Hàm bessel và một số ứng dụng trong vật lí

Lí do chọn đề tài Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật, các mối quan hệ đó thể hiện ở các phương trình toán học và việc giải các phương trì

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

A MỞ ĐẦU 3

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Những đóng góp của khóa luận 4

7 Cấu trúc và nội dung khóa luận 4

B NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL 5

1.1 Hàm Gamma 5

1.2 Phương trình và hàm Bessel 6

1.3 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel 10

1.4 Nghiệm của hàm Bessel 12

1.5 Tính trực giao của hàm Bessel 13

1.6 Khai triển một hàm bất kì thành hàm Bessel 15

1.7 Một số trường hợp riêng của hàm Bessel 16

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM BESSEL TRONG VẬT LÍ 21

2.1 Bài toán dao động nhỏ của sợi dây treo thẳng đứng ở một đầu 21

2.2 Bài toán dao động của màng tròn tự do, biên gắn chặt 25

2.3 Bài toán truyền nhiệt 35

2.4 Điện tử trong dây lượng tử hình trụ 41

2.5 Truyền sóng trong sợi quang 43

C KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật, các mối quan hệ đó thể hiện ở các phương trình toán học và việc giải các phương trình đó giúp ta tìm được các quy luật của tự nhiên Những phương pháp toán học dùng trong vật lí học rất phong phú, đa dạng mà một trong số đó là các phương trình đạo hàm riêng Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến trong các hệ tọa độ cong (tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu), ta thường gặp phương trình đặc biệt mang tên nhà toán học và thiên văn học người Đức Friedrich Wilhelm Bessel Giải phương trình này cần dùng phương pháp chuỗi và kết quả là sự xuất hiện của hàm Bessel Phương trình Bessel đã được nghiên cứu trước đó (thế kỉ 18) bởi Bernoulli trong các bài toán dao động của các sợi dây có khối lượng và sau đó là Euler với các bài toán dao động của màng mỏng Sang thế kỉ 19, Bessel đã nghiên cứu một cách sâu rộng, hệ thống, tổng quát hóa phương trình, kể từ đó tên ông được đặt cho phương trình (phương trình Bessel) và nghiệm của nó (hàm Bessel) Hàm Bessel là một công cụ toán học được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực vật lí từ cơ học, nhiệt học, điện

từ học, thiên văn học đến cơ học lượng tử Do đó việc nghiên cứu và tìm hiểu các ứng dụng của hàm Bessel là rất quan trọng Để hiểu rõ nội dung cũng như những ứng dụng hữu ích của hàm Bessel trong các bài toán vật lí, em chọn đề tài: “HÀM BESSEL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu lí thuyết về hàm Bessel, các tính chất của hàm Bessel

- Áp dụng hàm Bessel để giải quyết các bài toán Vật lí

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Lí thuyết về phương trình và hàm Bessel

- Các bài toán vật lí

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí thuyết về hàm Bessel

- Phân tích các bài toán Vật lí đưa tới việc giải phương trình vi phân sử dụng hàm Bessel

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí thuyết

- Lựa chọn, phân tích và giải cụ thể các bài toán vật lí

6 Những đóng góp của khóa luận

- Trình bày tổng quát về hàm Bessel

- Đưa ra và giải được các bài toán về dao động, truyền nhiệt, truyền sóng và cơ lượng tử

7 Cấu trúc và nội dung khóa luận

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL 1.1 Hàm Gamma

Hàm Gamma được định nghĩa như sau

1 0

s

Vậy hàm ( ) s tiến dần tới vô cùng khi s dần tới 0

Với s nguyên dương

1'' ' (1 v ) 0

Để giải phương trình này, ta cần có một hàm mới, gọi là hàm Bessel

Nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng chuỗi

Ta có phương trình (1.7) đúng với mọi x nên tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x phải bằng 0

m m

m

x x

m m

m

x x

2 2

!( 1)

2 !( )!

c c

! ( 1)

!( )!

m m

m m

!( )!

m m

J x được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp 

Biểu diễn J x( ) qua hàm Gamma

2

0

2( ) ( 1)

( 1) ( 1)

m m

( 1) ( 1)

m m

Trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý suy ra từ điều kiện biên

