Đây là học phần thứ hai của bộ môn giải tích, được giảng dạy cho sinh viên ngành Sư phạm Toán vào học kỳ 4. Học phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phép tính tích phân hàm nhiều biến và phương trình vi phân thường; Rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng tính đạo hàm, tích phân, xét tính khả vi, liên tục của các hàm số, giải một số phương trình vi phân quen thuộc; Giúp cho sinh viên có những hiểu biết sâu sắc hơn những kiến thức đã học trong học phần Giải tích 1 và cung cấp cho họ các kiến thức cơ sở để học tiếp các học phần khác của bộ môn Giải tích, Xác suất và Hình học Trình bày được tính liên tục, khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng số và cận hàm số; Biết vận dụng để xét tính liên tục, khả vi, khả tích và tính giới hạn, đạo hàm, tích phân. 3 1.3.1 G1.2 Trình bày được khái niệm hội tụ đều, dấu hiệu hội tụ đều, tính liên tục, khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn; Biết vận dụng để tính giới hạn, đạo hàm, tích phân, xét tính liên tục, khả vi, khả tích. 3 1.3.1 G2.1 Trình bày được các định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân bội. Chứng minh được một vài tính chất đơn giản. 3 1.3.1 G2.2 Biết vận dụng Định lý Fubini để tính tích phân 2 và 3 lớp. 3 1.3.1 G2.3 Biết vận dụng các công thức đổi biến để tính tích phân bội. 3 1.3.1 G2.4 Biết vận dụng Định lý Lebesgue để xét tính khả tích của một số lớp hàm quen thuộc. 2.5 1.3.1 G2.5 Ứng dụng tích phân bội để tính diện tích, thể tích, diện tích mặt cong, tìm tọa độ trọng tâm và khối lượng vật thể. 3 1.3.1G3.1 Trình bày được các định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân đường loại 1, loại 2; tích phân mặt loại 1, loại 2. 3 1.3.1 G3.2 Tính được tích phân đường loại 1, loại 2, tích phân mặt loại 1, loại 2. 3 1.3.1 G3.3 Phát biểu được công thức Green, Định lý 4 mệnh đề tương đương và biết áp dụng để tính tích phân đường loại 2 và tính diện tích hình phẳng. 2.5 1.3.1 G4.1 Trình bày được các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân, nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị, đường cong tích phân. 3 1.3.1 G4.2 Nhận dạng và giải được các phương trình vi phân cấp 1 quen thuộc. 3 1.3.1 G4.3 Giải được phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số. 3 1.3.1 G4.4 Áp dụng phương trình vi phân để giải quyết các bài toán tìm đường cong.
Trang 1KIỀU PHƯƠNG CHI - NGUYỄN HUY CHIÊU - NGUYỄN VĂN ĐỨC
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2
NGHỆ AN, 2018
Trang 2GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2
(DÙNG CHO ĐÀO TẠO CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC)
NGHỆ AN, 2018
Trang 3Lời nói đầu 6
1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi 10
1.1.1 Tính liên tục 10
1.1.2 Tính khả vi 12
1.1.3 Tính khả tích 15
1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm của tham số 17
1.2.1 Tính liên tục 17
1.2.2 Tính khả vi 19
1.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận 22
1.3.1 Sự hội tụ đều 22
1.3.2 Tính liên tục 26
1.3.3 Tính khả tích 28
1.3.4 Tính khả vi 29
Chương 2 Tích phân bội 38 2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân bội 39
2.1.1 Tích phân bội và điều kiện cần để hàm khả tích 39
2.1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích 45
2.1.3 Các tính chất cơ bản của tích phân bội 51
