LỜI CAM ĐOANEm xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lựctìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệttình của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyêncũng nh
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Người hướng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN
Hà nội - 2013
Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Dịu
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóaluận
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên
đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thànhkhóa luận tốt nghiệp này
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trongkhóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhậnđược góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Dịu
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lựctìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệttình của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyêncũng như các thầy cô trong tổ Giảitích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Đây là đề tài độc lậpkhông trùng với đề tài của tác giả khác
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóaluận được hoàn thiện hơn
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Dịu
Trang 4DANH MỤC KÍ HIỆU
□ , □ các tập số tự nhiên, số thực
□n nón các vec-tơ không âm trong □
core A các điểm bọc của A.
lin A bao tuyến tính của A
X *
, X
**
các không gian liên hợp của X
int X , X phần trong và bao đóngcủa X
f g tổng chập cực tiểu của f và g.
f *, f **
hàm liên hợp, liên hợp bậc hai của f
N D x nón pháp tuyến của D tại x
f or cl f , co f bao đóng, bao lồi của hàm f
convX bao lồi của tập X
epi f trên đồ thị của hàm f
dom f miền hữu hiệu của hàm f
K o tập đối cực của K ,
C x, C x hàm chỉ, hàm tựa của tập C X
f ' x; d đạo hàm của hàm f tại x theo hướng d
f x dưới vi phân của hàm lồi f tại x
n
Trang 5Hàm lồi 181.4.
Dưới vi phân của hàm lồi 23
CHƯƠNG 2 ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG
THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ
CÁC ỨNG DỤNG 312.1 Trên đồ thị của các hàm liên hợp 31
Trang 6khóa quan trọng để giải các bài toán tối ưu lồi có ràng buộc Các điềukiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng Đây là mộtđiều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫucủa các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi Khi cả
hàm f và hàm g được thay bằng hàm chỉ của các tập lồi C và D thìcông thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp
tuyến của giao: với mỗi x C D, N C D x N C x N D x
Trong những năm gần đây các điều kiện cho công thức dưới vi phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2,, 4, 5, 10, 18, 19, 20]) Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính quinày chính là các điều kiện kiểu phần trong-điểm [4, 5] Mục đích củakhóa luận này trình bày các điều kiện chính qui yếu hơn các điều kiệnkiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa
ra các điều kiện tối ưu và các nguyên lý đối ngẫu Chúng tôi sẽ chỉ ra
công thức tổng (0 1) đúng khi Epi f *
Epi
g*
là đóng yếu*, với Epi f *
là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp
f * của hàm f
Trang 7Khóa luận được bố cục như sau:
Chương 1 Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi
Chương 2 Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới viphân của các hàm lồi và ứng dụng Nội dung chính của chương này trìnhbày các kết quả trong bài báo [7]
Trang 8CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Tập lồi
Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu Tập lồi
là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối cácđiểm đó chứa trong tập
tập X i I X i là tập lồi.
Chứng minh Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu X i I X i thì X là tập lồi
+ Nếu
X i I X i , ta có: x, y i I X i , 0;1 thì suy
ra x, y X i , i I Khi đó, x 1 y X i , i X i , suy ra,
x 1 y i I X
i , i Xi Vậy X là tập lồi. □
Bổ đề 1 2 Giả sử X và Y là hai tập lồi trong □ n
và c , d là các số thực Khi đó,
Trang 9 z1 1 z2 c x1 1 x2 d y1 1 y2 Z □
Trang 10Định nghĩa 1 2 Một điểm x được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm
Mối quan hệ giữa hai định nghĩa là nội dung của bổ đề sau:
Bổ đề 1 3 Tập convX làtập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc X
là tổ hợp lồi của các điểm
Hơn nữa, Y X suy ra:
x1,, x m , z1,, z m Do đó tập Y là tập lồi
convX Y .Mặt khác, nếu y Y
Trang 11thì y là một tổ hợp lồi của các
điểm thuộc X ,
được chứa trong mọi tập lồi nằm trong X Do đó, convX Y □
Trang 12Bổ đề 1 4 Nếu X □ n
, thì mọi phần tử củaconvX là một tổ hợp lồi của nhiều
nhất n 1 điểm của X
Chứng minh Cho x là tổ hợp lồi
chỉ ra rằng m là giá trị có thể giảm tới một Nếu j 0 cho một vài j ,
thì ta có thể xóa đi điểm thứ j và ta thực hiện Vì vậy, ta giả sử mọi
i 0 khi đó m n 1, ta có thể tìm 1 , 2 ,, m đều khác không, do
Theo định nghĩa của , thì có ít nhất một j 0 và ta xóa đi điểm thứ
j Tiếp tục cách này, ta có thể giảm giá trị m tới điểm. □
Bổ đề 1 5 Nếu X là tập lồi, thì phần trong của nó là intX và bao đóng của nó là X cũng là các tập lồi.
