Laøm quen vôùi caùc daïng baøi taäp cô baûn: Ruùt goïn bieåu thöùc; tính giaù trò cuûa bieåu thöùc; tìm giaù trò lôùn nhaát; nhoû nhaát;. Reøn luyeän tö duy toång quaùt II.[r]
Trang 1Chủ đề 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ CĂN THỨC BẬC HAI (04 tiết)
I MỤC TIÊU:
HS nắm vững các công thức và các phép toán về căn bậc hai
Làm quen với các dạng bài tập cơ bản: Rút gọn biểu thức; tính giá trị của biểu thức; tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất;
Rèn luyện tư duy tổng quát
II NỘI DUNG:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1) các phép toán và phép biến đổi đơn giản:
2 A khi A 0
A = A =
-A khi A < 0
A.B = A B với A 0; B 0
A = A
B B với A 0; B > 0
m A n A p A + - = ( m n p A Với A + - ) ( ³ 0)
2
A B = A B với B 0
A = 1 AB
B B với AB 0; B 0
M A B
A - B
A B
với A 0; B 0; A B
Với A 0 thì A = A 2
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
a) Dạng đa thức A(x):
- Biến đổi: A(x) = B(x)2 m m Giá trị nhỏ nhất đạt được là m khi B(x) = 0
- Biến đổi: A(x) = m - B(x)2 m Giá trị lớn nhất đạt được là m khi B(x) = 0
b) Dạng phân thức đơn giản
( ) ( )
A x
B x : Biến đổi :
( ) ( )
A x
B x = ( )
n m
B x
Phân thức
( ) ( )
A x
B x đạt giá trị lớn nhất khi
B(x) nhỏ nhất;
( ) ( )
A x
B x đạt giá trị nhỏ nhất khi B(x) lớn nhất
Ví dụ: a) Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 + x 3 - 1
Giải : Ta có : x2 + x 3 - 1 = (x +
3
2 )2 -
7 4
7 4
Dấu “=” xảy ra khi x +
3
2 = 0 x =
-3 2
Vậy GTNN của biểu thức là
-7
4 khi x=
-3 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1
x x
Trang 2Giải : Ta có x - x + 1 =
x
3 4
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
x
= 0 x =
1 4
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức x - x + 1 là
3
4 khi x =
1 4
Vậy
1
1
x x đạt giá trị lớn nhất là
4
3 khi x=
1 4 3) Phân tích đa thức bằng phương pháp tách:
a) Dạng: ax2 + bx + c (a ≠ ): Tách bx = mx + nx sao cho m.n = a.c
b) Dạng A 2 B : Tách A = m + n sao cho m n . B Khi đó đa thức được viết lại là:
A + 2 B= m + 2 m n . + n = ( m n )2
4) Tìm điều kiện:
- Phân thức
( ) ( )
A x
B x có nghĩa khi B(x) ≠ 0
- Căn thức A có nghĩa khi A ≥ 0
- Tích A B ³ 0 Û A và B cùng dấu
- Tích A.B 0 Û A và B khác dấu
B LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tính
a) √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72
b) 1
2√48 −2√75 −√54 +5√11
3
c) ( √ 28− 2 √ 3+ √ 7) √ 7 + √ 84
d) (7 48 3 27 2 12) : 3
e) 2 √3 −3√ 2 ¿2+2 √6+3 √24
¿
f) 3+2 √ 3
2+ √ 2
√ 2+1 −(2+ √3)
g) ( 3 2)2 ( 2 3)2
Bài 1:
a) √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72
2 5 3 5 3.3 2 6 2 5 15 2
b) 1
2 √ 48 −2 √ 75 − √ 54 +5 √ 1 1
3
.4 3 2.5 3 3 6 5
c) ( √ 28− 2 √ 3+ √ 7) √ 7 + √ 84 (2 7 2 3 7) 7 2 21 (3 7 2 3) 7 2 21 21 2 21 2 21 21
d) (7 48 3 27 2 12) : 3 (7.4 3 3.3 3 2.2 3) : 3 33 3 : 3 33
e) 2 √3 −3 √2 ¿2+2 √6+3√24
¿
2
(2 3 3 2) 2 6 3 24
12 12 6 18 2 6 3.2 6 30 4 6
f) 3+2 √ 3
2+ √ 2
√ 2+1 −(2+ √ 3) 3( 3 2) 2( 2 1)
(2 3) 3 2 2 2 3 2
g) ( 3 2)2 ( 2 3)2
Trang 3h) 7 2 10 7 2 10
i) 5 3 29 12 5
| 3 2 | | 2 3 | 3 2 3 2 2 3
h) 7 2 10 7 2 10
5 2 10 2 5 2 10 2 ( 5 2) ( 5 2) | 5 2 | | 5 2 |
i) 5 3 29 12 5
2
2
5 3 (2 5 3) 5 3 2 5 3
5 ( 5 1) 5 5 1 1
