Giáo trình giải tích 2

N ội dung của môn Giải tích toán học được chia thành hai phần: Giải tích hàm một bi ến còn gọi là Giải tích 1 và Giải tích hàm nhiều biến còn gọi là Giải tích 2.. Cho đến nay, trường Đại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP

VŨ KHẮC BẢY (chủ biên)

NGUYỄN TRUNG THÀNH, VŨ NGỌC TRÌU

Giáo trình

GIẢI TÍCH 2

(GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN)

NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP

HÀ NỘI - 2018

LỜI NÓI ĐẦU

Gi ải tích toán học là môn học có ở hầu hết trong chương trình các ngành kỹ thuật

b ậc đại học Đây là môn học cần thiết cho sinh viên các ngành kỹ thuật ở những năm đầu đại học.

Trong nhi ều năm qua, trường Đại học Lâm nghiệp đều có các bài giảng về môn học này, nh ững bài giảng đó được biên soạn trên cơ sở yêu cầu các nội dung tiên quyết cần thi ết để tiếp tục học các môn cơ sở, chuyên ngành tiếp theo thuộc các ngành trong Khoa

Cơ điện và Công trình: Kỹ thuật xây dựng công trình, Công nghệ kỹ thuật Cơ điện tử,

K ỹ thuật cơ khí, Công nghệ kỹ thuật ô tô

N ội dung của môn Giải tích toán học được chia thành hai phần: Giải tích hàm một

bi ến (còn gọi là Giải tích 1) và Giải tích hàm nhiều biến (còn gọi là Giải tích 2).

Cho đến nay, trường Đại học Lâm nghiệp chưa có một giáo trình "Giải tích hàm nhi ều biến" phù hợp với nội dung của các chuyên ngành đào tạo trong khoa Cơ điện và Công trình Vì v ậy, cần có một giáo trình thống nhất cho nội dung bài giảng cũng như

c ần có một tài liệu cho sinh viên học tập môn học Giải tích 2, chúng tôi biên soạn cuốn:

Giáo trình Giải tích 2 (Giải tích hàm nhiều biến), nhằm phục vụ tất cả các đối tượng

gi ảng dạy và học tập thuộc các ngành kỹ thuật nêu trên.

N ội dung giáo trình Giải tích hàm nhiều biến này gồm 5 chương:

- Chương 1: HÀM HAI BIẾN

- Chương 2: HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG

- Chương 3: TÍCH PHÂN KÉP - TÍCH PHÂN BỘI

- Chương 4: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT

- Chương 5: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

M ặc dù giáo trình được biên soạn trên cơ sở các bài giảng đã được sử dụng trong nhi ều năm qua, nhưng không thể tránh được sai sót trong cách hành văn, trong in ấn; vì

v ậy rất mong được sự góp ý của độc giả.

Nhân đây, chúng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán

c ủa Trường Đại học Lâm nghiệp đã có nhiều đóng góp quý báu để nhóm tác giả hoàn thành được giáo trình này.

