Ham so loi

Định lý (tồn tại điểm cực biên là cực đại): Nếu hàm lồi đạt giá trị cực đại trên tập không chứa đường thẳng thì trong các cực đại có một điểm cực biên của3. Chứng minh: Xét điểm là [r]

Giả sử là hai không gian Banach và là ánh xạ tuyến tính.

Trong đó: là hai không gian đối ngẫu của

Chiều suy ra hiển nhiên,

Chiều ngược lại dùng nguyên lý đồ thị đóng

Bài 1 : Chứng minh rằng không gian metric x đầy đủ nếu và chỉ nếu và là

các không gian metric đầy đủ

Bài 2 : Giả sử là hai dãy cauchy trong không gian metric Chứng

Bài 1: dùng định nghĩa thế nào là kgmetric đầy đủ, sử dụng cái metric đồ thị

oánh giá qua lại các metric

Bài 2: Sử dụng tính đầy đủ của , mình chỉ cần kiểm tra dãy là dãy Cauchy

Chứng minh rằng toán tử tuyến tính sau liên tục và tính chuẩn của nó :

Liên tục thì chắc đơn giản rồi , còn khoản tính chuẩn.

Xét hàm hằng thì ta thấy ngay

Archive for the ‘Giải tích lồi’ Category

Hàm lồi và hàm lồi suy rộng - Phần 1: Hàm lồi, hàm lồi chặt, hàm lồi mạnh

Posted by VnMaTh.CoM on 14:06 in Maths , Toán cao cấp 0 comments

Hàm lồi và tập lồi đã được nghiêncứu từ lâu có thể kể ra ở đây như Holder, Jensen, Minkowski Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực phát triển nhất của toán học Bên cạnh đó, một số hàm không lồi theo nghĩađầy đủ nhưng cũng chia sẻ một vài tính chất nào đó của hàm lồi Chúng được gọi là các hàm lồi suy rộng (generalized convex function) Có lẽ người đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng là Finetti (1949) - người đã đưa ra khái niệm tựa lồi (quasiconvex) Trong series này info@123doc.org sẽ đưa ra một bức tranh toàn cảnh về các hàm lồi và hàm lồi suy rộng.

Ta giả thiết C là tập lồi khác rỗng trong không gian Rn, f là hàm số thực xác định trên tập lồi C.Hàm được gọi là lồi nếu với mọi x, y thuộc C và \lambda thuộc khoảng (0,1) ta có

Nếu bất đẳng thức trên là chặt với mọi x khác y, ta nói f là lồi chặt trên C

Một định nghĩa tương đương, thể hiện ý nghĩa hình học của hàm lồi là

lồi nếu tập

gọi là epigraph (trên đồ thị) của là tập lồi trong (epi - có nghĩa là trên, phía trên mà).Hàm f gọi là lồi mạnh nếu tồn tại số \alpha dương sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y thuộc C và \lambda thuộc khoảng [0, 1]

Rõ ràng lồi mạnh suy ra lồi chặt và lồi chặt suy ra lồi Chẳng hạn hàm y=x 2 là lồi mạnh, do đó lồi

chặt và lồi Điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ, hàm affine y=ax+b lồi nhưng không lồi chặt, hàm y=1/x lồi chặt nhưng không lồi mạnh

Hàm lồi và hàm lồi suy rộng - Phần 2: Hàm tựa lồi và hàm tựa lồi chặt

Posted by VnMaTh.CoM on 08:01 in Maths , Toán cao cấp 0 comments

Hàm f được gọi là tựa lồi nếu với mọi x, y thuộc C, \lambda thuộc khoảng [0,1] ta có

Hàm f được gọi là tựa lồi chặt nếu với mọi x, y thuộc C, x khác y, \lambda thuộc khoảng (0,1) ta có

Kết hợp với bài đã đăng: Phần 1: Hàm lồi, hàm lồi chặt, hàm lồi mạnh ta có thêm một số kết quả sau:

Một hàm tựa lồi chặt thì tựa lồi Hàm tựa lồi thì chưa chắc tựa lồi chặt, ví dụ y=1, hay y=|x|/x, nếu x khác 0 và y=0 nếu x=0

Nếu hàm f lồi thì nó tựa lồi Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn, hàm số cho bởi công thức

sau: f(x)=x nếu x thuộc đoạn [0,1] và f(x)= 1 nếu x >1.