1.2.2 Hàm Bessel loại hai

Nếu  nguyên thì hàm J x( ) và J( ) x là phụ thuộc tuyến tính

Thật vậy,  nguyên,  n thì với m chạy từ 0 tới n-1 thì m- +1 sẽ mang giá trị

âm hoặc bằng 0, vậy nghĩa là với n số hạng đầu của khai triển (1.9) sẽ bằng 0 Lúc

đó

2

2( ) ( 1)

( 1) ( 1)

m m

Đặt m   , ta được  l

2

0

2( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

( )cos ( )( ) lim

x m

Với  nguyên dương hoặc bằng 0

1.2.3 Hàm Bessel cải tiến

(1.14) gọi là phương trình Bessel cải tiến

I x gọi là hàm Bessel cải tiến loại 1 cấp 

Hàm I x( )là nghiệm của phương trình (1.14), nếu  không là số nguyên thì I x( )

và I là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của (1.14) là

K x gọi là hàm Bessel cải tiến loại 2

Lúc này nghiệm của (1.14) được viết lại y C I x  1 ( )  C K x2 ( )

Ta chứng minh tính chất 1.15a

2 2 2 0

( 1) (2 2 )

m m

sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )

( 1)

( )2

! ( 1 1)1

m m

Từ công thức trên ta thấy hàm J x( ) có vô số nghiệm, hơn nữa khi x  thì

nghiệm của J x( ) xấp xỉ các nghiệm của hàm

cos x   

( 1) ( 1)

m m

d ( )d

2

1 2

1

2 2 2

2 2

d ( )

2 d( ) t k L

J t L

  lập thành một họ trực giao trên đoạn [0,L]

1.6 Khai triển một hàm bất kì thành hàm Bessel

Một hàm bất kì có thể khai triển thành một chuỗi các hàm Bessel

0 2

Hình 1.1: Đồ thị các hàm Bessel loại 1

Hình 1.2: Đồ thị các hàm Bessel loại 2

Hình 1.3: Đồ thị các hàm Bessel cải tiến loại 1

Hình 1.4 Đồ thị các hàm Bessel cải tiến loại 2

0 2

2( ) ( 1)

1( 1) ( 1 )

2

m n m

1

0 2

2( ) ( 1)

1

2

m m

2 !2

3 1 1

'

3 2

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM BESSEL TRONG VẬT LÍ 2.1 Bài toán dao động nhỏ của sợi dây treo thẳng đứng ở một đầu

Xét một sợi dây nhỏ, đồng chất, dễ uốn với mật độ khối lượng dài là  Lực căng dây T tại mỗi điểm đều nằm theo phương tiếp tuyến với sợi dây Sợi dây buộc chặt

tại một đầu, một đầu tự do, dao động dưới tác dụng của trọng lực Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử khi nằm yên, sợi dây nằm trên

đoạn AB thuộc trục Ox và trong suốt quá

trình dao động sợi dây luôn nằm trong một mặt phẳng

Đặt uu x t( , )là độ dịch của sợi dây ra khỏi

vị trí cân bằng tại thời điểm t

Ta có u

x



 cho ta biết hệ số góc tiếp tuyến của

sợi dây tại điểm có hoành độ x vào thời điểm t Vì ta chỉ xét những dao động nhỏ

của sợi dây nên có thể xem

2 2

0

u tan

Vì sợi dây treo thẳng đứng nên lực căng dây T tại điểm M có độ lớn bằng trọng lượng của phần dây nằm dưới M Ta có TM   gxM

Chiếu tất cả các lực tác dụng lên đoạn MN lên phương thẳng đứng, ta có

Điều kiện ban đầu ( , ) 0 ( )

2 2

( ) 1 (

( ) 0)

Sử dụng điều kiện biên (2.2) ta có q( L) 0 C J1 0( L)0

L là nghiệm của hàm Bessel loại 1 cấp 0 Gọi i là các nghiệm của hàm J x 0( )

0 1

L T

g g

2

4 4.3,14 0,1

0, 22755,5201 10

2, 4048

0,195,5201

2, 4048

0,0778,6537

Ta có hình ảnh dao động ứng với ba mode trên như sau

2.2 Bài toán dao động của màng tròn tự do, biên gắn chặt

u

  



Với a là tốc độ truyền sóng, ulà toán tử laplace tác dụng lên u, trong hệ tọa độ cực

Phương trình này có nghiệm  ( )   C cos c1 ( )   C sin c2 ( ) 

