Giáo trình : Giải tích 2

Giáo trình : Giải tích 2

Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế

Ngày 26 tháng 9 năm 2006

Mục lục

1.1 Tích phân xác định 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Điều kiện khả tích 5

1.1.3 Tính chất của tích phân xác định 5

1.2 Cách tính tích phân xác định 6

1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz 6

1.2.2 Phương pháp đổi biến số 7

1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 8

1.3 Tích phân suy rộng 8

1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 8

1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 10

1.4 Ứng dụng của tích phân xác định 12

1.4.1 Tính diện tích hình phẳng 12

1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 12

1.4.3 Tính thể tích vật thể 12

1.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 13

1.5 Thực hành tính toán trên Maple 13

1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong 13

1.5.2 Tính tích phân xác định Ra b f (x)dx 13

1.5.3 Ứng dụng tích phân xác định 15

1.5.4 Tìm nguyên hàm của hàm y = f (x) 16

1.6 Bài tập 16

Chương 2 Dãy hàm và Chuỗi hàm 19 2.1 Dãy hàm 19

2.1.1 Các định nghĩa 19

2.1.2 Tính chất của dãy hàm hội tụ đều 20

2.2 Chuỗi hàm 21

2.2.1 Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ 21

2.2.2 Tính chất của chuỗi hội tụ đều 22

2.2.3 Chuỗi lũy thừa 22

2.2.4 Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa 24

2.3 Chuỗi Fourier 26

2.3.1 Chuỗi lượng giác 26

2.3.2 Chuỗi Fourier 27

2.3.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 28

2.4 Thực hành tính toán trên Maple 29

2.4.1 Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm 29

2.4.2 Khai triển một hàm thành chuỗi 29

2.5 Bài tập 30

Chương 3 Không gian Rn 32 3.1 Không gian vectơ Rn 32

3.1.1 Định nghĩa 32

3.1.2 Tích vô hướng 33

3.1.3 Độ dài vectơ 33

3.2 Hàm khoảng cách và sự hội tụ 34

3.2.1 Hàm khoảng cách trong Rn 34

3.2.2 Sự hội tụ của dãy 34

3.3 Tôpô trên Rn 35

3.3.1 Các khái niệm cơ bản 35

3.3.2 Tập liên thông - Tập compact 37

3.4 Thực hành tính toán trên Maple 38

3.4.1 Vec-tơ và ma trận 38

3.4.2 Các phép toán trên vectơ 39

3.4.3 Các phép toán trên ma trận 40

3.5 Bài tập 41

Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0, y1, · · · , y k }, được gọi là thô hơn phân

hoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P , tức là với mọi j, tồn tại i sao cho y j = x i

Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trị

δ(P ) = max{x i − x i−1 | 1 ≤ i ≤ n}.

Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q.

Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b] Với mỗi phân hoạch P = {x0, x1, · · · , x n }

của đoạn [a, b] ta đặt

M i := sup{f (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}, m i := inf{f (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}; 1 ≤ i ≤ n.

Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt là

Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng này

Mệnh đề 1.1 Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn [a, b], thì

Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Giả sử P, Q ∈ P[a, b] sao cho Q ⊂ P Lúc đó

S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q).

Bổ đề 1.2 Với mọi P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q).

Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu

và gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b].

Trong trường hợp a = b dễ thấy

1.1.2 Điều kiện khả tích.

Định lý 1.2 Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi ² > 0,

tồn tại một phân hoạch P ∈ P[a, b] sao cho

S ∗ (f ; P ) − S ∗ (f ; P ) < ².

Hệ quả 1.1 Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích.

Hệ quả 1.2 Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm,

đều khả tích.

Hệ quả 1.3 Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích.

Định lý 1.3 Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi

lim

δ(P )→0 (S ∗ (f ; P ) − S ∗ (f ; P )) = 0.

Giả sử P = {x0, x1, · · · , x n } là một phân hoạch của đoạn [a, b] Ta chọn tập các

điểm T = {t1, t2, · · · , t n } với t i ∈ [x i−1 , x i] và lập tổng

Định lý 1.5 Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b) Lúc đó f khả tích

trên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa,

khác của a, b, c.