Hàm lồi không suy ra hàm tựa lồi chặt, phản thí dụ y=const Một câu hỏi khác là hàm tựa lồi chặt có suy ra tính lồi và lồi chặt không? Câu trả lời cũng phủ định cụ thể là căn bậc hai của x(

Một hàm f được gọi là giả lồi nếu với mọi x, y thuộc C, f(x)bé hơn f(y) tồn tại (beta) dương sao cho

Một hàm f được gọi là giả lồi chặt nếu với mọi x, y thuộc C,x khác y, f(x)<=f(y) tồn tại

dương sao cho

Rõ ràng hàm lồi thì giả lồi, lồi chặt thì giả lồi chặt Nhưng hàm giả lồi thì không lồi Chẳng hạn, y=arctan(x) Hàm lồi không suy ra giả lồi chặt, đó là y=1

Hàm giả lồi không suy ra giả lồi chặt, ví dụ y=0 nếu x khác 0 và =1 nếu x=0 Cũng với ví dụ này

ta chứng tỏ hàm giả lồi không suy ra hàm tựa lồi Hàm tựa lồi cũng không suy ra hàm giả lồi Điều này thể hiện qua hàm bậc thang

Hàm lồi (1) – Định nghĩa và tính chất cơ bản

Posted by tqlong on Tháng Hai 5, 2008

Định nghĩa (hàm lồi): Hàm trên lồi nếu

 Miền xác định lồi

Định nghĩa tương đương: lồi nếu tập

gọi là epigraph của là tập lồi trong (epi – có nghĩa là bên trên, phía trên)

 Nếu : hàm affine , chuẩn

Định lý (Bất đẳng thức Jensen): Nếu lồi và

Chứng minh: Chứng minh bằng quy nạp theo

Ví dụ: Khoảng cách Kullback-Leibler giữa hai phân bố

Chứng minh:

Chứng minh trên áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi

Định nghĩa (Mở rộng hàm lồi trên toàn ):

Lưu ý: tính chất (*) vẫn giữ nguyên nếu áp dụng các luật tính toán sau với giá trị





Like this:

Đăng trong Gi ả i tích l ồ | Tagged: hàm l ồ, Jensen, Kullback-Leibler | Leave a Comment »

Posted by tqlong on Tháng Hai 4, 2008

Định lý Caratheodory: Nếu thì mọi điểm có thể biểu diễn bằng tổ hợplồi của không quá điểm thuộc

là tổ hợp lồi có số véctơ nhỏ nhất có thể được của Ta sẽ chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại, , các vectơ không thể độc lập affine vì , như vậy, các véctơ không thể độc lập tuyến tính Tức là tồn tại bộ số

sao cho

Nếu đặt , ta có

Như vậy, có thể viết lại như sau

Rõ ràng, với đủ nhỏ, biểu thức trên vẫn là tổ hợp lồi của Tuy nhiên nếu ta chọn

thì số hệ số dương trong tổ hợp lồi sẽ ít hơn số hệ số dương trong tổ hợp ban đầu, mâu thuẫn với giả thiết là nhỏ nhất có thể được (Lưu ý: chắc chắn tồn tại vì

)

Định lý Radon: Một tập có ít nhất điểm trong có thể chia thành hai tập con có bao lồi giao nhau

Định lý Helley Nếu là các tập lồi trong sao cho giao của tập bất kì đều khác rỗng thì giao của tất cả các tập cũng khác rỗng.

