Luận văn sư phạm Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng

ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG.... MỞ ĐẦU Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng.. Các điều kiện chính qui đảm bảo ch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Hà nội - 2013 

LỜI CẢM ƠN

  Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận. 

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên 

đã tạo điều kiện tốt nhất  và chỉ bảo tận tình  để em có thể  hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. 

  Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.  

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. 

  Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.  

MỤC LỤC 

MỞ ĐẦU 1 

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   3 

1.1. Tập lồi   3 

1.2. Nón   12 

1.3. Hàm lồi   18 

1.4. Dưới vi phân của hàm lồi   23 

CHƯƠNG 2 ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG  

    31  2.1. Trên đồ thị của các hàm liên hợp 31 

2.2. Công thức dưới vi phân của tổng 34 

2.3. Đặc trưng nghiệm tối ưu 39 

KẾT LUẬN   44 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   45 

MỞ ĐẦU

  Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng. Trong đó công thức dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới  f g X , : ฀ n    là: 

 f g x  f x  g x , x dom f dom g,

khi điều kiện chính qui tại  f  và  g  thỏa mãn. Công thức này là một chìa khóa quan trọng để giải các bài toán tối ưu lồi có ràng buộc. Các điều kiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng. Đây là một điều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫu của các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi. Khi cả hàm  f và hàm  g được thay bằng hàm chỉ của các tập lồi  C  và  D  thì công thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp tuyến của giao: với mỗi x C D N  , C D  x N xC N xD . 

  Trong  những  năm  gần  đây  các  điều  kiện  cho  công  thức  dưới  vi phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2, , 4, 5, 10, 18, 19, 20]). Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính qui này  chính  là  các  điều kiện kiểu  phần trong-điểm  [4, 5].  Mục  đích  của khóa luận này trình bày các điều kiện chính qui yếu hơn các điều kiện kiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa 

ra các điều kiện tối ưu và các nguyên lý đối ngẫu. Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tổng (0. 1) đúng khi Epi f*Epi g* là đóng yếu*, với Epi f  *

là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp  f của hàm f   *

(0.1) 

  Khóa luận được bố cục như sau: 

  Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi.  

Chương 2. Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của các hàm lồi và ứng dụng. Nội dung chính của chương này trình bày các kết quả trong bài báo [7].  

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

  Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu. Tập lồi 

là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối các điểm đó chứa trong tập.  

Định nghĩa 1 2 Một điểm  x được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm 

Bổ đề 1 4 NếuX  ฀n, thì mọi phần tử củaconvX là một tổ hợp lồi của nhiều nhất n  điểm của X 1

Chứng minh Cho x là tổ hợp lồi của m n 1 điểm của X  Ta sẽ chỉ ra rằng m  là giá trị có thể giảm tới một. Nếu j 0 cho một vài  j, thì  ta  có  thể xóa  đi điểm  thứ  jvà  ta  thực  hiện.  Vì vậy, ta  giả sử  mọi 0

(1.1) 

฀ 

dãy  điểmxk  1 yk  là  nằm  trong  X   và  hội  tụ  tới  điểm (1 )

     

Bổ đề 1 6 Giả sử tập X  ฀nlà tập lồi Thì intX   khi và chỉ khiXnằm trong một đa tạp tuyến tính có số chiều nhỏ hơnn

Chứng minh.  Giả  sử  x0X   Xét  hệ  các  vectơ  x x 0  với  mọi 

x X   Giả  sử  m   là  giá  trị  lớn  nhất  của  các  vectơ  độc  lập  tuyến  tính trong hệ này. Khi đó các vectơx x 0với mọi  x X , có thể được diễn tả giống như tổ hợp tuyến tính của m  các vectơ v v1, , ,2 v  Chú ý rằng, m

 1, , ,2 m

lin v v v  là không gian con của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, , ,2 v , ta có thể viết như sau: m

