Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

Lý do chọn đề tài Các phương pháp toán học dùng cho vật lí học hiện đại rất phong phú gồm một khối lượng lớn các phần như: hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, các phép biến đ

Với vốn kiến thức còn nhiều hạn chế, chưa có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Sau cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Sơn La, tháng 5 năm 2015

Người thực hiện Phạm Thị Trang

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu 2

2.1 Đối tượng nghiên cứu 2

2.2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 2

3.1 Giới hạn về đối tượng 2

3.2 Giới hạn về khách thể 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 3

5.1 Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý thuyết 3

5.2 Nhóm các phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

6 Đóng góp của khóa luận 3

PHẦN II NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL 4

1.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL 4

1.2 CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƯƠNG TRÌNH HÀM BESSEL 7

1.2.1 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel 7

1.2.2 Phương trình và hàm Bessel: 11

1.3 TÍNH TRỰC GIAO CỦA HÀM BESSEL 12

1.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL 13

1.4.1 Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Bessel 13

1.4.2 Đa thức Legendre 14

1.4.3 Hàm cầu 18

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG 23

2.1 Bài toán 23

2.2 Phương pháp giải bài toán 24

2.3 Các bài tập áp dụng 30

2.3.1 Bài tập 1 30

2.3.2 Bài tập 2 32

2.3.3 Bài tập 3 34

2.3.4 Bài tập 4 35

2.3.5 Bài tập 5 40

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 44

3.1 Bài toán 44

3.2 Phương pháp giải 45

3.3 Các bài tập áp dụng 49

3.3.1 Bài tập 1 49

3.3.2 Bài tập 2 51

3.3.3 Bài tập 3 52

3.3.4 Bài tập 4 54

3.3.5 Bài tập 5 56

3.3.6 Bài tập 6 59

PHẦN 3 KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các phương pháp toán học dùng cho vật lí học hiện đại rất phong phú gồm một khối lượng lớn các phần như: hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính…

Trong quá trình học môn phương trình Vật lý-Toán sinh viên đã được làm quen với một số hàm đặc biệt như: hàm Lagrang, hàm Bessel Tuy nhiên việc tìm hiểu sâu vào tính chất, đặc điểm của các hàm này còn nhiều hạn chế vì thời gian tiếp thu kiến thức của sinh viên trên lớp chưa được nhiều.Trong quá trình giải các bài toán, bên cạnh tư duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên các kĩ năng giải tích toán học, đặc biệt là việc giải các phương trình vi phân do đó việc củng cố

và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng

Quá trình giải các bài toán về quá trình truyền sóng và truyền nhiệt sinh viên đã bước đầu được làm quen với một số phương pháp như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…, trong đó việc chọn hệ tọa độ và tách các biến sẽ phụ thuộc vào hình dạng của vật, nếu vật có hình dạng trụ hoặc tròn thì khi đó việc giải bài toán trong hệ tọa độ trụ sẽ dẫn đến phương pháp giải là đơn giản nhất, khi giải các phương trình truyền sóng và truyền nhiệt có dạng hình tròn hoặc hình trụ, bằng phương pháp tách biến sẽ dẫn đến các phương trình vi phân có liên quan đến hàm Bessel

Với một số dạng bài toán khi giải bằng phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp Học phần phương pháp toán-lý có những bài tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm riêng, phương trình vi phân

Cụ thể là bài tập phần truyền sóng và truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng

Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn Ta có thể

sử dụng hàm Bessel vào giải bài toán biên trong phương trình truyền sóng và truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều

Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền sóng và truyền nhiệt là một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều Nhưng các sách lý thuyết thường ít đề cập đến phương pháp này, không đưa ra các bài tập cụ thể, làm sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu quả bài toán truyền sóng và truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý là rất cần thiết Với

những lý do trên chúng tôi chọn đề tài: “Ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt”