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 1 − a √ a
1 − √ a + √ a ( Với a>0 ; a 1 )
b) a √ b +b √ a
1
√ a − √ b ( Với a,b>0, a
b)
c) (1+ a+ √ a
√ a+1 ) .(1 −
a − √ a
√ a −1 ) (Với a > 0 , a
1)
d)
2
e)
2
(a a b b ab)( a b)
a b
a b
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 1 − a √ a
1 − √ a + √ a (Với a>0 ; a 1)
2
1
a
b)
c)
d)
2
e)
2
(a a b b ab)( a b)
a b
2
2
ab
Bài 3: Cho biểu thức
K = ( √ a
√ a− 1 −
1
a − √ a ) : ( √ a+1 1 +
2
a − 1 )
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
√ 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0
a) K = ( √ a− 1 √ a −
1
a − √ a ) : ( √ a+1 1 +
2
a − 1 ) ĐK: a > 0; a 1
a 1
a a 1
a− 1
√ a
b) a = 3 + 2 √ 2 = ( √ 2 + 1)2 √ a= ¿ √ 2 + 1
K = 3+2 √ 2 −1
c) Với a > 0 √ a > 0 Do đó K = a− 1
√ a < 0
⇔ a – 1 < 0 ⇔ a < 1 Vậy K < 0 ⇔ 0 < a < 1 Bài 4: Cho biểu thức
B = ( √ 2 x −
1
2 √ x )2 ( √ √ x −1 x +1 −
√ x+1
√ x − 1 ) a) Rút gọn B
a) B = ( √ 2 x −
1
2 √ x )2 ( √ √ x −1 x +1 −
√ x+1
√ x − 1 ) ĐK: x > 0; x 1
Trang 4b) Tìm các giá trị của x để B > 0
c) Tìm các giá trị của x để B = –2 B = ( x −1 2 √ x )2[ (√ x −1 )2− ( √ x +1 )2
x −1 ] = ( x −1 2 √ x )2⋅ ( − 4 √ x
x −1 ) = 1 − x
√ x
b) B = 1 − x
√ x > 0 ⇔ 1 – x > 0 (vì x> 0) ⇔ x < 1 Vậy B > 0 khi 0 < x < 1
c) B = 1 − x
√ x = –2 ⇔ 1 – x = –2 x
⇔
x – 2 x – 1 = 0 ⇔ x = 1 2 2
thoả mãn đ.kiện
Bài 5: Cho
A =
x-1 x- x x+ x
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
a) A =
x-1 x- x x+ x
ĐK: x > 0 ; x 1
A =
[ ( √ x − 1 )( x + √ x+1 )
√ x (√ x −1 ) − ( √ x+1 ) ( x − √ x+1 )
√ x ( √ x+1 ) ] : 2 ( √ x −1 )
2
( √ x −1 ) (√ x +1 )
A = 2 √x +1
2( √x − 1) = √ x+1
√ x − 1
b) A = √ x+1
√ x − 1 = √ x − 1+2
√ x − 1
Với x là số nguyên dương thì A là số nguyên khi √ x - 1 là ước của 2, mà Ư(2) = {1; 2} Do đó:
Vậy với x = 4; x= 9 thì A có giá trị nguyên Bài 6: Cho biểu thức
y = x2+ √ x
x − √ x+1 +1 −
2 x +√ x
√ x
a) Rút gọn y Tìm x để y = 2
b) Giả sử x > 1 C.minh rằng: y – |y| = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
a) ĐK: x > 0
y = √x( √x +1) (x −√x +1)
√x(2√x+1)
√x
= x + √ x + 1 - 2 x - 1 = x - √ x = √ x ( √ x - 1) b) Với x > 1 thì √ x - 1 > 0 ⇒ y = √ x ( √ x - 1) > 0
⇒ | y | = y hay: y – | y | = 0 c) y = x- √ x =( √ x )2–2 √ x 1 2 + 1 4 - 1 4 = ( √ x -1
2 )2- 1
4 - 1
4 Vậy GTNN của y là - 1 4 khi √ x - 1 2 = 0 hay x = 1 4
C BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Thực hiện phép tính
a) A =
b) C =
1 :
Trang 5Bài 2: Cho biểu thức: B = 3 2 2 2
1
a) Rút gọn biểu thức B b) Xác định x; y để x = 9y và B = 2
a) Rút gọn D b) Tính giá trị của biểu thức D khi x = 4 2 5
Bài 4: Chứng minh rằng ( a+2 √ a+2 √ a+1 −
√ a −2
a −1 ) √ √ a+1 a =
2
a −1 Với a > 0; a 1 Bài 5: Cho P = ( √ 1− x + √ √ xy y +
√ x − √ y
1+ √ xy ) : ( 1+ x + y +2 xy
1 − xy )
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 2
2+ √ 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Gợi ý: a) ĐK: x > 0; y > 0; xy 1
P = = ( 2 √ x +2 y √ x
1 − xy ) ⋅ (1− xy )
1+x+ y+xy = 2 √ x (1+ y )
(1+x ) (1+ y ) = 2 √ x
1+ x
b) x = 2
2+ √ 3 = 4 – 2 √ 3 = ( √ 3 – 1)2 => P = = 6 √ 3+2
13 c) P = 2 √ x
1+ x
x +1
x +1 = 1 (Vì 2 √ x x + 1) Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 và y 1 Vậy max P = 1 khi x = 1 và y 1; y > 0
RÚT KINH NGHIỆM :