0 1, , ,2 m

X  x lin v v v     Nếu tập  X  có phần trong là khác rỗng, ta có thể chọn  x0intX  Khi đó hình cầu tâm x bao hàm trong 0 X  và ta có thể chọn duy nhất  n  vectơ độc lập tuyến tính v  (theo từ phần trên). Do đó trong trường hợp inày thì m n  Hơn nữa, ta giả sử rằng tập x x x X 0:  

 nằm trong n  vectơ độc lập tuyến tính v v1, , ,2 v  Theo định nghĩa tập lồi của  X  ta có mđược: 

hiệu nó là V x  Rõ ràng, nếu  x V  thì V x x, nhưng hình chiếu luôn luôn được xác định, vì vậy ta có kết quả sau đây: 

Định lí 1 1 Nếu tập V  ฀n khác rỗng, lồi và đóng, khi đó với mọi

n

x฀ tồn tại duy nhất một điểm z V gần nhất với x  

Chứng minh Giả  sử   inf z x z V  :  .  Khi  đó V  là  khác rỗngvà  là  hữu  hạn.  Giả  sử  ta  xét  một  dãy  các  điểm  z Vk sao  cho 

  v 1 z

     , 0     1

(1.2) 

฀ 

 Do tính lồi, tất cả các điểm thuộc V và khoảng cách của chúng tới x không thể nhỏ hơn  z x  Ta có: 

(1.6) 

(1.3) (1.4) 

(1.5) 

฀ 

1.1.2 Các Định lí Tách

Định lí 1 3 Giả sử X  ฀nlà một tập lồi, đóng và giả sử x X Khi đó tồn tại 0 ฀y n và  0 sao cho: ,y v  y v,  với mọi v X Chứng minh: 

  Giả sử z X x , vì X  là tập đóngnên theo Bổ đề 1. 7, ta có: 

x z v z       v XĐặt  y x z  , và ta có y   vì x X  Suy ra  ,y x z 0,     v XKhi đó 

2

y v  y z  y x  y z x  y x  y  Suy ra,  

y v  y z  y x  y z x  y x  , với 2

y

  > 0.  Vậy định lí được chứng minh.  

Định lí 1 4 Giả sử X  ฀n là một tập lồi, đóng và giả sử x X Khi đó tồn tại 0 ฀y n và  0 sao cho: ,y v  y x, với mọi v X

Doy  , k 0 k nên ta coi  y k 1. Do B 0;1  là tập compact trong ฀n nên  yk B 0;1   Suy  ra,  tồn  tại  dãy  con   yk l  yk   sao  cho 

hàm liên tục theo hai biến nên cho  l   ta được  ,y v  y x,

 suy ra điều phải chứng minh.  

Định lí 1 5 Giả sử X và1 X là hai tập lồi trong 2 ฀n Nếu X1X2  , thì tồn tại 0 ฀y n sao cho:

y x  y x , với mọi 1 2

y v   v X  suy ra,  

1 2

y x x   x X x X  Suy ra  y x, 1  y x, 2  với mọi  1 2

1, 2

x X x X   Định lí 1 6 Giả sử X và 1 X là hai tập lồi trong 2 ฀n Và giả sử X bị 1chặn Nếu X1X2  , khi đó tồn tại 0 ฀y n sao cho:

Vậy  y x, 1  y x, 2  với mọi  1 2

1, 2

x X x X  ฀ 

1 2 Nón

1 2 1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1 4 Tập K  ฀n được gọi là nón nếu với mọi  x K  và với mọi  0 ta có x K  Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một nón và vừa là tập lồi.  