2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Sử dụng hàm Bessel vào việc giải bài toán về quá trình truyền sóng và truyền nhiệt

- Các bài toán về quá trình truyền sóng, truyền nhiệt

- Các cơ sở toán học về phương trình Bessel và hàm Bessel

3.2 Giới hạn về khách thể

Nghiên cứu sử dụng hàm Bessel vào việc giải bài toán về quá trình

truyền sóng và truyền nhiệt

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Để tìm nghiệm các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

- Tìm hiểu các tính chất của hàm Bessel

- Đặt các bài toán tổng quát về quá trình truyền sóng và truyền nhiệt có dạng hình tròn hoặc hình trụ

- Thông qua việc áp dụng hàm Bessel giải các phương trình truyền sóng và truyền nhiệt cụ thể có hình dạng phức tạp hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Sử dụng các kiến thức về Vật lý-Toán, giải tích, phân tích, tổng hợp

5.2 Nhóm các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Tìm tòi, thu thập, phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan

6 Đóng góp của khóa luận

- Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên

- Góp phần nâng cao kết quả học tập phần phương trình Vật lý-Toán cho sinh viên

PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG 1

XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ HÀM BESSEL

1.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL

Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặc biệt sự phân bố dừng của chúng và được mô tả bằng phương trình Laplace

Với phương trình (2.8), ta có nghiệm   AcosvBsinv

Còn phương trình (2.9), tiếp tục dùng phương pháp tách biến để giải bài toán bằng cách đặt V r z , R r Z z    rồi thế vào phương trình (2.9), ta được:

Nhân (2.10) với 1

RZ , ta được:

2 "

2 2

01

01

với phương trình (2.12), ta có nghiệm Z z CchzDshz

Còn với phương trình (2.13), ta biến đổi đại lượng

      thay vào phương trình (2.13),

ta được phương trình sau đây:

Nghiệm của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel

Nó là một phương trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc

mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên là hàm trụ

1.2 CƠ SỞ CHO VIỆC XÂY DỰNG HÀM BESSEL, PHƯƠNG TRÌNH HÀM BESSEL

1.2.1 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel

Hàm Bessel được biểu diễn dưới dạng một nghiệm do đó hàm Bessel có liên quan nhiều đến lý thuyết chuỗi như : chuỗi Fourier, chuỗi lũy thừa…

Bên cạnh đó còn có điều kiện hội tụ, tích phân suy rộng, hàm Garma….Chúng làm cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel

Phương trình Bessel là phương trình có dạng:

0

12

k k

Sử dụng nghiệm thứ hai 2   có thể tìm được nghiệm thứ hai của phương trình (2.16), nó nhận được bằng cách thay  bằng  Bởi vì phương trình (2.16) chỉ chứa 2 nên nó không thay đổi khi thay  bằng  Ta có

2

0

12

k k

k   thì đại lượng    k 1 nhận các giá trị nguyên âm hay bằng không, đối với các giá trị này        k 1

Điều này suy từ các công thức:

Do đó có        

21

2

n k k

n l l

n n

Khi n=0, hàm      

2 '

k

x

k x

k k

Rõ ràng hàm Y x   này cũng là nghiệm của phương trình (2.16), bởi vì nó

là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng J x J,  x của phương trình này

 

Y x được gọi là hàm Bessel loại II cấp  , là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm

cơ bản của phương trình (2.16) Đó là : yC J1  x C Y x2  

k k

k k

Trường hợp riêng : hai hàm J0 x và J x là hai hàm quan trọng nhất 1 

trong vật lý, ta biểu diễn chúng dưới dạng chuỗi như sau:

  trực giao và chuẩn hóa trong đoạn: 0 x L

 Tính trực giao thứ nhất của hàm Bessel:

với i và j là hai nghiệm dương của phương trình J x 0   1

 Tính trực giao thứ hai của hàm Bessel:

1.4 CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BESSEL

1.4.1 Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm Bessel

Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J i x

Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier – Bessel

 Nếu i i1, 2  là nghiệm của phương trình   '  