Chứng minh:
Giả sử B là hình cầu đơn vị Nếu x1
int X , x2
int X , khi đó tồntại 0 sao cho x1 B X Do đó, x1 1 x2 B X với
Trang 13mọi 0 1 Do đó, x1 1 x2 int X Để chứng minh phần thứ
hai của bổ đề, giả sử x k
x và y k y với x k X và y k X Khi đó,
Trang 14là tập lồi Thì int X khi và chỉ khi X
nằm trong một đa tạp tuyến tính có số chiều nhỏ hơn n
Chứng minh Giả sử x0 X Xét hệ các vectơ x
x0 với mọi
x X Giả sử m là giá trị lớn nhất của các vectơ độc lập tuyến tính trong hệ này Khi đó các vectơ x x0 với mọi x X , có thể được diễn tả giống như tổ hợp tuyến tính của m các vectơ v1,v2 , ,v m Chú ý rằng,
linv1,v2 , , v m là không gian con của tất cả các tổ hợp tuyến tính của
các vectơ v1,v2 , ,v m , ta có thể viết như sau:
X x0 linv1, v2 , ,v m .Nếu tập X có phần trong là khác rỗng, ta có thể chọn x0 int X
Khi đó hình cầu tâm
x0 bao hàm trong X và ta có thể chọn duy nhất n vectơ độc lập tuyến tính v i (theo từ phần trên) Do đó trong trường hợpnày thì m n Hơn nữa, ta giả sử rằng tập x x0 : x X nằm trong n vectơ độc lập tuyến tính v1,v2 , ,v m Theo định nghĩa tập lồi của X ta có
ta
Trang 16hiệu nó là V x Rõ ràng, nếu x V thì V x x , nhưng hình chiếu
luôn luôn được xác định, vì vậy ta có kết quả sau đây:
Định lí 1 1 Nếu
n khác rỗng, lồi và đóng, khi đó với mọi
x□ n
tồn tại duy nhất một điểm z V gần nhất với x
Chứng minh Giả sử inf z x : z V Khi đó V là khác
rỗngvà là hữu hạn Giả sử ta xét một dãy các điểm z k
V sao cho
z k x
, với k Do dãy này bị chặn nên dãy z k là dãy hội tụ
với k □ Kí hiệu giới hạn của dãy là z Ta có:
z x lim
k z k x
VìV là tập đóngnên z V
Suy ra z là hình chiếu của x
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất:
Thật vậy, giả sử ta có hai điểm z1
X và z2
X khác nhaulà hình chiếucủa x trên V Ta xét điểm
Trang 17Chứng minh Giả sử
điểm của hình
z v x và v V (xem hình (1 2) Xét các
v 1 z , 0 1
Trang 18Xét biểu thức trên như là một hàm của 0,1 Nó bị chặn dưới bởi
z x khi và chỉ khi các số hạng tuyến tính có hệ số không âm.
Giả sử (1 2) thỏa mãn với z V
V x z, V x z 0 , dấu “=” xảy ra khi V v z
Đặc biệt, nếu tập V là một đa tạp tuyến tính, với mọi v V
Trang 2012
Trang 21y k B 0;1 Suy ra, tồn tại dãy con y k l y k sao cho
2
2
Trang 23hàm liên tục theo hai biến nên cho l ta được
điều phải chứng minh
□ Nếu
□ Và giả sử
Trang 25n được gọi là nón nếu với mọi x K và với
mọi 0 ta có x K Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một
Trang 26□ n x
□ n : x
j
Trang 281 0 và 2 0 thì d là một phần tử của cone X Chúng tachỉ cần xét đối với trường hợp1
Tasẽ chỉ ra rằng X là một nón lồi Đầu tiên chúng ta chú ý rằng
với mọi d X và với mọi m ta có:
X md X m 1d X d X
Do X là tập lồi nên ta suy ra X d X
với mọi 0 Do đó
d X với mọi 0 Điều đó có nghĩa rằng X là một nón Trong
thực tế X là nón có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa Thực chất,
Trang 30được gọi là nón cực của K .