Theo tính chất tuần hoàn

là n( )   C cos nn1 (  )  C sin nn2 (  )với với n=0,±1, ±2,…

   nên để thỏa mãn điều kiện hữu hạn ta có D 2 0

Ta có điều kiện biên ( , , ) 0u L t  R L( ) ( ) ( ) T t  0 R L( ) 0

Vậy có

( ) ( )

( )

n m

m m

1( , )cos( )d

m

n m

L

n m n

n m

r L

m

m

m m

1( , )sin( )d

m

n m

L

n m n

n m

r L

m

n m

( ,

1( ) ) ( ) d d

L

m

m m

m m

n n

( )

1

2 (0)

m m

n n

a L

 Xét các đường nút (không dao động) trên màng, các đường này có phương trình thỏa mãn

12 1

22 1

Hình2.1.Hình ảnh các đường nút trên màng

(m,n)=(1,0) (m,n)=(1,1) (m,n)=(1,2)

(m,n)=(2,0) (m,n)=(2,1) (m,n)=(2,2)

Hình 2.2 Hình ảnh các mode dao động của màng

Vì dao động là xuyên tâm, dao động của màng không phụ thuộc vào , nghĩa là ( ) const

 Theo kết quả của bài toán thì ta có n=0 từ đó suy ra nghiệm của bài toán là

0 1

2 2 0

2 (

2.3 Bài toán truyền nhiệt

Ta có phương trình truyền nhiệt ( u) F c u

3 2

c: nhiệt dung riêng

Bài toán cần giải phương trình sau

2 2 2

2 2

0 0

2 2( , , , ) ( , ,0, ) ( , , , ) 0

a

1 "

R r

r r

r

R r

r r

r r

Vậy Rn n J (r)

Áp dụng điều kiện biên R R( 0) 0 J n(R0)0

Vậy

( ) ( )

n

a t l

0

n l

2 0

( )

, , , , , 1 0 0

n

n

m R

( )

0 0

l

l l

l n

n

R L

n l

0

0 0 0

0

(0) 0

2 2 (0)

0 1

(0) 0

2 2 (0)

0 1 0 0

2

.( )

4

.( )

2 1

sin d2

R J

L

m z

dz L

0 2 , ,

0

0 0

( ) 0

2 2 ( )

2

cosn ( )

u   f r  và nhiệt độ trên biên được duy trì nhiệt độ bằng u 0

Ta có phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ cực

Với điều kiện w R( 0, ) 0 và điều kiện đầu w t0  f r( , ) u0

Phương trình (2.36) giải tương tự như bài toán 1 với Z=const, lúc đó  0

Ta có nghiệm

2 ( ) 2 0

n l m n

a t n

R l

n

n l l

Với n>0

0

( ) 0

2 2 ( )

0 1

2 ,

0

0 0

2

cosn (

2 1

n R

n

l l

2.4 Điện tử trong dây lượng tử hình trụ

Trong trường tinh thể vô hạn với các điều kiện biên tuần hoàn khi không có hiện tượng lệch mạng hoặc khuyết mạng thì các hạt mang điện chuyển động tự do và hàm sóng mô tả trạng thái của chúng là hàm sóng phẳng Bloch Khi giới hạn không gian bằng các rào thế thì lúc này sóng Bloch sẽ bị phản xạ tạo thành sóng dừng, vecto sóng bị gián đoạn, năng lượng bị gián đoạn Khi hạt mang điện bị giam nhốt lượng tự theo phương nào đó thì năng lượng theo phương đó sẽ bị gián đoạn

Dây lượng tử thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại, phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều Hàm sóng có dạng ( , , ) ik z z ( , )

      (2.37) Xét dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn, chiều dài L0, bán kính R0

0

( ) 0( )

 h là năng lượng theo phương z)

Hàm sóng khác không vậy chia hai vế cho ( , )f r  R r( ) ( )  ta được

Áp dụng điều kiện biên R r( R0) 0 J aR n( 0)0

Suy ra aR ( )n với  là các nghiệm của hàm ( )n J x( )

a E

22

n l z

Ta thấy năng lượng của điện tử liên tục theo phương z và bị lượng tử hóa theo phương r, 

1 0

( )2

n l

0 0

1(1

2.5 Truyền sóng trong sợi quang

Truyền dẫn dự liệu trong sợi quang hiện nay đóng vai trò rất lớn trong công nghệ truyền thông Phần sau đây sẽ xét quá trình truyền dẫn ánh sáng trong sợi quang