Nhóm tác giả

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1 HÀM HAI BIẾN 9

1.1 Hàm hai biến 9

1.1.1 Tập hợp phẳng Các khái niệm về tập phẳng 9

1.1.2 Khái niệm hàm hai biến 11

1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 11

1.2.1 Giới hạn hàm hai biến 11

1.2.2 Sự liên tục của hàm hai biến 13

1.3 Đạo hàm và vi phân hàm hai biến 14

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp 1 14

1.3.2 Đạo hàm riêng cấp 2 15

1.3.3 Vi phân toàn phần và ứng dụng 17

1.3.4 Quy tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng 20

1.3.5 Đạo hàm của hàm ẩn 21

1.4 Cực trị của hàm hai biến 22

1.4.1 Định nghĩa điểm cực trị 22

1.4.2 Định lý 1(Điều kiện cần của cực trị) 22

1.4.3 Định lý 2 (Điều kiện đủ của cực trị) 23

1.4.4 Quy tắc tìm cực trị địa phương 23

1.5 Phương pháp bình phương bé nhất (tối thiểu) 27

1.5.1 Bài toán 27

1.5.2 Phương pháp bình phương bé nhất 28

1.5.3 Các trường hợp cụ thể 30

1.5.4 Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho hàm nhiều biến 34

1.5.5 Phương pháp thực hành khi sử dụng EXCEL 38

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 41

Chương 2 HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG 44

2.1 Hình vi phân trong mặt phẳng 44

2.1.1 Điểm chính quy 44

2.1.2 Tiếp tuyến của đường cong 44

2.1.3 Độ cong của đường cong 46

2.1.4 Đường tròn chính khúc - Khúc tâm 50

2.2 Hình vi phân trong không gian 59

2.2.1 Hàm véc tơ 59

2.2.2 Đường cong trong không gian 60

2.2.3 Mặt cong trong không gian 64

2.3 Mặt cong định hướng 66

2.4 Đạo hàm theo hướng và Gradient 68

2.6 Toán tử Haminton 70

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 75

Chương 3 TÍCH PHÂN KÉP - TÍCH PHÂN BỘI 77

3.1 Tích phân kép 77

3.1.1 Định nghĩa tích phân kép 77

3.1.2 Các tính chất của tích phân kép 78

3.1.3 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc 79

3.1.4 Các ứng dụng của tích phân kép 86

3.2 Tích phân bội ba 88

3.2.1 Định nghĩa tích phân bội ba 88

3.2.2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các 89

3.2.3 Đổi biến trong tích phân bội ba 90

3.2.4 Trọng tâm của vật thể 92

3.2.5 Tính mô men quán tính của vật thể đối với một trục 92

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 94

Chương 4 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT 96

4.1 Tích phân đường loại 1 96

4.1.1 Định nghĩa 96

4.1.2 Cách tính 96

4.1.3 Các ứng dụng của tích phân đường loại 1 99

4.2 Tích phân đường loại 2 101

4.2.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2 101

4.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại 2 102

4.2.3 Cách tính tích phân đường loại 2 103

4.2.4 Công thức Green 106

4.2.5 Điều kiện tích phân đường loại 2 không phụ thuộc vào đường lấy tích phân 108

4.3 Tích phân mặt loại 1 111

4.3.1 Định nghĩa 111

4.3.2 Cách tính tích phân mặt loại 1 111

4.4 Tích phân mặt loại 2 113

4.4.1 Định nghĩa 113

4.4.2 Cách tính tích phân mặt loại 2 113

4.5 Công thức Ostrogradsky - Gauss 121

4.6 Ý nghĩa đive của trường véc tơ 122

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 123

Chương 5 CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA 125

5.1 Chuỗi số 125

5.1.1 Định nghĩa 125

5.1.2 Định lý (Điều kiện cần của chuỗi hội tụ) 126

5.1.3 Các tính chất của chuỗi số 126

5.1.4 Chuỗi số dương 127

5.1.5 Chuỗi đan dấu 132

5.1.6 Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 132

5.2 Chuỗi lũy thừa 133

5.2.1 Định nghĩa 133

5.2.2 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 134

5.2.3 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 134

5.2.4 Các bước tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 135

5.2.5 Chuỗi Tay-lo và chuỗi Mac-lo-ranh 137

5.3 CHUỖI FOURIER 139

5.3.1 Chuỗi Fourier cho các hàm số tuần hoàn có chu kì 2π 139

5.3.2 Chuỗi Fourier cho các hàm số tuần hoàn có chu kì 2 142

5.3.3 Chuỗi Fourier cho hàm khả tích trên [a, b] 145

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 149

TÀI LIỆU THAM KHẢO 151

Chương 1 HÀM HAI BIẾN

Mỗi tập hợp con D trong R2 được gọi là một tập hợp phẳng (hay miền phẳng) Tập

hợp phẳng D thường được biểu diễn qua hệ thức:

( , )x y R : i( , )x y  0 0 ,i1,n tức là mỗi điểm M(x,y)  D sẽ thỏa mãn các bất đẳng thức dạng  i( , )x y  0 0

( x, y )R : x y 1 - là miền trong đường tròn x 2 + y 2 = 1 2) D =( , )x y R 2:x 2y 2 1; y 2 2x (hình 1.1)

Hình 1.1

1.1.1.3 Các khái ni ệm liên quan

Khoảng cách giữa hai điểm: Cho điểm M(x 1 , y 1 ), N(x 2 , y 2 )  R 2

Khoảng cách giữa hai điểm M, N ký hiệu là d(M,N) được xác định bởi công thức:

  2

2 1 2 2

Điểm trong: Điểm M0 D gọi là điểm trong của D nếu tồn tại một  - lân cận của

M 0 nằm hoàn toàn trong D.

