Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 1

Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 1

Chương 1

TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC

Để khảo sát hàm số thực theo một biến số thực, nghĩa là để khảo sát các ánh xạ f : D , trong đó D là một tậpcon không rỗng của , ta cần nắm vững các tính chất căn bản của tập  các số thực

Do đó, trong phần 1, chúng ta giới thiệu tập  thông qua một hệ thống các tiên đề Từ các tiên đề, ta chứng minhđược các tính chất thường dùng trên tập số thực để từ đó xây dựng được hai cặp hàm sơ cấp cơ bản : hàm lũy thừa / cănthức và hàm mũ / lôgarít Một số khái niệm khác liên quan đến khoảng, lân cận, các hàm sơ cấp cơ bản cũng được giớithiệu một cách có hệ thống trong phần 2 nhằm cung cấp các công cụ cần thiết trong việc khảo sát các hàm số trong suốtphần còn lại của giáo trình

1 TẬP  CÁC SỐ THỰC

Tập các số thực, trên đó có trang bị hai phép toán, phép cộng và phép nhân, và một quan hệ thứ tự, ký hiệu

, , , , thỏa các tiên đề sau, trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ, 

1.1 Tiên đề cho các phép toán

i) các phép toán đều có tính giao hoán :

v) phép nhân có tính phân bố đối với phép cộng :

    

a b c ab ac

1.2 Tiên đề cho quan hệ thứ tự

vi) quan hệ thứ tự có tính phản xạ : a a

vii) quan hệ thứ tự có tính phản đối xứng : nếu a b và b a thì a b

viii) quan hệ thứ tự có tính bắc cầu (truyền) : nếu a b và b c thì a c

ix) quan hệ thứ tự có tính toàn phần : hoặc a b , hoặc b a

x) quan hệ thứ tự bền đối với phép cộng : nếu a b thì a c b c  

xi) quan hệ thứ tự bền đối với phép nhân các số dương : nếu a b và 0 c thì ac bc . ªTừ các tính chất nêu trên người ta suy ra mọi tính chất còn lại về phép toán cũng như quan hệ thứ tự trên tập cácsố thực Ta liệt kê một số tính chất thường dùng sau

xii) a 0 0  ;  1 a a ;

xiii) nếu ab 0 thì a 0 hay b 0 ;

xiv) Phép trừ : phương trình x a b  có nghiệm duy nhất x b   a  b a ;

xv) Phép chia : phương trình a x b  , với a 0 , có nghiệm duy nhất x b a   1 b

a.

Ngoài ra, do các phép toán đều có tính kết hợp, ta có thể định nghĩa tổng cũng như tích một số hữu hạn các số thực.

1.3 Định nghĩa Với dãy các số thực a , 1 a , , 2 a , Tổng n số hạng đầu của dãy này, n a0 a1 a2  a , được viết n

tắt bằng ký hiệu  như sau

(đọc là “tổng các a từ k k 1 đến k n ”).

Trong cách viết này, chỉ số k của a được gọi là chỉ số câm, việc lựa chọn ký tự cho chỉ số câm không làm ảnhk

hưởng đến giá trị của tổng Chẳng hạn

C C C , với mọi n  và k 1,2, ,n

Chứng minh Chú ý rằng tổng cũng như tích hữu hạn được định nghĩa bằng quy nạp trên n Do vậy, một cách tự nhiên

là ta chứng minh các tính chất trên bằng quy nạp Chẳng hạn, với đẳng thức iii), khi n 1 , ta có

nghĩa là đẳng thức iii) đúng khi n 1 .

Giả sử đẳng thức iii) đúng với một n , nghĩa là

nghĩa là đẳng thức iii) cũng đúng cho n 1 Vậy do phép chứng minh quy nạp, đẳng thức iii) đúng với mọi n .

1.5 Định lý Với a, b  và n , ta có

i) Công thức khai triển nhị thức Newton

Bằng cách viết a b a    b và n  n  n   n

a b a b khi n là số nguyên lẻ, ta được

1.6 Hệ quả Với a, b  và n , ta có

đúng với mọi dãy hữu hạn số thực dương a ,a , ,a1 2 n 0 Với dãy a ,a , ,a ,a1 2 n n 1 0 , ta chú ý rằng bất đẳng thức

hiển nhiên đúng khi tồn tại một số hạng ai 0 Do đó, ta có thể giả sử a ,a , ,a ,a1 2 n n 1 0 Khi đó, bằng cách đặt

a a a ,

và bất đẳng thức Cauchy cho trường hợp n 1 số thực được chứng minh.

ii) Dùng quy nạp trên n Khi n 2 , ta có

Ngược lại với  , ta có tiên đề sau, gọi là tiên đề đầy đủ, cho tập  các số thực như sau

1.8 Tiên đề đầy đủ Cho A và B là hai tập con không rỗng của  sao cho

 x A, y B, x y  Khi đó, tồn tại số thực  sao cho

 x A, y B, x  y

Với tiên đề đầy đủ này, người ta có thể biểu diễn tập các số thực bằng một đường thẳng, gọi là đường thẳng thực :

Mỗi điểm biểu diễn một số thực và ngược lại, mỗi số thực được biểu diễn bằng một điểm trên đường thẳng thực

