 log 29

log 28 biết log 27 a 2) B = log 166 biết log 2712 a 3) C = log 3249 biết log 142 a

4) D = log 168 biết 54 log 127 a và log 2412  5) E = b log 1350 biết 30 log 330 a và log 530  b

6) F = 3 7

121

log

8 biết log 1149 a và log 72 b 7) G = log 1353 biết log 52 avà log 32 b

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

c biết loga b 5 và loga c 3

Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

2 12

'

x x

2'

3 ln

3 ln

x x y

x y

7) log 1

2

x y

Trang 15

Ta có:  2

1 ln 1

11

'

x x

1 ln

' ( ln 1)1

1 ln 1 ln 1 ln

x xy

sin(ln ) cos(ln ) 1 1

sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )

2 cos(ln )''

B BÀI LUYỆN

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y3 x2 x 1 2) y(2x1)e3x1 3)

1 3

x x

e x

2

x x

x x

lim2

x

x x

1 1

x x

e x





  8) 0

ln(1 2 )lim

tan

x

x x





9)

10

lg 1lim

10

x

x x

lim lim lim lim 2 cos 1 .2.1 2

1lim3

x x

e x

IV TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

a

a b b

a b

a b

57

80 và 12

1log

4) log 23 và log 32 Ta có: log 23 log 3 1 log 23   2 log 32 log 23 log 32

5) log 32 và log 113 Ta có: log 32 log 42 2log 93 log 113 log 32 log 112

3 2

hay 2logn1nlogn1n2 (1)

+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : logn1nlogn1n22 logn1n.logn1n2 (2)

( (2) không xảy ra dấu '' vì " logn1nlogn1n2)

+) Từ (1) và (2) 22 logn1n.logn1n2 1 logn1n.logn1n2

1    1 

1

1log 2 log 1 log 2logn n n n n n n n

Áp dụng (*) với n 2011log20112012 log20122013

14) log 15013 và log 29017 Ta có: log 15013 log 16913 2log 28917 log 29017 log 15013 log 29017

15) log 4 và 3 log 11 10

Ta luôn có : log (a a1)loga1(a2) với 0a (*) Thật vậy :… 1

(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )

Áp dụng liên tiếp (*) ta được :

log 43 log 54 log 65 log 76 log 87 log 98 log 109 log 1110 hay log 43 log 1110 (đpcm)

Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 5 15

3

log 3.log 4

14 7log log

1 3

2

Ta có:

1 2

2 2 ;  

1 2

1

2 2

2 ; 26



; 2 ;  3 log6454

2

Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) ln ln ln

a b a b

 với a 1; b 1 2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c 0

3) loga bloga c (b c ) với 1a và b c  4) 0 log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

5) logb c logc a loga b 33

a b c  abc với , ,a b c dương và khác 1

2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c  0

Dấu " xảy ra khi : " c  0

3) loga bloga c (bc) với 1 a b và c 0

Ta có : loga bloga c (b c ) loga b 1 loga c(b c) 1 loga b loga c b c

4) log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

Theo kết quả ý 3) ta có : loga bloga c (b c ) với 1 a  và b c  0

Áp dụng với ba và 1 c  ta được : 1 log (a a1)loga1(a2) (đpcm)

3

c a b

b c a

a b c  abc với a b c, ,  1

Ta có : alogb c clogb aalogb ccloga b clogb acloga b2 clogb a.cloga b 2 clogb aloga b (1)

Vì ,a b  nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm 1 logb a và loga b ta được :

loga blogb a2 loga b.logb a2 (2)

Từ (1) và (2) alogb ccloga b2 c2 2c hay alogb ccloga b 2c

Chứng minh tương tự ta được : alogb cblogc a 2a

blogc acloga b2b

  log log log   

2 a b cb c ac a b 2 a b c  hay alogb cblogc acloga ba b c  (*)

Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a b c  33abc (2*)

Từ (*) và (2*) log log log 3

Áp dụng BĐT Cauchy ta được : log 3 log 22  3 2 log 3.log 22 3  (1) 2

( (1) không có dấu " vì " log 32 log 23 )

2

    (1) Chứng minh như ý 1) ta được : log 3 log 22  3   2 log 3 log 22  3  2 (2)