Nhân hai vế với xJ j x

L

i i

2 2 2

Khi a0 0, a1 0 ta có nghiệm riêng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc lẻ của x

Khi n n 1 phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi đến bậc n Tìm nghiệm tương ứng của phương trình:

1 '

,

2 ! (n=0,1,2 )

n n

Đây là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (2.28) khi

tức là các đa thức Legendre trực giao nhau trên đoạn  1; 1

Bây giờ chuẩn hóa đa thức Legendre

 

1

2 1

 

 

2 2

2

11

0,1, 2, ; 1

n n

b) Tính trực giao và chuẩn hóa của các đa thức Legendre:

Chia hai vế cho R r Y   ,  ta có:

2 2

trong đó n thỏa mãn phương trình  n n 1

Xét bài toán ngoài, do n nguyên, 0 n1

Hàm Y thỏa mãn điều kiện:

1 d

m d

m m

sin

m

m m

     

     

00

mn mn

  trên hàm cầu bởi vì sin

chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm sin

cos

k k

Hình 2.1 Biểu diễn màng trong hệ tọa độ 0xy Phương trình dao động của điểm M(x,y) theo thời gian có dạng:

W(x,y,t) là ngoại lực tác dụng lên màng trên một đơn vị diện tích

T là sức căng của màng trên một đơn vị diện tích 0

a, k là các hệ số của màng, tùy thuộc vào đặc tính cấu tạo của màng

Từ (2.1), trong một số điều kiện cụ thể ta có các phương trình dao động của màng tự do:

 Nếu WW(x, y) và u(x, y) tức là các hàm không phụ thuộc thời gian, ta

có phương trình dao động ở trạng thái dừng:

 Mép của màng gắn chặt:

x,y C

u(x, y, t)  0 (2.3) C: Là đường biên của màng

 Màng có mép tự do:

x,y C

ugradu.n f (x, y)

 (2.4)Các điều kiện ban đầu:

 Hình dạng ban đầu của màng:

2.2 Phương pháp giải bài toán

Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt Bài toán dẫn đến việc giải phương trình:

Điều kiện biên (2.4), trong bài toán có dạng:

u(r, )  r L 0 (2.9) Điều kiện ban đầu:

t 0

uu(r, ,0) f (r, ); F(r, )

t 



 (2.10) Hàm u(r, , t) được tìm dưới dạng tích của các hàm T(t) và V(r, ) :

u(r, , t) T(t)V(r, ) Phương trình (2.8), được viết lại:

2

r, 2

1V(r, )T (t) T t V(r, )a

Vế trái của (2.11) chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào

r,, do đó để (2.11) xảy ra thì cả hai vế cùng bằng một hằng số  nào đó Như vậy từ (2.12), ta có hệ:

Vế trái của (2.13) là hàm phụ thuộc vào góc , vế phải là hàm phụ thuộc vào

r, do đó cả hai vế của (2.13) dẫn đến hai phương trình tương đương:

Hàm Y( ) là hàm tuần hoàn với chu kì 2, tức là:

Y    2n Y( ) n 1,2,3  Xét phương trình thứ hai của hệ phương trình (2.14), có phương trình đặc trưng:

2

k   0 (2.15)  Nếu < 0 đặt 2

Y  C e C e  theo tính chất tuần hoàn của hàm Y  :

R L  0 J L     0 L trong đó  mn là nghiệm của phương trình: Jn x 0

Như vậy:

  2 n m

mnL

với

  2

n m

at

T cos

 và

  n m mn

at

T sin

 Các nghiệm riêng của phương trình (2.8), thỏa mãn điều kiện biên (2.9), sẽ là:

2 0



   

 với n là số nguyên khác 0 2

m 1 0

m 1 0

rJ

Tìm dao động ngang của màn tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây

ra bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm Điều kiện ban đầu có

 

uu r, tViệc tìm dao động của màng dẫn đến việc giải phương trình (2.30), với các điều kiện ban đầu:

Và điều kiện biên: U L, t 0

Trong hệ tọa độ cực với gốc tọa độ là tâm của màng tròn phương trình dao động của màng được viết lại:

'' '

'' 2

(0) m m

at

T cos

 và

(0) m m

at

T sin



(0) m m

at

T sin

Nghiệm riêng của phương trình (2.31), sẽ là:

và nghiệm tổng quát của (2.31) là:

2.3.2 Bài tập 2

Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt Độ

lệnh ban đầu có dạng Parapol tròn xoay:

2 2

( ,0) ( ) (1 r )

L

   và vận tốc ban đầu bằng không

Giải:

Phương trình dao động của màng:

2 2

khảo sát và thời gian khảo sát

Độ lệch ban đầu có dạng parapol (hình 2.1.)

Các điều kiện bạn đầu:

2

0 2

0 4 (0) 1 (0)

(0) 0

1 0

Vậy phương trình dao động của điểm bất kì trên màng là:

(0)

(0) 0

L





2.3.3 Bài tập 3

Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với biên gắn chặt, vận

tốc ban đầu cho bởi hàm 0 ( ) cos( )

Giải tương tự bài tập 1 ta được nghiệm của phương trình (2.42), với điều kiện biên đã cho là:

(0) 0

2 2 (0)

2

( ) J ( ) 0( )

L

m m

Tìm dao động của nước trong môt hình trụ thẳng đứng, nếu vận tốc ban đầu

là một hàm đối xứng xuyên tâm, còn áp suất trên mặt nước được giữ không đổi Giải: Phương trình dao động của màng:

0

r L

V T

 

 r L 0

V T

Áp dụng công thức truy hồi ta có:

  1   1   1   1

1 1

1 0

m m t

1

1 2 1

0 2

0

m t

1 0

m m t

1 2

0 2

Như vậy phương trình hàm dao động của một điểm bất kỳ của bình nước là:

 

  1 '

1 2

0 2

1 0

m m t

1

1 2 1

0 2

1 0

m m t

1 2

0 2

Hàm dao động của màng là nghiệm của phương trình (2.55) với các điều kiện: Điều kiện biên: u r o, , t 0 và u r ,0, t u r,0,t0

Điều kiện ban đầu: u r , ,0  f r , và  

,,

theo điều kiện biên: Y 0  0 C10

 

  0

0 0

Áp dụng điều kiện ban đầu :

0 1

n m

, sin ,

2

n m

mn n m

c : nhiệt dung

(x, y,z) : mật độ khối lƣợng

k(x, y,z) : hệ số dẫn nhiệt của vật rắn

F(x, y,z) : mật độ nguồn nhiệt của vật rắn

Nếu vật không có nguồn nhiệt thì F(x, y,z)0 phương trình (3.2) trở thành:

Điều kiện biên:

 Cho biết nhiệt độ được xác định trên biên của miền:

1 (x,y,z) Su(x, y,z, t)  f (x, y,z, t)

 Cho biết dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền:

  x,y,z S 2  x,y,z S x,y,z S

u  f (r, ,z) , biết rằng mặt trụ duy trì nhiệt độ bằng không

Trong tọa độ trụ phương trình truyền nhiệt có dạng:

 Điều kiện ban đầu:u t 0 f (r, ,z).

Chọn nghiệm dưới dạng tách biến: u(r, ,z,t) R(r) ( )Z(z)T(t)   

Thay vào phương trình (3.3), ta được:

"

2 2

Từ điều kiện biên ta thấy rằng: Z(0)  Z(L)  0 và R(r )0  0

Ta xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình (3.5):

vì hàm  ( ) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2  , lý luận tương tự như phần giải phương trình truyền sóng ta suy ra được  phải là các số tự nhiên:

n n

R(x)  J (x)

k 0