Chứng minh: (Quy nạp theo )

Cơ sở: Định lý đúng với mọi

Quy nạp: Giả sử định lý đúng với tập lồi Xét tập sao chotập bất kì giao nhau khác rỗng

Đặt Theo giả thiết quy nạp, khác rỗng, tức là tồn tại Ta có thể phân chia tập thành hai tập có bao lồi giao nhau (theo định lý Radon) Không mất tính tổng quát, giả sử tồn tại sao cho

Ta sẽ chứng minh với mọi Thật vậy, nếu , ta có

, vì thế

.Ngược lại, nếu , ta có , vì thế

để phân tích điều kiện của nghiệm tối ưu

Hàm lồi (2) – Biến đổi giữ nguyên tính lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 5, 2008

Để chứng minh tính lồi của một hàm, ngoài việc dùng định nghĩa, ta có thể dựa vào một số biến đổi giữ nguyên tính lồi để xây dựng nên hàm lồi mới hoặc chứng minh tính lồi của hàm

Tổ hợp tuyến tính với hệ số dương: lồi nếu lồi và với mọi

Chứng minh:

(i) Hiển nhiên, ta có lồi nếu lồi và

(ii) Cũng dễ thấy lồi nếu lồi

(iii) Từ (i) và (ii) suy ra lồi nếu lồi và với mọi

Lấy supremum: lồi nếu lồi với mọi

Tổ hợp hàm: lồi, lồi trên và đồng biến thì

lồi

và

Ta có

.Bất đẳng thức trên đúng với mọi , vậy ta có

Đăng trong Gi ả i tích l ồ | Tagged: phân cách, siêu ph ẳ ng , siêu ph ẳ ng đ ỡ , t ậ p l ồ i , đ ỉ nh , đi ể m

c ự c biên | Leave a Comment »

« Nh ữ ng bài vi ế t tr ướ c

Bài kế »

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định nghĩa (điểm giới hạn): Điểm là điểm giới hạn của tập nếu có dãy hội

Định nghĩa (bao đóng): Bao đóng của tập có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:

Là giao của các tập đóng chứa

Là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của

Kí hiệu bao đóng của là

Định nghĩa (điểm trong): Điểm là điểm trong của tập nếu có hình cầu

.Định nghĩa (tập mở): Tập là tập mở nếu tất cả các điểm đều là điểm trong

Định nghĩa (phần trong): Phần trong của tập có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:

Là hợp của các tập mở chứa trong

Là tập hợp tất cả các điểm trong của

Kí hiệu phần trong của là

Nhận xét:

Rõ ràng ta có quan hệ

Biên của là tập Biên luôn là tập đóng

Nếu thì vì không thể chứa bất cứ hình cầu nào do Định lý (tính lồi của bao đóng và phần trong): Nếu lồi thì và lồi

, tức là là điểm trong của Vậy lồi

Định lý (tính trù mật của phần trong của tập lồi): Nếu lồi và thì

trù mật trong , tức là mọi điểm đều là điểm giới hạn của

Chứng minh (1): tức là có dãy Xét tập

Nghĩa là bắt đầu từ nào đó, ,

Định nghĩa (phần trong tương đối): Phần trong tương đối của là tập

Kí hiệu phần trong tương đối của là

Biên tương đối của là tập

Định lý (phần trong tương đối trù mật trong bao đóng): Nếu là tập lồi ta có

và lồi

trù mật trong , tức là mọi điểm đều là điểm giới hạn của

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh , các kết luận khác chứng minh tương tự như định lý trên

Nếu , suy ra trong phải có véctơ độc lập affine sao cho Các véctơ này tạo thành các đỉnh của một đơn hình nằm trong Ta có

Rõ ràng, là tập mở (tương đối với ) nằm trong , nghĩa là

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: bao đóng , biên , phần trong , tôpô , tập lồi | Leave a Comment »

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định lý: Các phép toán sau đây giữ nguyên tính lồi

1 Phép giao: Nếu lồi thì lồi

4 Biến đổi affine: Nếu lồi thì tập lồi

5 Biến đổi ngược của biến đổi affine: Nếu lồi thì tập lồi

Chứng minh (1): hiển nhiên vì giao của các tập chứa đoạn thẳng nếu đoạn thẳng này nằm trong tất cả các tập.