Trang 31sao cho tích vô
hướng y, x bị chặntrên với mọi x K Khi đó y K o
Trang 32Chứng minh Nếu x
, vì
y, x y,
z
, x K.
Do vế bên trái là bị chặn trên và ta có y K o
Mặt khác, đặt x 0 ta được y,
Trong phần 1 1 3 ta xét tách hai tập lồi rời nhau Rõ ràng, nón lồi
cũng bị tách bởi cùng một nguyên tắc nào đó Theo Định lí 1 5, nếu K1
Trang 34bên phải là bị chặn trên với mọi z i
K , i 1, 2, , m , nghĩa là với mỗi
Suy ra điều phải chứng minh
Định lí 1 9 Giả sử K , K , , K là các nón lồi trong □ n
Trang 37Định lí hoàn toàn được chứng minh □
1 2 3 Nón pháp tuyến
Trang 38Định nghĩa 1 7 Xét tập lồi đóng X □
n và một điểm x X Tập
N X x cone X x ,
được gọi là nón pháp tuyến của X tại x
Bổ đề 1 13 Giả sử X là tập lồi đóng và giả sử x X Khi đó:
cone X x cone X1 x cone X m x .Theo giả thiết ta có:
cone X1 x int cone X 2 x int cone X m x
Áp dụng Định lí 1 9 suy ra điều phải chứng minh □
Trang 40Định nghĩa 1 9 Hàm f được gọi là lõm nếu f là lồi
Định nghĩa 1 10 Hàm f được gọi là chính thường nếu f x vớimọi x và f x với ít nhất một x
Bổ đề 1 15 Hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi
0 1 ta có:
x1 và
Trang 42lồi, với mọi c1 0,c2 0, ,c m 0.
Chứng minh Từ (1 10) ta xác định đúng cho mỗi f i , ta có thể nhân
bất đẳng thức đó với c i 0 và cộng lại để có được (1 10 cho hàm f □
Trang 44trong đó giới hạn ở vế bên phải có thể là Khi đó tồn tại 0 sao
cho f x k f x
với mọi điều kiện đủ k lớn Do đó:
x k , f x epi f với mọi điều kiện đủ k lớn Khi trên đồ thị là đóng thì giới hạn của các
phần tử x, f x
cũng là một phần tử thuộc trên đồ thị của f Điều
đó có nghĩa rằng f x f x (mâu thuẫn) Do đó hàm f phải là
Nếu f là hàm nửa liên tục dưới thì trên đồ thị của nó là đóng
Trang 47Nếu hàm f . là affine thì f
.
là hàm lồi Tập nghiệm của bài
toán (1 12) giống tập minima của f
. với mọi x X Do đó, bao lồi
của các điểm cực trị là tập nghiệm của (1 12) bao hàm trong tập cácnghiệm của (1 12) □
Trang 481 4 Dưới vi phân của hàm lồi
1 4 1 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 1 12 Giả sử f : □ n □ là hàm lồi và giả sử x dom f
Khi đó với mỗi d □ n
ta có:
f ' x;d lim f x d f x
,
được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng d
1 4 2 Dưới gradient và dưới vi phân
b) Tập tất cả dưới gradient của hàm f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x và kí hiệu là f x , tức là:
Trang 50Theo Định lí 1 4, tồn tại z 0
z
n 1
Trang 51 saocho với mọi điểm
y,v E và với mọi □ ta có:
Trang 52u, v u, x d f x f ' x;d (1.16)
Ta suy ra 0, trái lại ta cho v dẫn đến mâu thuẫn.