Ta có các hệ thức Maxwell áp dụng cho ánh sáng lan

truyền trong sợi quang

0

H E

với suy hao không đáng kể có thể viết dưới dạng

( )( ) ( ) j t z

z

Ez, Hz là các hàm tuần hoàn theo  vậy có y( ) e j

Thay y( ) vào (2.57) và thay (2.57) vào (2.55) suy ra:



   



 

    với n là chiết suất của môi trường truyền sóng

Ta có (2.59) có dạng của phương trình Bessel

Xét hai miền r<a và r>a với a là bán kính lõi sợi

Xét miền lõi sợi

2 2

Với J ur( ) là hàm Bessel loại 1 cấp 

Vậy nghiệm của (2.55) là E z A J( )ur e e j j( t z) (2.61)

( ) 0

x r r

r

x r

2 2

1 ( )

( )

( ) 02

Có thể xác định các hệ số A, B, C, D bằng cách sử dụng các điều kiện liên tục

Từ đó và giả thiết rằng sự chênh lệch chiết suất giữa lõi và vỏ là rất nhỏ, ta thu được phương trình đặc trưng cho sợi quang có dạng

V a u w là thông số đặc trưng cho sợi quang

Xét mode thấp nhất lan truyền ( 0)

Tìm giới hạn nhỏ nhất của V khi w0

Sử dụng biểu thức gần đúng của hàm K x( )

ln 0.5772 02

1 ! 2

02

ln 0.57722

1 22

Ví dụ sợi quang có đường kính lõi d=8µm, NA=0,12 thì ở bước sóng 1310nm

thì V=2,3<2,405, sợi truyền dẫn sóng đơn mode

C KẾT LUẬN

Sau khi hoàn thành khóa luận, dựa trên mục tiêu đề ra em đã làm được một số việc sau:

- Nghiên cứu được cách giải phương trình vi phân Bessel

- Trình bày tóm tắt được các tính chất của hàm Bessel

- Giải các bài toán vật lí sử dụng hàm Bessel

Khóa luận chỉ nghiên cứu tổng quát về mặt lí thuyết của hàm Bessel, nêu ra một

số tính chất cần cho việc giải quyết các bài toán vật lí, một số tính chất không chứng minh Khóa luận cũng chỉ dừng lại ở việc giải các bài toán bằng phương pháp giải tích ra các phương trình tổng quát, việc giải ra các trường hợp cụ thể thì cần dùng máy tính điện tử và các ngôn ngữ lập trình để giải bằng phương pháp số

Thông qua việc nghiên cứu đề tài của khóa luận này, bản thân em đã có thêm một

hệ thống kiến thức về phương trình và hàm Bessel Mặc khác việc nghiên cứu các ứng dụng của hàm Bessel đã giúp em hệ thống được các kiến thức chuyên ngành vật lí thuộc các phần phương trình Vật lí toán, cơ học, nhiệt học, điện từ học, cơ học lượng tử Điều quan trọng là qua việc làm khóa luận này, bản thân em rèn luyện được kĩ năng để nghiên cứu một đề tài khoa học, rèn luyện kĩ năng toán học, cách tìm hiểu vấn đề

Khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên chuyên ngành vật lí, cho những ai muốn tìm hiểu sâu thêm những công cụ để tìm ra các phương trình diễn tả quy luật hoạt động của vật chất

Tuy đã cố gắng rất nhiều nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của của bạn đọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Thiện: Phương trình toán lý, NXB Giáo dục 2006

[2] Đỗ Đình Thanh: Phương pháp toán lí, NXB Giáo dục 2006

[3] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái: Phương trình Vật lý Toán, NXB Đại

học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1971

[4] Vladimir Zakharov: Bessel Functions and their Applications toSolutions of Partial Dierential Equations, Math 456 Lecture Notes Đại học Arizona Hoa

Kì, 3-2009

[5] Edwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics 9 th edition, John

Wiley & Sons’ Inc, 2006

[6] Phùng Văn Vận – Trần Hồng Quân – Nguyễn Cảnh Tuấn – Phạm Hồng Ký

– Nguyễn Hoài Nam, Hệ thống thông tin sợi quang, NXB Khoa học và kĩ