2.2 Chuyển tích phân bội về tích phân lặp 58
3
Trang 42.2.1 Định lí Fubini 58
2.2.2 Các ví dụ 63
2.3 Đổi biến trong tích phân bội 66
2.3.1 Công thức đổi biến 67
2.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực 70
2.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ 75
2.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu 78
2.4 Ứng dụng của tích phân bội 81
2.4.1 Tính diện tích hình phẳng 81
2.4.2 Tính thể tích của vật thể 83
2.4.3 Tính diện tích mặt cong 85
2.4.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm vật thể 89
Chương 3 Tích phân đường và tích phân mặt 102 3.1 Tích phân đường loại 1 103
3.1.1 Đường cong 103
3.1.2 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 1 104
3.1.3 Định nghĩa tích phân đường loại 1 105
3.1.4 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 1 106
3.1.5 Tính chất của tích phân đường loại 1 109
3.2 Tích phân đường loại 2 116
3.2.1 Bài toán dẫn đến tích phân đường loại 2 116
3.2.2 Định hướng đường cong 118
3.2.3 Định nghĩa tích phân đường loại 2 119
3.2.4 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 2 120
3.2.5 Tính chất của tích phân đường loại 2 121
3.2.6 Mối liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2123 3.2.7 Công thức Green 123
Trang 53.2.8 Định lí bốn mệnh đề tương đương 131
3.3 Tích phân mặt loại 1 136
3.3.1 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 136
3.3.2 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 1 137
3.3.3 Các tính chất của tích phân mặt loại 1 139
3.4 Tích phân mặt loại 2 143
3.4.1 Định hướng mặt 143
3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 2 144
3.4.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 2 145
3.4.4 Công thức Ostrograsky và công thức Stokes 147
3.5 Một số khái niệm và tính chất từ lý thuyết trường 151
3.5.1 Tích vô hướng và tích có hướng 151
3.5.2 Trường vô hướng và trường vectơ 151
3.5.3 Gradient của trường vô hướng 152
3.5.4 Divergent của trường vô hướng 152
Chương 4 Phương trình vi phân 157 4.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 158
4.1.1 Khái niệm phương trình vi phân 158
4.1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy 159
4.2 Phương trình vi phân cấp một 160
4.2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản 160
4.2.2 Phương trình có biến số phân ly 167
4.2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp 170
4.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 174
4.2.5 Phương trình Bernoulli 176
4.2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân 178
4.2.7 Phương trình Riccati 185
Trang 64.2.8 Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut 188
4.3 Phương trình vi phân cấp hai 191
4.3.1 Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai 191
4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai có thể hạ cấp 193
4.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 204
4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng 215
4.4 Hệ phương trình vi phân cấp một 222
4.4.1 Các khái niệm cơ bản 222
4.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 228
Trang 7Giáo trình này là phần tiếp theo của Giáo trình Giải tích 1 Nó được biên soạntheo đề cương chi tiết học phần Giải tích 2 trong khung chương trình đào tạo đạihọc chính qui theo hướng tiếp cận CDIO dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toántrường Đại học Vinh.