Giả sử 0 , khi đó vì x là điểm trong của miền nên ta có thể chọn
y thuộc hình cầu nhỏ B tâm x khi đó tồn tại v
u 0 và mâu thuẫn với điều kiện z 0 Do đó
Chia cả hai vế của (1 16)cho , ta đặt
với mọi □ Điều này chỉ xảy ra khi hệ số nhân với là bằng 0, do
đó đẳng thức (1 15) là đúng Bây giờ ta phải chỉ ra rằng g là dưới
Trang 53và x y / 2 int dom f Áp dụng(1 17) cho f x y / 2 thì Địnhnghĩa 1 13 đúng với mọi y dom f và với mọi y □ n
Ta nhân bất đẳng thức (1 18) với và bất đẳng thức (1 19) với 1
,với 0; 1 , sau đó ta cộng lại, suy ra g1 1 g 2 f x Do đó
dưới vi phân của hàm f là tập lồi.
g f x
Chứng minh tính bị chặn của g Giả sử
điều kiện đủ gần nhất với x ta được:
Trang 54f : □ n □ là dưới vi phân
của hàm f tại x
Trang 55f ' x; d sup
g f x g, d Hơn nữa,
nếu f ' x;d thì cận trên đúng hàm đạt được.
Chứng minh Ta có đạo hàm theo hướng f ' x, d tồn tại hữu hạnhoặc vô hạn Vì vậy, theo định nghĩa của dưới vi phân ta có:
E y,v□ n1 : v f y ,
và tìm một dưới gradient g sao cho g, d
Điều này dẫn đến mâu thuẫn và bài toán được chứng minh □
Trang 57Chứng minh Quan hệ dưới đây được chỉ ra từ định nghĩa Ta có
f Ax , với mọi x Chứng minh Ta có g f Ax khi và chỉ khi :
là các hàm lồi chính thường Nếu tồn tại một điểm x
o dom f sao cho f1
là liên tục tại x , thì f x f1 x f2 x, x dom f
Trang 58Để áp dụng Định lí Tách (Định lí 1 4), chúng ta cần chứng minhrằng
f1 x f2 x là tập lồi đóng Tính lồi của nó theo từ tính lồi của
Trang 59dưới vi phân f1 x và f2 x(xem Định lí 1 11 và nhận xét sau chứngminh của nó) và từ Bổ đề 1 2
Cả hai dưới vi phân f1 x và f2 xlà đóng và tổng
Lấy supremum ở vế phải của (1 20) với mọi
và sử dụng hai đẳng thức cuối ta được:
Trang 60Bây giờ chúng ta quay trở lại vấn đề quen thuộc của tổng
f1 x f2 x Nếu mộttrong hai hàm f1 hoặc f2 là liên tục tại x thì
dưới vi phân của nó là compact, và tổng f1 x f2 x là đóng Ta chỉ
Trang 61còn trường hợp là khi cả hai dưới vi phân không bị chặn Xét hai dãy
k và đi đến giới hạn ta được z, x0
Trang 64CHƯƠNG 2 MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA
TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG
2 1 Trên đồ thị của hàm lồi
Chúng ta nhắc lại một vài khái niệm và một số kí hiệu Cho X và
Z là các không gian Banach Không gian đối ngẫu của X là
X ' với tôpôyếu* Cho tập D X bao đóng D được kí hiệu là clD Nếu tập A X '
thì clA sẽ là bao đóng yếu*
Định nghĩa 2 1 1
a) Hàm chỉ D của tập lồi D được định nghĩa như sau:
D x 0 nếu x D và D x nếu x D.
b) Hàm tựa
D được định nghĩa là D u supx D u x
Định nghĩa 2 1 2 Nón pháp tuyến của tập D được viết là:
Epi f x, r X □ | x dom f , f x r
Định nghĩa 2 1 4 Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu
dom f và f x
D
Trang 65Định nghĩa 2 1 5
● Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x X (với
nếu với mọi 0 tồn tại lân cận U của x sao cho:
f x ),
f x f y, (y U )
● Nếu
mọi
f x thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu với
N 0 , tồn tại lân cận U của x sao cho:
f 0 0và f x f x,x X , 0
x dom f ta có:
thì f 0 và với mỗi
f x v f 0 | v x f x