Điểm biên: Điểm M 0 gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận của M 0 đều chứa

những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D.

Tập đóng: Tập D chứa mọi điểm biên của nó gọi là tập đóng.

Tập bị chặn: Tập D gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình tròn chứa nó.

1.1.2 Khái niệm hàm hai biến

1.1.2 1 Định nghĩa

Cho miền D trong R 2 Nếu tương ứng mỗi điểm M(x,y)  D với một giá trị duy nhất

z  R theo một quy luật f, thì f được gọi là hàm số thực của hai biến x và y xác định trên

D Kí hiệu: z = f(x, y), D gọi là tập xác định.

+) Nếu hàm f(x,y) không nói đến miền xác định thì ta phải hiểu tập xác định của f(x,y) là tập tất cả các cặp (x, y)  R 2

sao cho biểu thức f(x, y) có nghĩa.

+) Tập giá trị của hàm z = f(x, y) là tập tất cả các z  R thỏa mãn z = f(x, y) với (x,y)

1.1.2.2 Bi ểu diễn hình học của hàm hai biến

Trong hệ tọa độ Đề-các Oxyz, hàm z = f(x, y) xác định trên miền D Như vậy với mỗi điểm M(x,y)  D sẽ cho tương ứng duy nhất một điểm P(x,y,z) với z = f(x, y) Khi

M chạy trong D thì điểm P di chuyển trong không gian sẽ vạch nên một mặt S (thông thường là mặt cong) Mặt S được gọi là đồ thị của hàm hai biến z = f(x, y).

1.2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN

1.2.1 Giới hạn hàm hai biến

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong lân cận điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) (có thể không xác định tại M 0 ) Giá trị L gọi là giới hạn của f(x,y) khi (x,y)  (x 0 ,y 0 ) nếu:

 > 0 cho trước   =   > 0 sao cho:  (x,y)   U   M o : f(x,y) L 

Ký hiệu:

0 0







Nhận xét: Quá trình điểm M(x, y) → M 0 (x 0 , y 0 ) thì x →x 0 và y → y 0 độc lập với

nhau Vì vậy nếu cho M(x,y) →M 0 (x 0 ,y 0 ) theo hai hướng khác nhau mà z = f(x, y) tiến

tới hai giá trị khác nhau thì không tồn tại giới hạn:

0 0

+) Nếu hàm f(x,y) là hàm sơ cấp của hai biến x và y thì hàm số có giới hạn tại mọi

điểm mà nó xác định và giới hạn này bằng đúng giá trị của hàm tại điểm đó

1.2.2 Sự liên tục của hàm hai biến

Cho hàm số z = f(x, y) xác định tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) và lân cận điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) Ta nói hàm f(x, y) liên tục tại M 0 nếu

0 0

Khi đó điểm M 0 gọi là điểm liên tục của hàm số Ngược lại hàm số không liên tục

tại điểm M 0 thì M 0 là điểm gián đoạn của hàm số

Ví d ụ: Nếu f(x, y) là hàm số sơ cấp của hai biến x, y thì f(x, y) sẽ liên tục tại mọi

điểm thuộc miền xác định của nó

1.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM HAI BIẾN

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp 1

1.3.1.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D Điểm M 0 (x 0 , y 0 )  D.

Cho x 0 số giax khi đó nhận được số gia tương ứng:

 x f = f(x 0 + x, y 0 ) - f (x 0, y 0 )

Nếu tồn tại x

x 0

f lim x

 



 = L hữu hạn thì giới hạn L được gọi là đạo hàm riêng theo biến

x của hàm z = f(x, y) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).

