BAI TAP GIOI HAN HAM SOHQ GROUP

Ñònh lyù 3: Neáu haøm soá f(x) laø lieân tuïc treân ñoaïn [a; b], thì noù ñaït ñöôïc giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát vaø moïi giaù trò trung gian giöõa giaù trò lôùn nhaát vaø [r]

GIỚI HẠN

A: Giới hạn dãy số:

Kiến thức cần nhớ:

Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)

Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn

Định lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)

Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat).

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn)

Cho ba dãy số (un), (vn), (wn)

Nếu ∀ n∈ N❑ ta có v n ≤u n ≤ w n và lim vn = lim wn = A thì lim un = A

Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).

Nếu hai dãy số (u n),(v n) có giới thì ta có:

lim(u n ± v n)=limun ± lim v n

lim(u n v n)=limun lim v n

limu n

v n=

lim u n lim v n(lim v n ≠ 0)

lim√u n=√lim u n(u n ≥ 0, ∀ n ∈ N❑

)

Kiến thức cần nhớ:

1/ Một số định lý về giới hạn của hàm số:

Định lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)

Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất

Định lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).

Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x → a thì:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a

(có thể trừ điểm a) Nếu với mọi điểm x của khoảng đó g(x)≤ f (x )≤ h(x )

và nếu

limx→ a g (x)=lim x→ a h(x )=L , thì limx→ a f ( x)=L

Định lý4: Nếu khi x → a , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ

gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L≥ 0 (hoặc L≤ 0 )

Định lý5: Nếu limx→ a=0 (và f (x)≠0 với mọi x đủ gần a) thì lim

2/ Giới hạn một bên :

Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số

f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L

đều tồn tại và bằng L

3/ Các dạng vô định:

Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây Ta

cần tìm:

A GIỚI HẠN DÃY SỐ

Bài tập 1: Tính các giới hạn:

1 /lim2n+1

n+2 2 /lim3 n

2+1

n2+4 3 /lim5 n −1

3 n+2

4 /lim n

2+2√n+3

2 n2+n−√n 5 /lim2 n√n+3

3 n3− 2 6 /lim( √3n3− 2 n2− n)

Bài tập 3: Tính các giới hạn:

1 /lim n

2+1

B GIỚI HẠN HÀM SỐ

Bài tập 1: Tính các giới hạn:

 Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.

Bài tập 6: Tính các giới hạn:

2 x +3

2/ lim

x →+∞

− x3+x +1

310/0

Bài tập 8: Tính các giới hạn:

Bài tập 9: Tính các giới hạn:

x→+∞

(x −√x2+1)7/ lim

7 /1

8/−2

Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:

Cho biết : lim

ĐS:

1/5

25/1

29/ 9

25

2/4

6 /1910/√28

3 /27/3211/1

4 /4

8 /1812/ 1

√3

- Hết

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Kiến thức cần nhớ:

1 Hàm số liên tục tại một điểm:

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) Hàm số f(x) được

gọi là liên tục tại điểm x0¿∈

¿

(a; b) nếu: x → xlim

0

f (x )=f (x0) Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại xo và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)

Theo định nghĩa trên hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó,

nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy

Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và x → a

b Một số định lý về tính liên tục:

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục

tại một điểm là liên tục tại điểm đó

Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên

tập xá định của nó

Định lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Hệ quả Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại

Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:

Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1

Bài tập 2: Cho hàm số:

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2.

Bài tập 3: Cho hàm số:

¿

32

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0

Bài tập 4: Cho hàm số:

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1

Bài tập 5: Cho hàm số:

Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1

Bài tập 6: Cho hàm số:

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2

Bài tập 7: Cho hàm số:

Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0.

Bài tập 8: Cho hàm số:

¿

ax+143

Định a để hàm số f(x) liên tục trên R

Bài tập 9: Cho hàm số:

¿

ax2+233

Định a để hàm số f(x) liên tục trên R

Bài tập 10: Cho hàm số:

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

Bài tập 4: CMR phương trình 3 x4− 4 x3−6 x2

+12 x − 20=0 có ít nhất hai

CẤP SỐ CỘNG

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số

hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai

Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều

bằng nhau

Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai

d được cho bởi công thức:

un = u1 + (n - 1)d

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng

cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là

u k=u k − 1+u k+1

2 (k 2)

4 Tổng n số hạng đàu của một cấp số cộng

Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

a /❑2,5,8, tìm u15

b/❑2+√3 , 4,2−√3 , tìmu20

ĐS: a/u15=44

b/u20=40 −18√3

Bài tập 2: Xác định cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng

bằng 30

Giải:

Ta có: S= n

2(u1+u n) ⇔30= n

Với n=4 :u1=3 ta có cấp số cộng 3,6,9 ,12

Với n=5:u1=0 ta có cấp số cộng 0,3,6,9 ,12

Bài tập 3: Cho cấp số cộng:

Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương

của chúng là 165

Giải:

Gọi cấp số cộng là: u3 - 3d, u3 - d, u3, u3 + d, u3 + 2d

Theo giả thiết ta có:

Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số

của chúng là 1140

Giải:

Xét cấp số cộng 5,5+d ,5+2 d

Theo bài ra ta có: 5(5+d)(5+2 d )=1140

Bài tập 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành

một cấp số cộng với công sai là 25

Giải:

Đặt 3 cạnh cần tìm là: x − 25 , x , x +25 , với x>25

Theo định lí Pitago ta có:

x − 25¿

2

x+25¿2=x2+¿

¿

Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125

Bài tập 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3,

Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80

Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số

hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó

Do đó: Cấp số cộng cần tìm là:

Bài tập 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18

Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

ĐS: d = −18

5 và S11 = 187

Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18

Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên

ĐS: S20 = 1350

- Hết

CẤP SỐ NHÂN

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai

mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có

un+1 =un.q (n = 1, 2, )

Đặc biệt:

Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,

Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,

Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,

Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu

u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:

un = u1 q n− 1 (q 0 )

3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng

cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:

|u k|=√u k −1 u k+1 (k ≥ 2)

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Cho một cấp số nhân với công bội q 1

u1, u2, ,un,

Định lí: Ta có:

Sn=u1q n −1

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:

1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 vàu6 = 1

1024=

12

Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486

Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó

Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = 2

Thay q = 2 vào (1) ta được: 2u1(4 − 1)=72⇒u1=12

q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ

Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được:

q2=4⇒ q=±2

Thay vào (1) tacóù: u1=3

* q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24,

* q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24,

Bài tập 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:

Thay q = 3 vào (1) ta được: 40u1 = 360 ⇒ u1 = 9

Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243

Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18

Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486

Bài tập 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là21 Nếu số thứ hai trừ

đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó

Giải:

Gọi u1, u2, u3 là ba số hạng của cấp số cộng công sai d

Theo bài ra u1, u2-1, u3 +1 lập thành cấp số nhân

Với d = 4 thì u1 = 3 ta có cấp số cộng: 3, 7, 11

Với d = -5 thì u1 = 12 ta có cấp số cộng: 12, 7, 2

- Hết