Chẳng hạn, xét

 x A, y B, x  y

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng  2 2 Nếu  2 2 , tồn tại  0 sao cho   2 

2 Như vậy    Avà ta nhận được điều vô lý do  x A, x .

Ngược lại, nếu  2 2 , ta có thể chọn  0 sao cho    0 và   2  2 Điều này vô lý vì  y B, y

Tổng quát,

1.9 Định lý Cho x , x 0 và n  Tồn tại duy nhất số thực  y ,  y 0, sao cho yn x và ta ký hiệu y nx

y x , ta được   y A Điều này vô lý vì  a A,a y Ngược lại, nếu yn  x , thì bằng cách chọn  0 sao cho   y 0 và   n 

y x , ta nhận được điều vô lý do

 b B, y b 

Nhận xét : Định lý 1.9 cho thấy hai hàm số

x, y 0, x ny  y x  n ªBây giờ, xét các tập con của ,

mà đại lượng này sẽ có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn Do đó, ta gọi e là giới hạn của dãy số  a khi n tăng ra vô cùng, kýn

hiệu e nlim a (xem chương 2).  n

Ta được định nghĩa cho số Néper

1.10 Định nghĩa     1n

n n

Tiếp theo, với a 1 và  x , x mn , trong đó m , n , ta có thể định nghĩa ap na Khi   m x \ , với

được hoàn toàn xác định.

Ngược lại, với x 0 , A a s x và s   Ba s x , ta có A và B là các tập con không rỗng của s    thỏa

 s A, t B,s t  Cũng do tiên đề đầy đủ, tồn tại (duy nhất)    sao cho

 s A, t B,s  t ,mà ta dễ dàng chứng minh rằng a x Đặt  log x và do vậy, hàm sốa

   

f : 0,

x log xđược hoàn toàn xác định

Như vậy, do định nghĩa, hai hàm số

2 TẬP HỢP , , ,  

2.1 Hàm giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số thực x được xác định bởi

x max x, x ,nghĩa là

x a nếu và chỉ nếu x a hay x a.

2.2 Mệnh đề Với mọi số thực x và y,

i) xy x y

Tóm lại, ta được

 x  y x yvà do đó

2.3 Khoảng trong  và lân cận của một điểm

Các tập con sau của , gọi là các khoảng, đóng một vai trò quan trọng trong phép tính vi tích phân Với a, b ,

a, b x a x b gọi là khoảng mở với các cận a và b;  

ii) Chín loại khoảng của  nêu trên có thể đặc trưng bằng một tính chất chung như sau : Cho I là một tập con của

 Ta có

I là một khoảng của  nếu và chỉ nếu a, b I, a, b   I

iii) Các khoảng mở của  gồm

a, b ,  a,,  ,a và    , .

Các khoảng đóng của  gồm

a, b ,   a,,  ,a và    , .Khi I là một khoảng mở của , ta có

 x I, 0, x , x  I,trong đó x , x  được gọi là khoảng mở tâm a, bán kính  0 Dễ thấy rằng tính chất này không đúng cho khoảngđóng a, b vì với  x a , không có khoảng x , x  nào có thể chứa trong a, b 

2.4 Biểu diễn tham số cho khoảng a, b

Xét khoảng a, b ,  a b Ta có

a, b    a 1  : 0,1 

là biểu diễn tham số của khoảng a, b 

Điều này có nghĩa là mọi phần tử xa, b đều có thể viết dưới dạng  x  a 1 b , với  0,1 

Tương tự, mọi phần tử x a, b đều có thể viết dưới dạng  x a 1 b ,   0,1 

2.5 Bất phương trình x a  , a ,  0

Bất phương trình dạng này xuất hiện nhiều trong phép tính vi tích phân Dễ dàng tìm thấy rằng : x thỏa bấtphương trình x a   nếu và chỉ nếu xa ,a  Giá trị x a còn được gọi là khoảng cách giữa x và a.

2.6 Lân cận của một điểm trong 

Trong phép tính vi tích phân, người ta thường phát biểu rằng một tính chất nào đó là “đúng trên một lân cận của

điểm a ” Phát biểu này được phát biểu lại một cách chính xác như sau : “tồn tại  0 sao cho tính chất đó đúng trên khoảng mở a ,a ”.

Chẳng hạn, ta nói hàm số x  ln x log x xác định trên một lân cận của  e a 10 do nó được hoàn toàn xác định  3

trên khoảng mở a 10 ,a 10  4   4; hàm số x x không xác định trên một lân cận của a 0 do với bất kỳ  0,hàm số này không xác định trên khoảng mở   , ; Hàm số x ln x xác định trên một lân cận của a 0 nhưngkhông xác định tại a 0 ; chẳng hạn nó xác định trên 1,1 \ 0 ; hàm số     1

x 2

x xác định trên một lân cận của a 2nhưng không xác định tại a 2 .

min a, b

2

3 Chứng minh mệnh đề 1.4.

4 Cho a 1 Chứng minh rằng

a) với mọi n , an  1 n a 1   

b) với mọi n , a 1 n a   1/n  1 

a) Chứng tỏ rằng an an 1 và bn 1 b , với mọi n n .

b) Chứng minh an b , với mọi m m,n .