Chứng minh (2): hiển nhiên (dùng định nghĩa).

Chứng minh (3): hiển nhiên (dùng định nghĩa).

Định lý: Đối với các nón lồi ta có các phép toán sau đây

1 Giao của các nón lồi là nón lồi

là nón lồi nếu là nón lồi

2 Tổ hợp tuyến tính các nón lồi là nón lồi

là nón lồi nếu là nón lồi

3 Tích Đề-các: Nếu là nón lồi thì

là nón lồi

4 Biến đổi affine: Nếu là nón lồi thì tập là nón lồi

5 Biến đổi ngược của biến đổi affine: Nếu là nón lồi thì tập

là nón lồi

nón thì nó thuộc vào giao của các nón

nằm trong tổ hợp nón của các nón lồi rõ ràng cũng nằm trong tổ hợp nón của các nón lồi Để thấy tổ hợp tuyến tính của các nón lồi cũng là nón lồi, lưu ý rằng nếu là nón lồi thì cũng lànón lồi

Chứng minh (3),(4),(5): Tương tự như chứng minh (1),(2).

« Nh ữ ng bài vi ế t tr ướ c

Bài kế »

Tập lồi (2) – Tổ hợp lồi, bao lồi, bao affine, chiều, đơn hình,

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định nghĩa (tổ hợp lồi): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp lồi của nếu

Định lý: Tập lồi nếu và chỉ nếu nó đóng với phép toán tổ hợp lồi.

Chứng minh:

“ “: Ta sẽ chứng minh tổ hợp lồi của các điểm trong tập lồi vẫn phải thuộc tập lồi đó Thật vậy,quy nạp theo :

Cơ sở: rõ ràng định lý đúng với

Quy nạp: Giả sử định lý đúng với Xét tổ hợp lồi của điểm

Rõ ràng tổ hợp này thuộc vào tập lồi vì theo giả thiết quy nạp

“ “: hiển nhiên nếu ta xét

Định lý (giao của tập lồi): Giao của họ bất kì các tập lồi là tập lồi

Chứng minh: hiển nhiên.

Định nghĩa (bao lồi): Bao lồi của một tập có thể định nghĩa theo các cách tương đương sau:

1 Là giao của tất cả các tập lồi chứa

2 Là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc

Kí hiệu bao lồi của là

Rõ ràng đóng với phép toán tổ hợp lồi, nên lồi và , suy ra

Ngược lại, nếu lồi và thì phải chứa tất cả các tổ hợp lồi của (vì đóng với phép toán tổ hợp lồi), suy ra với mọi , tức là Kết luận

Tương tự như vậy, ta cũng có các định nghĩa về tổ hợp affine và bao affine

Định nghĩa (tổ hợp affine): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp affine của

nếu

Định lý: Tập là tập affine nếu và chỉ nếu nó đóng với phép toán tổ hợp affine.

Định nghĩa (bao affine): Bao affine của một tập có thể định nghĩa theo các cách tương đương sau:

1 Là giao của tất cả các tập affine chứa

2 Là tập tất cả các tổ hợp affine của các điểm thuộc

Kí hiệu bao affine của là

Định nghĩa (số chiều của tập affine): Số chiều của tập affine có thể định nghĩa bằng các cách

tương đương sau:

1 Là số chiều của không gian con gắn với , tức là

2 Là số nhỏ nhất để tồn tại véctơ sao cho Các véctơ này gọi là cơ sở affine của

Kí hiệu số chiều của là

Chứng minh: Đặt và là cơ sở của Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, nếu , ta có thể viết dưới dạng:

,

tức là là tổ hợp affine của các véctơ Ngược lại, xét một tổ hợp affine bất kì của

Để chứng minh , ta sẽ chứng minh Thật vậy, vì

nên với mọi véctơ , ta có với Suy ra

vì Tức là là tổ hợp tuyến tính của Vậy

Suy ra Kết luận (lưu ý: có thể chứng minh)

Định lý (cơ sở của tập affine): Nếu là cơ sở affine của tập affine thì mọi véctơ chỉ có thể biểu diễn bằng một tổ hợp affine duy nhất của cơ sở này và ta nói các

véctơ này độc lập affine với nhau.