  Một  ví  dụ  đơn  giản  của  một  nón  lồi  nằm  trong  ฀nvới  orthant  không âm: 

Bổ đề 1 8 Giả sử K là một nón lồi Nếu x K x1 , 2K, ,xmK và

Bổđề1 9 Giả sử rằng X là một tập lồi Khi đó tập

   : , 0 ,

cone X  x x X  

là một nón lồi

Chứng minh Tập cone X  là một nón, bởi vì mọi phần tử của nó  

d x và  0, ta cũng có d   x cone X  . Để chứng minh nó 

là lồi, ta xét: 

฀ 

1 1 1

  Tasẽ chỉ ra rằng  Xlà một nón lồi. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng với mọi d X  và với mọi m ta có: 

 1 1 2  1 1   2 ,

x d   d  x d   x d X  với mọi  x X và  0,1   

Định nghĩa 1 6 Giả sử  K là một nón trong ฀n. Khi đó, tập 

K  y฀ y x   x K  

được gọi là nón cực của  K   

Ví dụ 1 1 Giả sử K1, ,K  là các các nón nằm trong m ฀n và giả sử 

K K   K  Rõ ràng,  K là một nón. Ta sẽ tính nón cực của nó.   Nếu z K o thì với mọi  1

m

K K  K , bất đẳng thức (1. 7) được thỏa mãn, và do đó z K o. Do đó,  

1 2 2 Tách nón  

  Trong  phần 1. 1. 3 ta xét tách hai tập lồi rời nhau. Rõ ràng, nón lồi cũng bị tách bởi cùng một nguyên tắc nào đó. Theo Định lí 1. 5, nếu K  1

và K  là các nón lồi và 2 K1K2  , thì tồn tại y 0 sao cho: 

1 2 m

K K  K   thì tồn tại i o,

i

y K cácyi không đồng thời bằng0, 1,2, , ,i  m sao cho

1 2 n 0

y  y   y  Chứng minh Giả  sử  ta  xác  định  hai  nón  lồi  trong

   nên  ta  cóC1C2  .  Theo  Định  lí  1.  6  ta  có  thể  tìm 

0  ฀y mn sao cho:  ,y   y z,  với mọi x, ,xvà mọi z C 1.   Đặt yy y1, , ,2 ymta được: 

Bổ đề 1 12 Nếu xintK thì ,y x  , với mọi 00  y Ko  

Chứng minh Giả  sử  ,y x    với  00  y Ko.  Đặt  z x y,vì int

x K với      đủnhỏ  ta  có 0 z K   và  y z    mâu  thuẫn  với , 0

1 o, 2 o, , m o

m

y K y K y K  thì với mọi x K  ta có: 

1 o 2 o o o.

m

K K  K K  

  Ta phải chứng minh bao hàm ngược lại. Chọn  y K ovà xác định nón 

1 2 n 0

d y  y  y    Trực tiếp từ định nghĩa của C  chúng ta thấy rằng d y với số  0.    Nếu  0 và d  thì tồn tại 0 x K 1intK2  intKm. Lấy tích 

vô hướng của x và cả hai vế của (1. 10) ta được: 

1

, , m 0

x y   x y   Tất  cả  các  thành  phần  ở  vế  bên  trái  là  không  âm,  vì  vậy,  x y , 1 0,1, ,

i  m.  Vìxint ,K ii 2, ,m  nên  theo  Bổ  đề  1.  12  ta  cóy i 0,2, ,

i m. Phương trình (1. 9) có y   mâu thuẫn. Do đó 1 0  0.    Chia cả hai vế của (1. 9) cho   và sắp xếp lại ta được: 

1 2 3 Nón pháp tuyến 

(1.9) 

฀ 

Định nghĩa 1 7 Xét tập lồi đóng X  ฀n và một điểm x X  Tập 

X

N x cone X x   được gọi là nón pháp tuyến của  X tại x.  

Bổ đề 1 13 Giả sử X là tập lồi đóng và giả sử x X Khi đó:

cone X x cone X x  cone X x  

Theo giả thiết ta có:  

 1  int  2   int  m   cone X x  cone X x   cone X  x    

Định nghĩa 1 9 Hàm  f  được gọi là lõm nếu f là lồi.  

Định nghĩa 1 10 Hàm  f  được gọi là chính thường nếu  f x   với  

 

1 1

Định nghĩa 1 11 Hàm  f được gọi là hàm chặt nếu bất đẳng thức 

 (1. 10)  đúng với mọi x x1 2 vàvới mọi0  1.  