Ký hiệu: Lzxx , y 0 0, hay L f xx , y 0 0, hoặc L =  0 0

f

x , y x

1.3.1.2 Quy t ắc tính đạo hàm riêng cấp một

Khi tính đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến (hay hàm nhiều biến) theo mộtbiến nào đó thì ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các công thức, các quy tắctính đạo hàm như của hàm một biến đối với biến đã chọn

Giả sử hàm z = f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1: f x, f y trên D Khi đó nếu f x, f y

lại có các đạo hàm riêng theo biến x và y thì các đạo hàm riêng này được gọi là đạo hàm

riêng cấp 2 của hàm số z = f(x, y).

Có 4 đạo hàm riêng cấp 2 (được định nghĩa và có các ký hiệu sau):

Xét hàm z = f(x, y) Nếu tồn tại một lân cận của điểm M 0 để hàm số z = f(x,y) có các

đạo hàm riêng cấp 2: fxy  , fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M 0 thì

f ( M )  f ( M )

Tất cả các hàm số xét trong chương trình học đều thỏa mãn định lý trên

Ví d ụ: Tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 của các hàm số:

- Hoàn toàn tương tự cho các ví dụ còn lại.

Như vậy: nếu f(x, y) là hàm sơ cấp của các biến ta luôn có kết quả fxy  fyx tức là

đạo hàm riêng các cấp của f(x, y) sẽ không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm.

1.3.3 Vi phân toàn phần và ứng dụng

1.3.3.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D Điểm M 0 (x 0 , y 0 )  D.

Cho x 0 số giax và y 0 số giay Khi đó nhận được số gia của hàm số:

f = f(x 0 + x, y 0 + y) - f (x 0 , y 0 )

Nếu f có thể biểu diễn được dưới dạng:

f = Ax + By +( ) với 2 2

   trong đó A, B là hằng số chỉ phụ thuộc x 0 , y 0 và   ( ) là VCB cấp cao hơn  khi

 → 0 thì biểu thức Ax +By gọi là vi phân toàn phần của z = f(x, y) tại điểm

=>  () là VCB cấp cao hơn  khi  → 0

Vậy z = xy khả vi tại M(1, 2) và df = 2 x +y

Ví d ụ: Tính biểu thức vi phân toàn phần của:

a) z = xy dz ydxxdy

b) z = 3cosxy dz 3 y sin( xy) dx - 3x sin( xy) dy

c) z = 2x 2 cosy + e xy 2 => dz = (4x cosy + y 2 e xy 2 ) dx + (2xy e xy 2 - 2x 2 siny) dy d) z = (x + cosy) 3x =>

Công thức trên gọi là công thức tính gần đúng nhờ vi phân toàn phần.

Như vậy, với x = x0 x , y = y0 y thì giá trị của hàm f(x,y) tại điểm M(x, y) khá gần M 0 (x 0 , y 0 ) - sẽ được tính thông qua các giá trị của hàm số và các đạo hàm riêng

Chọn điểm Mo(xo, yo) sao cho giá trị của hàm và các đạo hàm riêng của nó tại điểm

M0 có thể tính được thuận lợi Từ đó xác định số gia của các đối số:  x, y

 

1.3.4 Quy tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng

+ Giả sử hàm z = f(x,y) là hàm khả vi theo các biến x và y, trong đó x = x(t) và

y = y(t) cũng là các hàm khả vi theo biến t Khi đó hàm z là hàm khả vi theo t Đạo hàm

c ủa z theo t sẽ được tính:

+ Giả sử hàm z = f(x,y) là hàm khả vi theo các biến x và y, trong đó x = x(u,v) và y

= y(u,v) cũng là các hàm khả vi theo biến u và v Khi đó hàm z là hàm khả vi theo u và

v Đạo hàm riêng của z theo u và v sẽ được tính:

+ Tổng quát: Giả sử z = f(x 1 , x 2 , , x n ) là hàm khả vi của các biến x 1 , , x n Trong đó

các biến x i = x i (t 1 , t 2 , , t m ) là các hàm khả vi của M biến t 1 , , t m

Khi đó z cũng là hàm khả vi của các biến t 1 , , t m và đạo hàm riêng của z theo các

bi ến t j s ẽ là:

1 Định lý: Nếu hàm F(x,y) xác định và có các đạo hàm riêng theo x và y tại lân cận

của x 0 và y 0 và thỏa mãn điều kiện: F yx , y 0 0  , thì phương trình F(x,y) = 0 sẽ xác 0 định trong lân cận nào đó của x 0 một hàm ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số f(x) này sẽ thỏa mãn f(x 0 ) = y 0 và có đạo hàm liên tục tại x0 Khi đó ta cũng có:

