Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh 1 của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2.. Tìm cặp số tự nhiên m, n thoả mãn hệ thức:..[r]
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2005 - 2006
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi:
Câu 1: (1,5 điểm).
Tìm tập xác định của hàm số
y
Câu 2: (2,0 điểm).
Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác Chứng minh rằng:
p
1 1 1 2 1 1
1
Câu 3 : (2,5 điểm).
a) Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình: 2 2 12 0
b) Tìm các giá trị của m sao cho bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng:
2
Câu 4: (3,0 điểm).
Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn hơn 2
1 Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2
1
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thoả mãn hệ thức: m2 n2 mn8.
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Dành cho lớp chuyên toán) Câu 1: (1,5 điểm).
1 1
x x
x x
có nghĩa
0 1 1
0 1
0 1
x x
x x
(0,5 điểm).
1 1
1 1
x x
x x
0
1 1
x
x
(0,5 điểm).
Vậy TXĐ của hàm số là tập hợp các số thực x mà –1 x 1 và x 0 (0,5 điểm).
Câu 2 : (2,0 điểm).
Ta có x y2 4xy
y x
hay x y xy
1
; (x, y > 0) (0,5 điểm).
Áp dụng kết quả trên ta được:
b p a p
4 2
4 4
1 1
4 1 1
b a p c p
4 1 1
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên rồi ước lược ta được:
p
1 1 1 2 1 1
1
(0,5 điểm).
*Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều (0,25 điểm).
Câu 3: (2,5 điểm).
Ta có = m2(m – 2)2 + 4(m – 1)2 0 , m
Do đó phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm (0,5 điểm).
Khi đó: x1 + x2 = m(m – 2) , x1 x2 = – (m – 1)2 (0,5 điểm).
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
(0,5 điểm).
Nếu m < 1 thì 2(2 – m) – 3(1 – m) 1, suy ra 0 m < 1 (0,25 điểm).
Nếu 1 m 2 thì 2(2 – m) – 3(m – 1) 1, suy ra 5
6
1m
(0,25 điểm).
Nếu m > 2 thì 2(m – 2) – 3(m – 1) 1, bất phương trình vô nghiệm (0,25 điểm).
6
0m
Câu 4: (3,0 điểm).
Trang 3A B
C
D
A 1
B’
D’
C 1
D 1
Gọi diện tích tứ giác lồi ABCD là S thì S > 2
1 Qua các đỉnh B và
D kẻ các tia BB’ và DD’ song song với các cạnh của hình vuông (B’ thuộc AD, D’ thuộc BC) (hình vẽ) Ta cần chứng minh trong hai đoạn BB’ và DD’ phải có một đoạn có độ dài lớn hơn 2
1
Thật vậy! Giả sử cả hai đoạn này đều nhỏ hơn hay bằng 2
1
; gọi A1, D1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và D’ lên BB’; C1 là hình chiếu vuông góc của C lên DD’ Khi đó:
' ' ' '
'
2
1
D D AA BB S
S S
S ABD B ABB BD B
(0,5 điểm).
Vì AA1 + D’D1 luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh của hình vuông nên AA1 + D’D1 1
1 2
1 2
1 ' 2
1
1 BB
S
(0,5 điểm).
2
1
D D CC DD S
S S
S CDB D CDD D B D
(0,5 điểm).
1 2
1 2
1 ' 2
1
2 DD
S
(0,5 điểm).
1 4
1 4
1 2
1
S
Vậy ít nhất một trong hai đoạn BB’ hoặc DD’ lớn hơn 2
1
Câu 5 : (1,0 điểm).
Ta có: m2 n2 mn8 4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32
4m2 – 4m + 1 + 4n2 – 4n + 1 = 34
(2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34 < 62 (*) (0,5 điểm).
Vì m, n N nên (*) cho thấy (2m – 1) và ( 2n – 1) là hai số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 có các
tổng bình phương bằng 34
Có ba số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 là 1, 3, 5 và dễ thấy 32 + 52 = 34
Do đó ta có:
5 1 2
3 1 2
n
m
hay
3 1 2
5 1 2
n m
Vậy
3
2
n
m
hay
2
3
n
m
(0,5 điểm).
==========================
Chú ý: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.