Định lý 1.6 Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó,

Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] Lúc

đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz.

Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khả tích trên [a, t] Ta định nghĩa hàm

a) Hàm Φ liên tục trên [a, b].

b) Nếu f liên tục tại x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó và

Φ0 (x0) = f (x0),

ở đây, nếu x0 trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía.

Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khả

vi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó Dễ thấy rằng nếu f có một nguyên hàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa, tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý.

Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau

Hệ quả 1.7 Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàm

a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β],

b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β].

Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thì

Định lý 1.10 Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn:

a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],

b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f (x) = g(ϕ(x)).ϕ 0 (x) với mọi

x ∈ [a, b].

b a

1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn.

Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a, ∞) và khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] với b > a Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, ∞) là giới hạn sau

Ta nói tích phân suy rộng Ra ∞ f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn,

phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu Ra ∞ |f (x)|dx hội tụ.

Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tíchphân suy rộng Z

Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → ∞ thì ta ký hiệu giới hạn này bởi F (∞) Vậy

Sau đây là một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi

Định lý 1.14 Cho f là hàm không âm trên [a, ∞), khả tích trên mọi khoảng [a, b]

với b > a Lúc đó, Ra ∞ f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập {Ra b f (x)dx | b > a} bị chặn.

Hệ quả 1.10 Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a.

Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, ∞) Lúc đó, nếu Ra ∞ f (x)dx hội tụ thì

R∞

a g(x)dx cũng hội tụ.

Hệ quả 1.11 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b] với

b > a Hơn nữa, tồn tại giới hạn

lim

x→∞

f (x) g(x) ∈ (0, ∞).

Lúc đó, các tích phân Ra ∞ f (x)dx,Ra ∞ g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

Định lý 1.15 Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1, ∞) Lúc đó,

Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy ra chuỗi số

hội tụ khi và chỉ khi β > 1.

1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.

Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b nhưng không bị chặn trong lân cận của b (ta nói b là điểm bất thường của f ) Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau

Ta nói tích phân suy rộng Ra b f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.6) tồn tại hữu hạn,

phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu Ra b |f (x)|dx hội tụ.

Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích

phân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường hoặc cả a và b đều bất thường:

Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy

rộng Ra b f (x)dx là tổng của hai tích phân suy rộng Ra c f (x)dx và Rc b f (x)dx

Nếu F , một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → a (x → b) thì ta cũng ký hiệu giới hạn này bởi F (a) (F (b)) Với cách

ký hiệu như vậy ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng:

Định lý 1.17 Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b−²]

với a < b − ² < b Lúc đó, Ra b f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập hợp sau bị chặn {Ra b−² f (x)dx | 0 < ² < b − a}.

Hệ quả 1.12 Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a <

b − ² < b Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b) Lúc đó, nếu Ra b f (x)dx hội

tụ thì Ra b g(x)dx cũng hội tụ.

Hệ quả 1.13 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²]

với a < b − ² < b Hơn nữa, tồn tại giới hạn

lim

x→b−

f (x) g(x) ∈ (0, ∞).

Lúc đó, các tích phân Ra b f (x)dx, Ra b g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

1.4 Ứng dụng của tích phân xác định.

1.4.1 Tính diện tích hình phẳng.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x); y = f2(x); x = a và

x = b được tính theo công thức sau:

S :=

Z b

a

|f2(x) − f1(x)|dx.

1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng

Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số

(

x = ϕ(t);

y = ψ(t), t ∈ [α, β].

Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β] Độ dài đường cong C lúc đó

được tính bằng công thức sau:

1.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay.

Giả sử F là mặt được tạo thành khi quay cung C = {(x, f (x)) | a ≤ x ≤ b} quanh trục Ox Lúc đó, nếu cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích của mặt F được tính bởi công thức:

1.5 Thực hành tính toán trên Maple.

1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong.

