Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E.. Tia AE cắt BM tại F..[r]
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 18/6/2008
Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức: √a+1 −√a< 1
2√a với a > 0.
Câu 2: (3,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
a) 2 x
x −3=
x2+11 x −6
Câu 3: (1,5 điểm).
Cho x ≥ 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y=3 x + 1
2 x .
Câu 4: (2,5 điểm).
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua O vuông
góc với BM cắt CD tại E Tia AE cắt BM tại F Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia
cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax.
Câu 5: (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x1 chia hết cho y đồng thời y
3 1 chia hết cho x.
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán)
Câu 1: (1,5 điểm).
Với a > 0 ta có:
√a+1+√a
< 1
√a+√a=
1
2√a (đpcm).
1,0 0,5
Câu 2: (3,0 điểm).
a) Điều kiện x ≠ ± 3 Khi đó ta có:
2 x
x −3=
x2+11 x −6
x2− 9 ⇔ 2x(x + 3) = x2 + 11x – 6
⇔ x2 – 5x + 6 = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
√Δ=√1=1
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm là
x1=−(− 5)+1
2 1 =2
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x1 = 3 không thỏa mãn nên phương trình đã
cho có một nghiệm x = 2.
0,25
0,5
0,5 0,25 b) Ta có √x2−2 x+1 −√3+2√2=1 ⇔ √( x −1)2−√ ( √2+1)2=1
⇔ |x − 1|−√2− 1=1
⇔ |x − 1|=2+√2
⇔
¿
x −1=−2 −√2
¿
¿
¿
¿
⇔
x=3+√2
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=3+√2 , x=−1 −√2
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 3: (1,5 điểm).
Ta có y=3 x + 1
2 x =
x
2+
1
2 x+
5 x
2
Mà x
2+
1
2 x ≥ 2√x
2.
1
2 x=2
1
2=1 và
5 x
2 ≥
5
2 (do x ≥ 1).
Do đó y ≥ 1+5
2=
7 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy GTNN của y là 72 , giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1.
0,25
0,5 0,25
0,25 0,25
Câu 4: (2,5 điểm).
Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax và AB theo thứ tự tại G và H
Ta có GH EO (1)
Suy ra DOEG, EOHC là các tứ giác nội tiếp được
0,5 0,25
Trang 3Từ đó DOG DEG CEH COH
Ta lại có DO = CO Do đó ∆DOG = ∆COH
Suy ra OG = OH Kết hợp với (1) suy ra GE = EH
Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF
Vì vậy nếu I là trung điểm của AB thì FI // Ax.
Mà Ax cố định và I cố định nên suy ra F luôn luôn nằm trên tia Iy cố định song
song với Ax. (đpcm)
0,5 0,25 0,25 0,5 0,25
Câu 5: (1,5 điểm).
Dễ thấy x ≠ y vì x > 1, y > 1 Không giảm tính tổng quát ta giả sử x > y.
Đặt 3y + 1 = px Vì x > y suy ra 3x > 3y + 1 = px p < 3 p {1, 2}
Nếu p = 1 thì x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4 ⋮ y 4 ⋮ y y {2, 4}
+ Nếu y = 2 x = 7
+ Nếu y = 4 x = 13
Nếu p = 2 2x = 3y + 1 2(3x + 1) = 6x + 2 = 3(3y + 1) + 2 = 9y + 5
Vì 3x + 1 ⋮ y 9y + 5 ⋮ y y = 5 x = 8
Vậy ta có các nghiệm là (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4).
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25