0 0 0

Giải: Giao điểm của đường cong với trục tung thỏa mãn x = 0, do đó tung độ các

giao điểm là nghiệm của phương trình: y3   y 0 y 0, y 1

Như vậy tiếp tuyến đi qua các điểm trên đồ thị: M 1 (0,0), M 2 (0, -1), M 3 (0, 1)

Hệ số góc của tiếp tuyến qua các điểm Mi này sẽ là y'(Mi)

 3

0 0

Cho hàm z = f(x, y) xác định trong miền D M(x 0 , y 0 ) là một điểm trong của D.

Hàm z = f(x, y) gọi là đạt c ực đại (CĐ) tại M0 nếu tồn tại một lân cận U của M 0sao

cho f(x, y) ≤ f(x 0 , y 0 ) với  (x, y)U Điểm M 0 gọi là điểm cực đại của hàm z = f(x,y).

Hàm z = f(x, y) gọi là đạt cực tiểu (CT) tại M 0 nếu tồn tại một lân cận U của M 0sao

cho f(x, y)  f(x 0 , y 0 ) với  (x, y) U Điểm M 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm z = f(x, y).

Hàm z = f(x, y) đạt cực đại hay cực tiểu tại M 0 gọi là hàm đạt cực trị tại M 0

Điểm cực đại hay cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

1.4.2 Định lý 1 (Điều kiện cần của cực trị)

Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M 0 và tại M 0 tồn tại các đạo hàm riêng hữu hạnthì các đạo hàm riêng ấy bị triệt tiêu, tức là: f (M ) x 0  f (M ) y 0 0

Nh ận xét: Từ định lý này ta thấy để xét cực trị chỉ cần xét tại những điểm đạo hàm

riêng bị triệt tiêu và những điểm không tồn tại đạo hàm Những điểm đó gọi chung là

điểm tới hạn hay điểm dừng của hàm số.

1.4.3 Định lý 2 (Điều kiện đủ của cực trị)

Giả sử hàm z = f(x, y) xác định trong miền D, điểm M 0 (x 0 , y 0 ) nằm trong D.

Nếu hàm z = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong lân cận của M 0 và

0 Chưa kết luận được về điểm M0 Điểm M0 gọi làđiểm nghi ngờ.

1.4.4 Quy tắc tìm cực trị địa phương

3) zx 33xy 230 x 18 y 1  4) z  x 42 y 414 x 2y 224 x 15) zx 28 xy4 y 310 y 1 6) z2 y 3 3xy 2 2x 33x 2

y y

x y

Hàm số có 4 điểm dừng M 1 (1, 3); M 2 (3, 1); M 3 (-1, -3); M 4 (-3, -1).

Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M 2 (3, 1) và đạt cực đại tại M 4 (-3, -1).

- Cách làm tương tự cho các phần ví dụ còn lại

1.4.5 Cực trị có điều kiện Phương pháp nhân tử Lagrange

Trong thực tế, ta gặp rất nhiều bài toán dẫn đến tìm cực trị của một hàm nhiều biến

và hàm này phải chịu một số các ràng buộc nào đó Nếu các ràng buộc này ở dạng cácđẳng thức liên hệ giữa các biến thì một trong các phương pháp giải là phương pháp nhân t ử Lagrange Ta có thể hiểu phương pháp trên thông qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và nội tiếp trong nửahình tròn bán kính bằng a

Giả sử nửa đường tròn có phương trình

y  a x (1)

Một đỉnh M của hình chữ nhật nằm trên góc

(I) Do vậy có được diện tích chữ nhật S = 2x.y(2)

Bài toán dẫn đến: tìm cực đại của S = 2x.y với điều kiện: x và y thỏa mãn điều kiện(1) Trong trường hợp bài toán này, ta thay (1) vào (2) và đưa về bài toán tìm trị lớnnhất của hàm

S = 2.x a2x2 với -a ≤ x ≤ a

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ràng buộc (1) không ở dạng y là hàm của x hoặc

x không là hàm của y, và hơn thế nữa, bài toán có thể có nhiều các ràng buộc Do vậy taphải tìm cách giải khác cho bài toán dạng tổng quát này

Cho hàm số y = f(x1, x2, , xn) xác định trong không gian Rn Cần giải quyết bài toán:

y = f(x 1 , x 2 , , x n )  min (Max) (I.1)

chịu M các ràng buộc:

( , , , )( , , , )

Chú ý rằng hệ phương trình (I.3) - (I.4) nói chung là hệ phi tuyến

Trở lại ví dụ trên, ta có S = f(x,y) = 2xy và ràng buộc có dạng

Thay (c) vào (a) và (b) dẫn đến: 2y  x 0

1.5 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT (TỐI THIỂU)

Trong khoa học kĩ thuật, ta thường gặp bài toán: tìm mối liên hệ giữa hai đại lượngbiến thiên x và y Mối quan hệ đó được biểu diễn dưới dạng hàm số thông qua một loạt

các thí nghiệm đo đạc Hàm số đó gọi là hàm th ực nghiệm.

Chẳng hạn: mối liên hệ giữa chiều cao h và tuổi của cây, hay là mối liên hệ giữa thểtích của cây với đường kính thân cây khi cây ở độ cao 1,3 mét

Có nhiều phương pháp xây dựng hàm số từ các số liệu thực nghiệm và một trongcác phương pháp đó làphương pháp bình phương bé nhất.

F(x)  f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n

hoặc có thể xấp xỉ F(x) bằng một tổng có dạng chuỗi Fourier:

F(x)  f(x) = a 0 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2 x + b 2 sin2x + + a n cosnx + b n sinnx

Trong các dạng xấp xỉ trên hàm f(x) có chứa các tham số a1, a2, , b1, b2, chưa biết.Đặt   i f ( x ) i y i gọi là độ lệch giữa điểm lý thuyết N i (x i , f(x i )) và điểm thực nghiệm M i (x i , y i ).

U  f ( x )y  f ( x )y   f ( x )y (1.1)

 U được gọi là tổng bình phương các độ lệch.

Yêu cầu đặt ra: xác định các tham số trong y = f(x) sao cho tổng bình phương các

độ lệch U là nhỏ nhất.

Ta có thể mô tả phương pháp trên bằng cách sau:

Trong mặt phẳng Oxy, có các điểm thực nghiệm Mi(xi, yi)

Hình 1.6 Cần xác định các hệ số trong f(x) để cho tổng bình phương khoảng cách từ các điểm thực nghiệm M(x i , y i ) đến đường cong y = f(x) là nhỏ nhất, với điều kiện này ta có thể thay bằng tổng bình phương các độ lệch tung độ giữa hàm f(x) lý thuyết và thực nghiệm tại các điểm M(x i , y i ) là nhỏ nhất.

Phương pháp tìm hàm thực nghiệm như trên gọi là phương pháp bình phương

bé nhất

1.5.2 Phương pháp bình phương bé nhất

Đa thức suy rộng - nội dung của phương pháp bình phương bé nhất

Cho hệ hàm số {1(x),  2 (x), ,  m (x) } trong đó các hàm số  k (x) đã được biết.

Thay các giá trị x ivào các hàm  k (x) thì ta được các véc tơ  k ( x ):

1 ( x )

 = (  1 (x 1 ),  1 (x 2 ),  1 (x 3 ), ,  1 (x n ))

2 ( x )

 = (2(x1), 2(x2), 2(x3), ,2(xn)) (1.2)

m

U

0 a

U

0 a

U

0 a

U

0 a

n

yy

Y y

là tích vô hướng của hai véc tơ  r và  s)

Như vậy việc xác định các a k được đưa về giải một hệ phương trình đại số tuyếntính với ma trận hệ số B - là một ma trận đối xứng, và vế phải là ma trận C

Trong thực tế người ta thường sử dụng hệ hàm { k (x)} là các đa thức đại số:

Khi đó, đường thẳng y = a 0 + a 1 x tìm được là đường thẳng tốt nhất theo phương

pháp bình phương tối thiểu

Ví dụ 1: Giả sử y = a0 + a 1 x Hãy xác định a và b theo phương pháp bình phương

bé nhất, biết kết quả thực nghiệm được cho trong bảng sau:

b) yaebx đưa về dạng Y  AX B trong đó Y = lny, X = x, A = -b, B = lna.

Ví dụ 4: (sinh viên tự giải)

Giả sử y = ax2 + b Hãy lập hệ phương trình xác định a và b theo phương pháp bìnhphương bé nhất và xác định a, b biết kết quả thực nghiệm được cho trong bảng sau:

1.5.4 Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho hàm nhiều biến

Giả sử đại lượng U = U(x,y,t), trong đó x, y, t là các biến độc lập Qua thực nghiệm,

có được giá trị của U phụ thuộc vào giá trị của x, y, t theo bảng:

Từ số liệu trên, muốn có được quan hệ hàm số U = U( x, y,t ) sao cho tổng bình

phương sai lệch tại các điểm M i (x i , y i , t i ) giữa giá trị U i và U( x, y,t ) là nhỏ nhất, tức là

Điều kiện này sẽ dẫn đến các hệ số a 0 , , a 9được xác định theo các bước sau:

Bước 1 Gọi các hàm  i ( x, y,t ) với 01 , 1x, 2y, 3 t

Bước 2 Tính các giá trị của các hàm  ( M ), i i   1 n, các giá trị này lập thành

ma trận F Giá trị thực nghiệm của U tại các điểm M i lập thành ma trận cột U

U

U

a a A

Giải: Từ số liệu thực nghiệm cho trên bảng, ta có được ma trận F và ma trận cột U:

Ma trận nghịch đảo B -1 và ma trận cột A là ma trận hệ số a k

Ma trận nghịch đảo B -1 Hệ số A

120 -3,3 -9 -6,0E-01 1,3E-01 1,6E-01 4,1E-03 6,9E-02 7,7E-03 1,4E-02 41,57 -3,3 6,7E-1 1,3E-01 6,0E-03 -2,7E-02 -1,3E-03 3,42E-05 -1,4E-02 -1,5E-03 -9,8E-17 22,09 -9 1,3E-1 7,0E-01 2,1E-02 -6,5E-03 -1,3E-02 -1,4E-04 -2,8E-03 4,7E-16 -0,00056 -3,91 -0,6 6,0E-3 2,1E-02 2,9E-02 1,5E-04 -1,4E-04 -2,6E-04 1,2E-16 -3,1E-04 -0,00056 2,69 0,13 -2,7E-2 -6,5E-03 1,5E-04 2,7E-03 1,3E-04 -2,9E-06 -4,2E-17 -8,9E-18 5,5E-18 -3,13 0,16 -1,3E-3 -1,3E-02 -1,4E-04 1,3E-04 2,7E-04 2,8E-06 -4,7E-17 -9E-18 1,2E-17 3,18 4,1E-03 3,4E-5 -1,4E-04 -2,6E-04 -2,9E-06 2,8E-06 5,17E-06 -1,3E-18 -2,2E-19 2,2E-19 -5,00 6,9E-02 -1,4E-2 -2,8E-03 1,2E-16 -4,2E-17 -4,7E-17 -1,3E-18 5,5E-4 -9,3E-19 1,6E-18 5,67 7,7E-03 -1,5E-3 4,7E-16 -3,1E-04 -8,9E-18 -8,9E-18 -2,2E-19 -9,3E-19 6,17E-05 6,7E-20 -4,22 1,4E-02 -9,8E-17 -5,6E-04 -5,6E-04 5,5E-18 1,2E-17 2,18E-19 1,6E-18 6,7E-20 2,2E-05 0,97

Kết quả được giá trị các hệ số ak

thuyết 1131 1502 2893 3604 -5955 -6344 -3903 -3952 -305 -248 -438 1305 -1603 -5897 2400

1.5.5 Phương pháp thực hành khi sử dụng EXCEL

Phương pháp bình phương bé nhất là tìm các giá trị của các hệ số trong biểu diễnhàm số

số còn lại) Ta gọi ma trận F là ma trận cỡ n  m, có cột thứ k là các thành phần của véc

tơk( x ) lấy tại các điểm x i(i =1 n ) Ma trận F có dạng:

303480 111032 7312785904

, ,