Nội dung của giáo trình bao gồm phép tính tích phân hàm nhiều biến và phươngtrình vi phân thường, được chia thành 4 chương Chương 1 trình bày về tích phânphụ thuộc tham số, do PGS.TS Đinh Huy Hoàng trực tiếp biên soạn Chương 2 đềcập đến các kết quả cơ bản về tích phân bội, do TS Nguyễn Huy Chiêu đảm nhiệm.Chương 3 được dành để giới thiệu nội dung về tích phân đường và tích phân mặt,
do PGS TS Kiều Phương Chi phụ trách Chương 4 trình bày nội dung về phươngtrình vi phân, do TS Nguyễn Văn Đức biên soạn PGS TS Đinh Huy Hoàng là chủbiên, chịu trách nhiệm chính chất lượng, nội dung và hình thức của giáo trình.Các kiến thức trong giáo trình này giúp sinh viên hiểu sâu hơn bản chất củanhiều vấn đề đã học trong học phần Giải tích 1 mà sinh viên sẽ giảng dạy ở trườngphổ thông sau này và làm cơ sở cho sinh viên học tập tiếp các học phần khác trongchương trình đào tạo Với nội dung này, giảng viên lên lớp 60 tiết và yêu cầu sinhviên tự học, tự nghiên cứu 120 tiết Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên trongquá trình tự học, tự nghiên cứu, chúng tôi cố gắng biên soạn giáo trình tương đốiđầy đủ, chặt chẽ với nhiều ví dụ minh họa, đồng thời có thêm phần "Hướng dẫn giảibài tập" ở cuối giáo trình
Để lĩnh hội được nội dung của giáo trình này người đọc một mặt cần phải nắmđược những kiến thức cơ bản của Học phần Giải tích 1, mặt khác cần nỗ lực, cố gắng
tự học, tự nghiên cứu bám sát mục tiêu của mỗi chương Giáo trình này được biên
7
Trang 8soạn dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán trường Đại học Vinh, nhưng cũng cóthể là tài liệu tham khảo tốt cho những người đang học tập và giảng dạy phần Giảitích cổ điển trong các trường đại học.
Mặc dù chúng tôi đã cố gắng nhưng chắc chắn giáo trình có thể vẫn còn sai sót.Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của người đọc để giáo trình được hoànthiện hơn Các ý kiến góp ý xin được gửi về Viện Sư phạm Tự nhiên, hoặc Nhà xuấtbản Trường Đại học Vinh, số 182 Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An
Xin trân trọng cảm ơn
Các tác giả
Trang 9TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ
Học xong chương này, sinh viên có thể:
Trình bày được các định lí về tính liên tục, khả vi, khả tích của tích phânphụ thuộc tham số với cận là hằng số; Biết vận dụng các định lí này để giảiquyết các bài toán về xét tính liên tục, khả vi, khả tích và các bài toán tínhgiới hạn, đạo hàm, tích phân;
Trình bày được các định lí về tính liên tục, khả vi của tích phân phụ thuộctham số với cận là hàm của tham số; Biết vận dụng các định lí này để giảiquyết các bài toán về xét tính liên tục, khả vi và các bài toán về tính giớihạn và đạo hàm;
Phát biểu được định nghĩa về sự hội tụ đều của tích phân phụ thuộc tham
số với cận vô tận; Trình bày được các định lí về dấu hiệu hội tụ đều, tínhliên tục, khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận;Biết vận dụng các định lí này để giải quyết các bài toán về xét tính liên tục,khả vi, khả tích và các bài toán về tính giới hạn, đạo hàm và tích phân.Mục tiêu chương
9
Trang 101.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi
Giả sử A ⊂ R và f : [a, b]×A → R Với mỗi α ∈ A, ta xác định hàm fα: [a, b] → Rbởi
fα(x) = f (x, α) ∀x ∈ [a, b]
Nếu với mỗi α ∈ A, hàm fα khả tích trên [a, b] thì tồn tại hàm I : A → R với
I(α) =
Z b a
Hàm I(α) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số (với các cận là hằng số)
Mục này sẽ khảo sát các tính chất liên tục, khả vi và khả tích của tích phân phụthuộc tham số I(α) cho bởi công thức (1.1) với a, b ∈ R là các hằng số và A = [c, d]
Chứng minh Vì f (x, α) là hàm số liên tục trên tập ∆ = [a, b] × [c, d] nên với mỗi
α ∈ [c, d] hàm số fα liên tục trên [a, b] và do đó tồn tại I(α) = Rabf (x, α)dx Do fliên tục trên tập compact ∆ nên, theo Định lý Cantor, hàm f liên tục đều trên ∆
Từ đó suy ra với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |f (x, α + h) − f (x, α)| < b−aε , vớimọi x ∈ [a, b], α ∈ [c, d] và h ∈ (−δ, δ) thỏa mãn α + h ∈ [c, d] Vì vậy, ta có
=
Trang 11
Giải Ta có f (x, α) = x2cos αx là một hàm số liên tục trên miền [0, 2] × [−1, 1].