Chứng minh: Vì là số chiều của nên theo định lý trên, là số chiều của không gian con

sở của Với mọi véctơ , ta có với Véctơ chỉ có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính duy nhất của cơ sở của nên ta suy ra chỉ có một biểu diễn affine duy nhấtcủa trên cơ sở afffine của

Định nghĩa (số chiều của tập bất kì): Số chiều của tập bất kì là số chiều của bao affine của

tập đó

Định nghĩa (đơn hình): Đơn hình với các đỉnh độc lập affine là bao lồi của các đỉnh này.

Ví dụ:

1 Trong , điểm, đoạn thẳng, tam giác là các đơn hình

2 Trong với hệ cơ sở chuẩn Đơn hình có đỉnh là các véc tơ trong hệ cơ sơ

3 Trong , đơn hình có đỉnh chính là tập

Định lý: Mọi điểm trong đơn hình chỉ có thể biểu diễn bằng một tổ hợp lồi duy nhất các đỉnh của nó

cũng là tổ hợp affine duy nhất của điểm đó trong bao affine

3 Tập các ma trận xác định không âm là nón lồi

Định nghĩa (tổ hợp nón): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp nón của nếu

Định lý: Tập là nón lồi nếu và chỉ nếu nó đóng với phép toán tổ hợp nón.

Chứng minh:

“ “: Hiển nhiên, vì là nón lồi và tổ hợp lồi cũng là tổ hợp nón nên đóng với phép toán tổ hợp lồi.

“ “: Nếu là nón lồi, xét một tổ hợp nón bất kì của Rõ ràng

Định nghĩa (bao nón): Bao nón của tập có thể định nghĩa theo các cách tương đương sau

1 Là giao của tất cả các nón lồi chứa

2 Là tập hợp của tất cả các tổ hợp nón của các điểm thuộc

Kí hiệu bao nón của là

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: bao affine, bao lồi, bao nón, chiều, nón lồi, tập lồi, Tổ hợp lồi,

đơn hình | Leave a Comment »

Posted by tqlong on Tháng Hai 10, 2008

Định nghĩa (tập lồi): Tập gọi là tập lồi nếu

Nghĩa là nếu thì đoạn thẳng

Ví dụ:

1 là các tập lồi

2 là tập lồi, nửa không gian ngăn cách bởi đường thẳng

Định nghĩa (tập affine): Tập gọi là tập affine nếu

Nghĩa là nếu thì đường thẳng đi qua cũng nằm trong

Định lý (Tính chất của tập affine):

1 Tập affine là tập lồi

2 Nếu affine và , tập là không gian con của

, đồng thời là duy nhất đối với không phụ thuộc vào Ta cũng viết

3 Tập là tập affine nếu và chỉ nếu sao cho

Định nghĩa (hình cầu): Hình cầu tâm , bán kính trong là tập với

là một chuẩn nào đó trong

Nhận xét: Dễ dàng chứng minh được hình cầu là một tập đóng, lồi và giới nội.

Định nghĩa (lân cận ): Lân cận của tập là tập

Định lý: Lân cận của tập lồi là tập lồi.