Từ (1) và (2) 1 3

2

1log 3 log 2

2

    (đpcm)

x y

x y

Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )3 x x 2) f x ( ) 0, 5sin2x 3) f x( )2x 123 x 4) f x ( ) 5sin2x5cos2x

2) f x ( ) 0, 5sin2x

Cách 1: 2 0 sin2 1

max ( ) 11

Cách 2: Đặt tsin2x với t  0;1  f x( )0,5t g t( ) với t  0;1

Ta có: g t '( ) 0, 5 ln 0, 5t  0, 5 ln 2t  với 0  t  0;1  hàm số nghịch biến với  t  0;1

lim ( ) lim 2x 2 x ; lim ( ) lim 2x 2 x

Dấu “=” xảy ra khi: sin2 cos2 2 2 1 cos 2 1 cos 2

Trang 27

Ví dụ 10: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )e2 3 x trên đoạn [0; 2] 2) f x( )e x33x3 trên đoạn [0; 2]

max ( ) ln 7 3min ( ) 0 1

1;0

1 ln 2 ln 2max ( )

1 1 8 ln 2(1) 4 ln 2

f f f

(1) 04( )9( )

ln ln2

max ( ) 7 1min ( ) 13 log 2

1000min ( ) 0 100

ln 0 [1; 2]

y x

34

'( ) 1 0 1 4

11

t

t t





         

( )1

t

t t

2 1lim ( ) lim 1

+) Với t 1: (3*1)

 2 ( )1

+) Với n  : 1 f x1( )e x  1 x  f1'( )x e x  với 1 0   và x 0 f '( )x 0 khi x  0

 hàm số f x1( )đồng biến với  x 0 f x1( ) f1(0)0 Vậy (*) đúng với n  1

+) Giả sử (*) đúng với n hay k f x  k( ) 0

+) Ta cần chứng minh (*) đúng với nk hay 1

2 '

k x

Theo phương pháp quy nạp

hay ln 1 x x 0 với   (đpcm) x 0

 

 với   x 0 Xét hàm số: ( ) ln( 1) 2

hay ln( 1) 2

2

x x

x

 

 với  x 0 (đpcm)

x x

x x

Xét hàm số: ( )f x lnx luôn đồng biến với   x 0

Khi đó với , ,a b c 0 ta luôn có:

Xét hàm số: f x ( ) 2x luôn đồng biến với x  

Khi đó với , ,a b cR ta luôn có:

Cộng 2 vế của (*) với 2a ab.2bc.2c ta được: 3a.2ab.2bc.2ca b c 2a2b2c (đpcm)

Ví dụ 15: Cho ( ) 4

x x

Ví dụ 16: Cho , ,a b c  thỏa mãn: 1 a b b c c    a  a b c  32 Chứng minh rằng:

log log log 3

2

Giải:

Với hai số ,x y  và 1 z  ta luôn có: 0 logx ylogx z yz và dấu "" xảy ra khi : z  hoặc x0  y (*)

Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh ở Ví dụ 4 – ý 3)

Áp dụng (*) ta có: logaa b loga c a b c  0loga b aloga b c  a c 

Tương tự ta có: logb c bloga b c  a b 

3 8) 53

3log

4 và 34

2log

log 2 và log0,20, 34 13) log 809 và log 52 14) log 163 và log 72916

Bài 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 4 1

2

1log log 53

 B 6 4 0,7

14 7 3log log log



Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) log log log 3

4

b c a c a b a b c với a b c, ,  2; 2

2) log 1 44  alog92a9a với a  0

3) log 1 log 1 log 1 6

ab  bc  ca 

1, , ;1

x y

1

x y

2 3

x y

2log log

5

x y

Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )e x22x trên đoạn [0;3] 2) ( )f x ln(xe) trên [0; ]e

3) 1

2

( ) log ( 1)

f x  x trên đoạn [1;3] 4) f x( )xex trên đoạn [0; 2]

5) f x( )x e2 x trên đoạn [ 1; 2] 6) f x( )e x x( 22x2) trên đoạn [1; 4]

7) f x( )(x1)e x trên đoạn [ 1;1] 8) ( )f x xlnx trên đoạn 1;

Mọi ý kiến và đóng góp các bạn gửi về theo email: giaidaptoancap3@yahoo.com

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU !