Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?. Phương trình mặt cầu đường kính ABA[r]

Cho mặt cầu S I R và mặt phẳng  ;   P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P

R I

H P

d

r I' α

R I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính

và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Cho mặt cầu S I R và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó : ; 

tại hai điểm phân biệt

Cho điểm I cố định và một số thực dương R Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi

là mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: S I R ;   S I R ;   M IM/ R

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt

+ Bán kính 'R  R2 II'2  R2 d I  ;  2

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng  là tiếp diện của (S)  d I ;   R.

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M x y z 0 0; ;0 0



R I

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( ) : S x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , a b c d ( a2b2c2 d  )0

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A3;1;0 , 5;5;0 B  và tâm I thuộc trục Ox

a) Cách 1: Gọi I x y z là tâm mặt cầu (S) cần tìm. ; ; 

Theo giả thiết:

Vậy I0;7;5 và R 26 Vậy (S): x2y 72z 52 26.

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng

x t y

Gọi I t ; 1; t  là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:  ,    ,   1 5 1 5 3

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P)

và  sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20

Gọi It t; 2 1; t2d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).:

Theo giả thiết : R d I P ;  2r2  4 9  13

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u2;1; 2 và P1; 1;1 d

(S) có tâm I2; 2; 2 , bán kính R2 3 Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp

;

3

d I P  R  R 

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax by cz  0 a2b2c2 0 *  

Do (P) đi qua A, suy ra: 4 a4b 0 ba

c Theo (*), suy ra  P x y z:   0 hoặc x y z  0.

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng

(P).

Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): r R2 d I P ;  2

Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( ) : S x2y2z2 2x 3 0 cắt mặt phẳng (P):

* Đường thẳng d qua I1;0;0 và vuông góc với (P) nên nhận nP 1;0;0 làm 1 vectơ

0 2;0;00

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S)  d I ;   R.

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài tập 1: Cho đường thẳng  : 1 2

Bài tập 9: Cho mặt cầu( ) :S x2y2z2 4x 2y 6z 5 0 Viết phương trình tiếp tuyến

của mặt cầu (S) qua A0;0;5 biết:

a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u1; 2; 2.

R H

Đường thẳng d qua A0;0;5và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ

phương nP 3; 2; 2 , có phương trình d:

32

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với  và 1  đồng 2

thời tiếp xúc với (S).

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2 x y 2z 7 0, 2 x y 2z17 0

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S x: 2y2z22x 4y 6z 5 0, biết tiếp diện:

a) qua M1;1;1

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y 2z1 0 .

b) vuông góc với đường thẳng

Do   tiếp xúc với (S)    

63

123



m m

* Với m6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y 2z 6 0.

* Với m12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y 2z12 0.

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud 2;1; 2 

Do mặt phẳng    d nên   nhận ud 2;1; 2  làm một vectơ pháp tuyến

Suy ra mặt phẳng   có dạng : 2x y  2z m 0

Do   tiếp xúc với (S)    

36

153

m m

* Với m3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y 2z 3 0.

* Với m15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y 2z15 0.

Câu 19. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M1;0;1 ,  N1;0;0 ,  P2;1;0 và Q1;1;1

bằng:

A

3

3.2

Câu 20. Cho mặt cầu  S : x2y2z2 4 0 và 4 điểm M1; 2;0 ,  N0;1;0 ,  P1;1;1,

1; 1;2 

Q Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu

 S ?

A 2 điểm B 4 điểm C 1 điểm D 3 điểm

Câu 21. Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3  và tiếp xúc với mặt phẳng

C.  S : x12y12z2 65 D.  S : x12y12(z2)2 65.

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A  , (0;1;6)B , (2;0; 1)C  , (4;1;0)D Khi đó mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A.x2 y2 z2 4x2y 6z 3 0. B.x2y2z24x 2y6z 3 0.

C.x2y2z2 2x y  3z 3 0. D.x2y2z22x y 3z 3 0.

Câu 28. Cho ba điểm A2;0;1 , B1;0;0 , C1;1;1 và mặt phẳng  P x y z:    2 0

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm , ,A B C và có tâm thuộc mặt phẳng  P

nhất tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1; 1;1 

Câu 34. Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu tâm I1; 3; 2  tại điểm M7; 1;5  có

phương trình là:

A 6x2y3z55 0. B 3x y z   22 0.

C 6x2y3z 55 0. D 3x y z  22 0.

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 và mặt phẳng

( ) : 4 x3y12z10 0 Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( ) cóphương trình là:

Câu 37. Cho 4 điềm A3; 2; 2 ,    B3;2;0 ,  C0;2;1 và D  1;1; 2 Mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với mặt phẳng (BCD có phương trình là:)

Câu 40. Cho hai mặt phẳng  P ,  Q có phương trình  P x:  2y z 1 0 và

 Q : 2x y z    Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng 3 0  P và tiếp xúc với

mặt phẳng  Q tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng Oxy và có

hoành độ x M 1, có phương trình là:

A x 212y 52z102 600 B x192y152z102 600

C x 212 y 52z102 100 D x212y52z102 600

Câu 41. Cho hai điểm M1;0; 4, N1;1; 2 và mặt cầu  S x: 2y2z2 2x2y 2 0.

Mặt phẳng  P qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S có phương trình:

Câu 44. Cho điểm (1;3;2)A , đường thẳng

đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

Câu 47. Cho mặt cầu  S x: 2y2z2  2x4y2z 3 0 và mặt phẳng

 P x y:   2z 4 0 Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S

tại A3; 1;1  và song song với mặt phẳng  P là:

A.

3 4

1 6 1

Câu 48. Cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng ( ) : 6P x3y 2z24 0 , H là hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích

784 và tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt

cầu là:

A.x 82 y 82z12 196 B.x82 y82 z12 196

C.x162y42z 72 196 D.x162 y 42z72 196

Câu 49. Cho mặt phẳng  P : 2x y z   5 0 và các điểm A0;0; 4 ,  B2;0;0

Phương trình mặt cầu đi qua , , O A B và tiếp xúc với mặt phẳng  P là:

A.x12y12z 22 6 B.x12y12z22 6

C.x12 y12z 22 6 D.x12y12z22 6

Câu 50. Cho mặt phẳng  P x: 2y 2z 2 0 và điểm A2; 3;0  Gọi B là điểm

thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng  P có bán

kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A.0;1;0  B.0; 4;0   C.0;2;0 hoặc 0; 4;0   D.0;2;0 

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x3y z  2 0, ( ) : 2Q x y z   2 0 Phương trình

mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P tại điểm A 1; 1;1 và có tâm thuộcmặt phẳng ( )Q là:

Câu 54. Cho đường thẳng

x 6 2 y 3 2 z 2 1 2 3

D x 6 2 y 3 2 z 2 1 2 3

Câu 66. Phương trình mặt cầu có tâm I4;6; 1  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B

sao cho tam giác IAB vuông là:

A.x 42y 62z12 26 B x 42y 62z12 74

C. x 42y 62z12 34 D.x 42y 62z12 104

Câu 67. Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3;0

và cắt trục Oz tại hai điểm A,

B sao cho tam giác IAB đều là:

A.x 3 2 y 32z2 8

B.x 3 2 y 32 z2 9

C x 3 2 y 32z2 9

D x 3 2 y 32z2 8

Câu 68. Phương trình mặt cầu có tâm I3;6; 4  và cắt trục Oz tại hai điểm A, B

sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6 5 là:

A x 32y 62z42 49 B.x 32y 62z42 45

C. x 32 y 62z42 36 D.x 32y 62z42 54

Câu 69. Mặt cầu (S) có tâm I2;1; 1  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam

giác IAB vuông Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

A. 2;1;1  B 2;1;0  C. 2;0;0  D 1;0;0 

Câu 70. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I1; 3;0  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao

cho tam giác IAB đều Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

C. x12y 72z 52 2016 D.x12y 72z 52 2019.

Câu 73. Cho các điểm A1;3;1 và B3; 2; 2 Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm

thuộc trục Oz có đường kính là:

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;2;1 và B0;1;1

Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

z Phương trình mặt cầu có đường kính là

đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

Câu 80. Cho hai đường thẳng

2:4

mặt cầu (S) bằng:

A

1169

873

1169

967.2

Câu 82. Cho các điểm A2; 4; 1  và B0; 2;1  và đường thẳng

là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A x12y22z32 9 B x12y 22z32 9

C x12y22z32 9 D x12y 22z32 9

Câu 88. Cho mặt cầu  S : x12y12z 22 4 Phương trình mặt cầu nào

sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

3.2

A 2 điểm B 4 điểm C 1 điểm D 3 điểm

Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu  S , ta

thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.

 Trung điểm của đoạn thẳng AB là I2;4;1, AB  2222 ( 2)2 2 3

 Mặt cầu đường kính AB có tâm I2;4;1 , bán kính  2  3

AB R

 Vậy phương trình của mặt cầu là: (x 2)2(y 4)2(z1)2 3.

Lưu ý : Để làm được bài này học sinh phải nhớ được phương trình tổng

quát của mặt phẳng Oxy và loại ngay được đáp án D

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A  , (0;1;6)B , (2;0; 1)C  , (4;1;0)D Khi đó mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A.x2 y2 z2 4x2y 6z 3 0. B.x2y2z24x 2y6z 3 0.

C.x2y2z2 2x y  3z 3 0. D.x2y2z22x y 3z 3 0.

Hướng dẫn giải:

 Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2y2z2 2Ax 2By 2Cz D 0, ta có :(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0 (1)

(0;1;6) ( ) 37 2 12 0 (2)(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0 (3)(4;1;0) ( ) 17 8 2 0 (4)

Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ

phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)

Câu 28. Cho ba điểm A2;0;1 , B1;0;0 , C1;1;1 và mặt phẳng  P x y z:    2 0

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm , ,A B C và có tâm thuộc mặt phẳng  P

Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay

thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình

mặt phẳng  P để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng  P

Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm I1; 2;3  và tiếp xúc với trục Oy là:

nhất tiếp xúc với  P và đi qua điểm A1; 1;1  là:

 Vì mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S tại điểm M nên mặt phẳng  P

qua M7; 1;5  và có vectơ pháp tuyến  6;2;3

đó để tìm ra đáp án của bài này ta có thể làm như sau:

B1: Thay tọa độ M vào các đáp án để loại ra mặt phẳng không chứa M

B2: Tính IM và d I P và kết luận  ;  

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 và mặt phẳng

( ) : 4 x3y12z10 0 Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( ) cóphương trình là:

D ( thỏa điều kiện)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z78 0 hoặc

( ) : 4 x3y12z 26 0

Lựa chọn đáp án D.

Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự

đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 36. Cho mặt cầu ( ) :S x 22y12z2 14 Mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A và

B ( z A 0) Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của ( )S tại B :

A 2x y  3z 9 0. B 2x y  3z 9 0.

C x 2y z  3 0. D x 2y z  3 0.

Hướng dẫn giải:

Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A0;0; 3  và B0;0;3

Gọi ( ) là tiếp diện của mặt cầu ( )S tại B

 Mặt phẳng ( ) qua B0;0;3 và có vectơ pháp tuyến    2;1;3



n IB

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2 x y  3z 9 0.

Lựa chọn đáp án A.

Câu 37. Cho 4 điềm A3; 2; 2 ,    B3;2;0 ,  C0;2;1 và D  1;1; 2 Mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với mặt phẳng (BCD có phương trình là:)

a là vectơ chỉ phương của d.

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của AB HA3

Câu 40. Cho hai mặt phẳng  P ,  Q có phương trình  P x:  2y z 1 0 và

 Q : 2x y z    Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng 3 0  P và tiếp xúc với

mặt phẳng  Q tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng Oxy và có

hoành độ x M 1, có phương trình là:

A x 212y 52z102 600 B x192y152z102 600

C x 212 y 52z102 100 D x212y52z102 600

Hướng dẫn giải:

 Vì MOxy và có hoành độ bằng 1 nên  M1; ;0y 

 Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Q nên M Q  M1; 5;0 

 Gọi I a b c là tâm của mặt cầu ( ) ; ;  S cần tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp  Q tại M nên IM  Q

Mặt phẳng  Q có vectơ pháp tuyến n2;1; 1 

Câu 41. Cho hai điểm M1;0; 4, N1;1; 2 và mặt cầu  S x: 2y2z2 2x2y 2 0.

Mặt phẳng  P qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S có phương trình:

Câu 42. Cho hai điểm A1; 2;3 ,   B1;0;1

và mặt phẳng  P x y z:    4 0.Phương trình mặt cầu ( )S có bán kính bằng 6

 Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng  d I P ; 1  d I P ; 2 

đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

Câu 47. Cho mặt cầu  S x: 2y2z2  2x4y2z 3 0 và mặt phẳng

 P x y:   2z 4 0 Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S

tại A3; 1;1  và song song với mặt phẳng  P là:

A.

3 4

1 6 1

Câu 48. Cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng ( ) : 6P x3y 2z24 0 , H là hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích

784 và tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt

 Gọi ,I R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 4R2 784  R14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H nên IH ( )P  I d 

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2 t  t  t , với  t1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Câu 49. Cho mặt phẳng  P : 2x y z   5 0 và các điểm A0;0; 4 ,  B2;0;0

Phương trình mặt cầu đi qua , , O A B và tiếp xúc với mặt phẳng  P là:

Câu 50. Cho mặt phẳng  P x: 2y 2z 2 0 và điểm A2; 3;0  Gọi B là điểm

thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng  P có bán

kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A.0;1;0  B.0; 4;0   C.0;2;0 hoặc 0; 4;0   D.0;2;0 

Hướng dẫn giải

 Vì B thuộc tia Oy nên B0; b;0 (với b0)

 Bán kính của mặt cầu tâm B , tiếp xúc với  P là    

2 2,