Bổ đề 1 16 Nếu f là lồi thì dom f là một tập lồi

Chứng minh Nếu x dom f1 và x2dom f , theo Bổ đề 1. 15 ta có:

  1 1  2 2  m m ,

f x c f x c f x  c f x

là lồi, với mọi c10,c2 0, ,cm 0

Chứng minh Từ (1. 10) ta xác định đúng cho mỗi  f , ta có thể nhân ibất đẳng thức đó với c   và cộng lại để có được (1. 10 cho hàm i 0 f  ฀

Hàm  :f ฀n ฀  được gọi là hàm nửa liên tục dưới, nếu với mọi dãy hội tụ  xk ta có: 

lim k liminf  k

k k

Chứng minh Xét dãy điểm xk,k  của epi f và ta giả sửxk x 

và k , khi k  . Nếuf là hàm nửa liên tục dưới thì ta có:

  liminf  k lim k ,

k k

trong đó giới hạn ở vế bên phải có thể là . Khi đó tồn tại  0 sao cho  f x k  f x  với mọi điều kiện đủk lớn. Do đó:

 

x f xk,    epi f  với mọi điều kiện đủ k  lớn. Khi trên đồ thị là đóng thì giới hạn của các phần tử x f x,    cũng là một phần tử thuộc trên đồ thị của  f  Điều 

đó có nghĩa rằng  f x   f x (mâu thuẫn). Do đó hàm  f phải là hàm nửa liên tục dưới.  

Bổ đề 1 21 Nếu :f ฀n฀ là lồi thì với mỗi ฀ tập

 

M  x f x 

là lồi Ngoài ra, nếu f là nửa liên tục dưới thì tập M là đóng với mọi

Chứng minh Nếu  x M  và  y M  thì theo Bổ đề 1. 15 ta có: 

Định lí 1 10 Giả sử :f ฀n฀ là hàm lồi và giả sử X dom f là tập lồi, đóng và bị chặn Khi đó tập các nghiệm của bài toán

 

max

x X f xchứa ít nhất một điểm cực trị của X Ngoài ra, nếu hàm f   là affine, thì tập các nghiệm của (1 12) là bao lồi của tập các điểm cực trị của X

là các nghiệm của (1 12)

Chứng minh Giả sử ˆx là một nghiệm của (1. 12). Ta có thể tìm các điểm cực trị x1, , xm của X sao cho:

1 1

m

x x  x ,  với các hệ số 10, , m 0 và 

1 1

m i

i 

 

   Theo Bổ đề 1. 18 ta có : 

1

ˆ m i

i i

  Nếu hàm  f    là affine thìf    là hàm lồi. Tập nghiệm của bài toán (1. 12) giống tập minima của f    với mọi x X  Do đó, bao lồi của các điểm  cực  trị  là tập  nghiệm  của  (1.  12)  bao  hàm  trong tập  các nghiệm của (1. 12). ฀ 

(1.12) 

(1.13) 

1 4 Dưới vi phân của hàm lồi  

1 4 1 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 1 12 Giả sử  :f ฀n ฀  là hàm lồi và giả sử  x dom f  

được gọi là đạo hàm theo hướng của  f tại x theo hướng d   

1 4 2 Dưới gradient và dưới vi phân 

b) Tập tất cả dưới gradient của hàm  f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm  ftại x và kí hiệu là f x , tức là: 

f x g f y f x g y x y

Bổ đề 1 23 Giả sử :f ฀n฀ là hàm lồi chính thường và giả sử

x dom f Một vec tơ g ฀ được gọi là dưới gradient của hàm n f tại

x khi và chỉ khi

 

f x d  g d  ฀d Chứng minh Giả sử (1. 14) đúng, khi đó với mọi y ta có:

f y  f x  f x y x  f x  g y x

(1.14) 

điều  đó  chỉ  ra  rằng g là  dưới  gradient.  Ta  chứng  minh  điều  ngược  lại.   Thật vậy, giả sử gf x . Khi đó, với mọi d  và   , theo Định 0nghĩa 1. 13 ta có:  

 

f x d  g dXét hai tập trong ฀ n 1là: 

  Theo  Định lí 1.  4, tồn tại  z    và 0 z   u

   saocho với  mọi  điểm 

 y v, E và với mọi ฀  ta có: 

(1.15) 

   

u  v u x d  f x  f x d    

Ta suy ra  0, trái lại ta cho v   dẫn đến mâu thuẫn.  