Trước khi thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việcxấp xỉ diện tích hình thang cong bởi tổng diện tích của các hình chữ nhật Ta đã biết,

nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉ

tốt Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox

để minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b] Cụ thể,

Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự,

khi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student

–1.5 –1 –0.5

0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x 1

Hình 1.1: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 4 hình chữ nhật

–1.5 –1 –0.5

0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x 1

Hình 1.2: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 10 hình chữ nhật

[> int(sin(x)/x, x=0 2);

Si(2)

Điều này có nghĩa là máy đã định nghĩa một hàm mới Si(t) = R0t sin(x) x dx Muốn

tính xem Si(2) bằng bao nhiêu ta viết tiếp

[> evalf(%,20);

1.6054129768026948486

Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20chữ số lẻ (nếu không chỉ định rõ độ chính xác, máy sẽ tính với 10 chữ số lẻ).Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định ở trên cũng được dùng để tính cáctích phân suy rộng

Ví dụ:

[> int(1/sqrt(x*(1-x)), x=0 1);

π

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = a

và x = b ta tính tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm |f (x)| (ký hiệu là abs(f(x)) Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x),

y = g(x), x = a và x = b ta dùng lệnh

[> int(abs(f(x)-g(x)), x=a b);

b) Tính độ dài đường cong phẳng

Cho đường cong C trong mặt phẳng có phương trình tham số:

Cho mặt tròn xoay F, được tạo thành khi quay cung C = {(x, f (x)) | x ∈ [a, b]} quanh trục Ox Nếu f khả vi liên tục, ta dùng công thức trong 4.4.4 để tính diện tích của F Cụ thể, ta thực hiện hai lệnh:

phép tìm một nguyên hàm của hàm f (x) thông qua lệnh int

Cú pháp: [> int(f(x), x); (Nếu dùng Int sẽ hiển thị công thức hình thức)

1.6 Bài tập

1.1 Giả sử P n là phân hoạch đều đoạn [0, 1] Hãy tính các tổng Darboux S ∗ (f ; P n),

S ∗ (f ; P n ) của hàm f (x) = x2 và tính giới hạn của các tổng này khi n → ∞.

1.2 Khảo sát tính khả tích của các hàm số sau trên [0, 1]:

1.5 Chứng minh tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho

1.8 Cho f liên tục, không âm trên [a, b] thoả Ra b f (x)dx = 0 Chứng minh f ≡ 0.

1.9 Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] (a < b) vàRa b f (x)dx = 0 Chứng minh rằng

tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

1.10 Cho hàm f khả vi liên tục trên đoạn [−1, 1] sao cho R−11 f (x)dx = 0 Chứng

minh rằng tồn tại c ∈ (−1, 1) sao cho f 0 (c) = 0.

1.11 Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm chỉ khác f tại một số hữu hạn điểm Chứng minh g cũng khả tích.

1.12 Chứng minh một hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn không

quá đếm được, thì khả tích Riemann

1.13 Cho f và g là các hàm khả tích trên [a, b] sao cho g(x) ≥ 0 và m ≤ f (x) ≤ M, với mọi x ∈ [a, b] Chứng minh rằng tồn tại µ ∈ [m, M ] và c ∈ [a, b] sao cho

sin(3 arctan(t) − cos(t) + 5e t )dt; x ∈ R.

b) Khảo sát sự hội tụ của I n.

c) Thiết lập mối quan hệ giữa I n và I n−2 Từ đó, tính I2, I3, · · ·

Rõ ràng, một dãy hội tụ đều thì hội tụ Tuy vậy điều ngược lại không đúng Thật

vậy, ta có thẻ chứng minh được dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụ đều trên [0, ∞) đến hàm f Định lý sau đây sẽ cho ta một tiêu chuẩn để một dãy hàm là hội tụ đều

Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Một dãy hàm (f n ) trên E là hội tụ đều khi và

chỉ khi nó là một dãy Cauchy, theo nghĩa sau

tăng) nếu f n ≤ f n+1 (f n ≥ f n+1 ) với mọi n.

