Kết luận: M nằm trên cạnh AD, N nằm trên cạnh BC của hình chữ nhật sao cho chúng lần lượt 1 cách A và B một đoạn bằng 2 AB thì tam giác MON có diện tích nhỏ nhất.. Chú ý: Nếu thiếu hình [r]
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2004 - 2005
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 15/7/2004 Bài 1: (1,5 điểm).
Giải phương trình:
0 6
1 4
1
x
x x
x
Bài 2: (2,0 điểm).
Xác định các hệ số a và b để đa thức: x4 6x3ax2bx1
là bình phương của một đa thức khác
Bài 3: (2,5 điểm).
1
3
1 2
1
S
Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Bài 4: (2,5 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn luôn vuông góc với ON Định vị trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất
Bài 5: (1,5 điểm).
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền; loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 em Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc?
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
-Bài 1: (1,5 điểm).
Với điều kiện (*) ta có:
0 6
1 4
1
x
x x
x
0 4
1 4
1 2
x
x x
x
(0,5 điểm).
0 2
x
x
1 20
x
x
(0,25 điểm).
Đối chiếu với điều kiện (*) ta kết luận phương trình có nghiệm là x = 1. (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện trước mà sử dụng các phép biến đổi tương đương, nếu
đúng vẫn cho điểm tối đa
Bài 2: (2,0 điểm).
Đặt P = x4 6x3ax2bx1
Để ý rằng biểu thức x4 6x3 là hai số hạng đầu tiên của khai triển bình phương biểu thức
Do đó ta có thể viết:
x4 6x3ax2bx1 = x2 3x2
x4 6x3ax2bx1 = x49x22 6x32x2 6x
x4 6x3ax2bx1 = x4 6x3(9 2 ) x2 6x2 (0,5 điểm).
Đồng nhất hai vế ta được:
2
1 6
2 9
b a
Từ điều kiện 1 2 ta được 1
Nếu = –1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 7 và b = 6
Khi đó P = x4 – 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 – 3x – 1 )2 (0,25 điểm).
Nếu = 1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 11 và b = – 6
Khi đó P = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 = (x2 – 3x + 1 )2 (0,25 điểm).
Kết luận:
6
7
b
a
hoặc
6
11
b
a
(0,5 điểm).
Bài 3: (2,5 điểm).
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức kép sau:
1 2 2
1 2
1
n n n
(với n N*) (1) (0,25 điểm).
Thật vậy:
n n
n n
n n
n n
1
1 1
2 2
1 2
1 2
1
2
Trang 3
1
1 1
2 1 2 2
n n
n n n
n n
n
1 2
1
2
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh
Vậy:
2 1 100
1
3
1 2
1
S
12 101 212.10 2 2 21 318 (0,5 điểm).
2 1 100
1
3
1 2
1
S
12 100 112.919 (0,5 điểm).
Do đó 18 < S < 19, chứng tỏ S không phải là số tự nhiên (đpcm) (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh (1) nhưng sử dụng kết qủa (1) để làm bài thì vẫn chấm
bình thường và phần nào có làm mà đúng sẽ cho điểm phần đó theo quy định trên
Bài 4: ( 2,5 điểm).
C D
O
M
N
y
1
1
x
Đặt AB = a, AM = x, BN = y, ta có:
4 4 2
ay ax a
y
x
(0,25 điểm). SOMN = axy
4
(0,25 điểm). Do hai tam giác vuông OAM và NBO đồng dạng (
O1N1
vì hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên:
4
2
a xy OB OA BN AM OB
AM NB
OA
(0,5 điểm).
a xy
y
4 2 2
2
(0,25 điểm).
Suy ra: SOMN 4
2
a
min SOMN = 4
2
a
khi x = y = 2
a
(0,5 điểm).
Kết luận: M nằm trên cạnh AD, N nằm trên cạnh BC của hình chữ nhật sao cho chúng lần lượt
cách A và B một đoạn bằng 2
1
AB thì tam giác MON có diện tích nhỏ nhất (0,5 điểm).
Chú ý: Nếu thiếu hình vẽ hoặc hình vẽ sai, không phù hợp với lời giải thì không chấm.
Bài 5: ( 1,5 điểm).
Gọi x là số thuyền loại chở 5 em học sinh một chiếc
y là số thuyền loại chở 7 em học sinh một chiếc
(điều kiện x, y nguyên dương).
Theo giả thiết ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1)
Trang 4Từ (1) suy ra
y Z y
y
, 50 7
5
7
Z y y
y
, 7
5
vì (7,5) = 1
y = 5 Do đó x = 3.
Vậy có 3 chiếc thuyền loại chở 5 em học sinh một chiếc và có 5 chiếc thuyền loại chở 7 em học sinh một chiếc
-oOo -Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình đều cho điểm tốt đa.