Vì thế, theo Định lí 1.1.1.1, hàm số I(α) = R02f (x, α)dx = R02x2cos αxdx liên tụctrên đoạn [−1, 1] Từ đó suy ra
lim
α→0
Z 2 0
x2cos αxdx = lim
α→0I(α) = I(0) =
Z 2 0
I(α) =
Z 1 0
f (x, α)dx =
Z 1 0
sin x
αx2+ 1dxliên tục trên đoạn [−12,12] Do đó, ta có
sin xdx = − cos x|10 = 1 − cos 1.3) Xét tính liên tục của hàm số
I(α) =
Z 1 0
αf (x)
x2+ α2dx =
Z 1 0
g(x, α)dx
Trang 12liên tục trên [c, d] Vì thế, I(α) liên tục tại α0.
b) Trường hợp α0 = 0: Rõ ràng ta có I(0) = 0 Vì f (x) là hàm số liên tục vàdương trên [0, 1] nên m := min
x∈[0,1]f (x) > 0 Do đó, với mỗi α > 0, ta cóI(α) =
Z 1 0
αf (x)
x2+ α2dx >
Z 1 0
αm
x2+ α2dx = m arctanx
α
x=1 x=0 = m arctan1
Điều này chứng tỏ I(α) không liên tục tại α0 = 0
Vậy hàm số I(α) liên tục tại mọi α ∈ R\{0}, nhưng không liên tục tại α = 0.Chú ý: Nếu f : A → R là một hàm số liên tục trên tập compact A ⊂ Rn thì f liêntục đều trên A theo nghĩa: với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |f (x) − f (u)| < ε vớimọi x, u ∈ A mà |x − u| < δ (định lí Cantor1)
1.1.2 Tính khả vi
Định lí sau đây cung cấp một điều kiện đủ để tích phân phụ thuộc tham số vớicận không đổi khả vi và giới thiệu công thức tính đạo hàm của tích phân này theobiến tham số
1.1.2.1 Định lí Cho f : [a, b] × [c, d] → R, (x, α) 7→ f (x, α), là một hàm số liêntục theo biến thứ nhất với mỗi α ∈ [c, d] và khả vi theo biến thứ hai với mỗi x ∈ [a, b](a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d) Giả sử hàm số fα0 : [a, b] × [c, d] → R liên tục, ở đây
fα0(x, α) là đạo hàm riêng của hàm số f tại điểm (x, α) theo biến thứ hai Khi đó,hàm số I(α) =Rabf (x, α)dx khả vi trên khoảng (c, d) và ta có
I0(α) =
Z b a
Trang 13nó liên tục đều trên ∆ Từ đó suy ra với mỗi số ε > 0 cho trước tồn tại số δ > 0 saocho với mọi α ∈ (c, d) và mọi h ∈ R mà |h| < δ ta có α + h ∈ (c, d) và
|fα0(x, α + h) − fα0(x, α)| < ε
b − a ∀x ∈ [a, b] (1.3)Bây giờ, cố định α ∈ (c, d) và lấy bất kỳ h ∈ R mà |h| < δ ta có
I(α + h) − I(α) =
Z b a
fα0(x, α)dx
=
...
2< sup>ln
α2< /sup>
1 + α2< /small> .2) Khảo sát tính khả vi tính đạo hàm (nếu tồn tại) hàm số
I(α) =
Z 1 0
ln x2< /sup>dx... x2< /small>dx = 12< /sub>R
√ π
0 sin x2< /small>dx2< /small> = −12< /sub>cos x2< /small>|
√... class="text_page_counter">Trang 21
Tương tự,
lim
h→0
1h
ta nhận lại công thức (1 .2)
1 .2. 2.3 Ví dụ Tính I0(α)