2.1.2 Tính chất của dãy hàm hội tụ đều.

Trong mục này ta luôn xem (f n) là dãy hàm xác định trên một khoảng (đóng

hoặc mở, hữu hạn hay vô hạn) I trên R.

Định lý 2.2 Nếu dãy (f n ) gồm các hàm liên tục trên I, hội tụ đều về hàm f thì f

cũng liên tục.

Sử dụng định lý này ta có thể khẳng định dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụđều(!) Chú ý rằng khẳng định của định lý này chỉ là điều kiện đủ chứ không phảiđiều kiện cần Ta xét thêm ví dụ sau

n ) hội tụ đều trên [a, b] đến hàm g;

b) Tồn tại x0 ∈ [a, b] sao cho dãy số (f n (x0)) hội tụ.

Lúc đó dãy hàm (f n ) cũng hội tụ đều đến một hàm khả vi liên tục trên [a, b] mà chính là nguyên hàm của g Tức là

³lim

2.2 Chuỗi hàm.

2.2.1 Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ.

Giả sử (u k ) là một dãy hàm xác định trên tập E ⊂ R Với mỗi n ∈ N ta lập

Như vậy ta được một dãy hàm mới xác định trên E Nếu dãy hàm (S n) hội tụ đến

một hàm S thì S được gọi là tổng của chuỗi hàm P∞ k=1 u k (x) trên E và ta viết

´

Nếu dãy (S n ) hội tụ đều đến S ta nói chuỗi hàm (2.1) hội tụ đều và nếu chuỗi

P

|u k (x)| hội tụ ta nói chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt đối Rõ ràng một chuỗi hàm hội tụ

tuyệt đối thì hội tụ Định lý sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1

Định lý 2.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm Pu k (x) hội tụ đều trên E khi và

Hệ quả 2.1 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử Pa k là một chuỗi dương hội tụ và

|u k (x)| ≤ a k với mọi k ∈ N và x ∈ E Lúc đó chuỗi Pu k (x) hội tụ tuyệt đối và đều

trên E.

Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả sử

a) Dãy các tổng riêng (Pn1u k (x)) bị chặn đều trên E;

b) Dãy hàm (v k (x)) giảm, hội tụ đều về 0.

Lúc đó, chuỗi hàm sau hội tụ đều

∞

X

k=1

u k (x)v k (x). (2.2)

Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Abel) Giả sử

a) Chuỗi hàm P∞ k=1 u k (x) hội tụ đều trên E;

b) Dãy hàm (v k (x)) không tăng và bị chặn đều.

Lúc đó, chuỗi hàm (2.2) hội tụ đều.

2.2.2 Tính chất của chuỗi hội tụ đều.

Định lý 2.8 Nếu Pu k (x) là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm tổng S(x) trên một

khoảng I và nếu u k (x) liên tục với mọi k, thì hàm S(x) cũng liên tục trên I Định lý 2.9 (Công thức tích phân từng từ) NếuPu k (x) là chuỗi hàm hội tụ đều

trên đoạn [a, b] và nếu các hàm thành phần u k (x) liên tục, thì với mọi x0 ∈ [a, b] chuỗi hàm P ³Rx x

k (x) hội tụ đều trên khoảng (a, b);

c) Chuỗi Pu k (x0) hội tụ với x0 ∈ (a, b).

Lúc đó chuỗi hàm Pu k (x) hội tụ đều trên (a, b); Hơn nữa

2.2.3 Chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

Dễ thấy rằng, một số thực x là thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.3) khi và chỉ khi

x − x0 thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.4) Nói cách khác, miền hội tụ của các chuỗi(2.3) và (2.4) chỉ sai khác một phép tịnh tiến Vì vậy, để đơn giản, người ta thường

chỉ khảo sát miền hội tụ của chuỗi (2.4) và ký hiệu hàm tổng của chuỗi là S(x).