  Giả sử  0, khi đó vì x  là điểm trong của miền nên ta có thể chọn 

y  thuộc hình cầu nhỏ B tâm x  khi đó tồn tại v f y  . Trong (1. 16) ta đặt  0,khi đó ta có: 

u y  u x  y B Điều này chỉ xảy ra khi u   và mâu thuẫn với điều kiện 0 z   Do đó 0

  ,   ' ;  ,

f y  g y  f x  f x d  g xd ,  với mọi yintdom f  và  ฀   

và x y / 2 int dom f   Áp  dụng(1.  17)  cho  f x y   / 2  thì  Định nghĩa 1. 13 đúng với mọi y dom f và với mọi y ฀  Do đó  g  là dưới n

gradient của hàm  f  tại x  và dưới vi phân là khác rỗng.  

  Giả sử g1f x  và g2f x . Do đó với mọi y ta có : 

 

g d  f x d L d d  suy ra g    L

Bổ đề 1 24 Nếu hàm lồi :f ฀n ฀ là dưới vi phân của hàm f tại x Khi đó với mọi d ta có:

(1.18) (1.19) 

฀ 

Hơn nữa, nếu f x d  ' ;  thì cận trên đúng hàm đạt được

Chứng minh Ta có đạo hàm theo hướng  f x d tồn tại hữu hạn ' , 

Bổ đề 1 25 Một hàm lồi :f ฀n฀ là khả vi tại xkhi và chỉ khi dưới

vi phân f x chỉ có một phần tử, trong trường hợp này là gradient của hàm f tại x

Bổ đề 1 26.  Giả sử rằng f :฀n ฀ là hàm lồi,  0 và

   

h x f x Khi đó h là lồi và h x   f x  với mọi x

฀ 

là các hàm lồi chính thường Nếu tồn tại một điểm x dom fo sao cho f 1

là liên tục tại x, thì f x  f x1  f x2 , x dom f

฀ 

฀ 

dưới vi phân f x1  và f x2 (xem Định lí 1. 11 và nhận xét sau chứng minh của nó) và từ Bổ đề 1. 2.  

  Cả  hai  dưới  vi  phân  f x1   và  f x2 là  đóng  và  tổng 

   sao cho : 

g d  g  g d ,  với mọi  1  

1 1

k k k

gzg

Bằng cách chọn một chuỗi, nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng  zk  có giới hạn là z  Ta có: 

f x  f x  g x x    Chia  g1 k   và  đi  đến  giới  hạn  với  k     ta  kết  luận  rằng 

2 0

0 z x, z x  z  , (mâu thuẫn).  

Vì vậy, tổng f x1  f x2 là đóng.   ฀ 

CHƯƠNG 2 MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC

2 1 Trên đồ thị của hàm lồi

  Chúng ta nhắc lại một vài khái niệm và một số kí hiệu. Cho  X  và 

Z là các không gian Banach. Không gian đối ngẫu của  X  là  'X  với tôpô yếu*. Cho tập  D X  bao đóng  D  được kí hiệu là clD  Nếu tập A X 'thì clA sẽ là bao đóng yếu*. 

b) Hàm tựa D được định nghĩa là D u supx D u x . 

Định nghĩa 2 1 2 Nón pháp tuyến của tập  D  được viết là: 

N x  v X  v v x  v X v y x   y D ,  Khi x D  và N x  D   khi x D   

dom f   và  f x  .   