Chứng minh: Xét , nghĩa là tồn tại sao cho Giả

sử Ta sẽ chứng minh khoảng cách từ đến

không lớn hơn Thật vậy

Posted by tqlong on Tháng Hai 9, 2008

Định lý: Nếu hàm lồi đạt cực đại tại thì là hằng số trên

nên với đủ nhỏ, ta có Hiển nhiên ta có

tức là nằm bên trong đoạn thẳng Vậy

Định lý (tồn tại điểm cực biên là cực đại): Nếu hàm lồi đạt giá trị cực đại trên tập

không chứa đường thẳng thì trong các cực đại có một điểm cực biên của

ta có điều phải chứng minh Nếu không phải là điểm cực biên, , ta xét 2 trường hợp

1 , theo định lý trên, là hằng số trên , tức là cũng đạt cực đại trên một điểm cực biên nào đó của (điểm này luôn tồn tại do là tập lồi không chứa đường thẳng)

2 Xét siêu phẳng qua đỡ lấy Xét tập Rõ ràng cũng là cực đại của trên đồng thời và vì

Áp dụng lập luận ở (1) và (2) ta lại giảm được , đến khi, tức là , vô lý vì Như vậy đến một bước nào đó ta phải có

và ta có kết luận ở bước (1)

Định lý (hàm lồi bị chặn trên đa diện lồi có cực đại): Nếu hàm lồi bị chặn trên trong đa diện

lồi thì đạt cực đại trên

Chứng minh: Theo định lý về cấu trúc của đa diện lồi, ta có

trong đó, là hai tập hữu hạn

là hàm không tăng với mọi

lớn hơn hàm tuyến tính của với hệ số dương, nói cách khác không bị chặn trên, mâu thuẫn với giả thiết

Thật vậy, với mọi , ta có thể viết dưới dạng

.Tức là, cực đại của trên tập hữu hạn cũng là cực đại của trên

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: cực đại, hàm lồi | Leave a Comment »

Hàm lồi (4) – Điều kiện của cực tiểu

Posted by tqlong on Tháng Hai 7, 2008

Định lý (xấp xỉ Taylor là cận dưới của hàm lồi): Xấp xỉ Taylor bậc 1 tại mà có đạo hàm không lớn hơn giá trị thực của hàm lồi Tức là với mọi , ta có

Định lý (tính lồi của tập các cực tiểu): Tập các cực tiểu của hàm lồi là tập lồi.

Chứng minh: Định lý là hệ quả của bổ đề dưới đây.

Bổ đề (tính lồi của tập có giá trị hàm bị chặn trên): Nếu hàm lồi thì tập

lồi

Định lý (điều kiện lồi chặt): Điều kiện đủ để lồi chặt là ma trận Hessian xác định dương.

Chứng minh: Tương tự như chứng minh lồi khi ma trân Hessian xác định không âm.

Định lý (tính duy nhất của cực tiểu): Nếu hàm lồi chặt thì cực tiểu (nếu tồn tại) là duy nhất.

.Mâu thuẫn vì không thể nhận giá trị nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của nó

Định lý (điều kiện cần và đủ của cực tiểu): Nếu lồi trên tập lồi và có đạo hàm tại , điều kiện cần và đủ để đạt cực tiểu tại là

Chứng minh:

“ “: Nếu là cực tiểu của hàm trên tập lồi , với mọi , ta có

với mọi Cho , ta có

“ “: Theo định lý về xấp xỉ Taylor bậc 1 của hàm lồi , ta có

3 Nếu lồi và thì là cực tiểu

Định nghĩa (Nón tâm): Xét tập lồi và điểm , nón tâm của tại là tập

,tức là là tập tất cả các hướng mà tia từ theo hướng đó có một điểm thuộc

Điều kiện tương đương của cực tiểu: Điều kiện cần và đủ để là cực tiểu của hàm lồi trên tập lồi có thể viết lại như sau

Nếu đặt là nón trực giao của , tức là

thì điều kiện trên tương đương với

Ví dụ:

1. Nếu (xem định nghĩa phần trong), thì , suy ra Nghĩa là điều kiện cần và đủ để đạt cực tiểu tại một điểm là đạo hàm tại đó bằng

2. Nếu (xem định nghĩa phần trong tương đối), giả sử , trong đó

là không gian con của Rõ ràng Xét , nếu , suy ra

Có thể giải thích như sau: Từ đi theo hướng ta giảm được Nhưng do

, không có hướng nào thuộc ta giảm được , tức là đạt cực tiểu tạitrên tập