Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI NÓI ĐẦU Trong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương pháp như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt thì việc

LỜI NÓI ĐẦU

Trong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương pháp như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt thì việc chọn hệ toạ độ và tách các biến phụ thuộc vào hình dạng của vật, nếu vật là có hình dạng trụ hoặc tròn thì ta giải bài toán trong hệ toạ độ trụ sẽ dẫn đến phương pháp giải là đơn giản nhất Khi giải phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt có dạng hình tròn hoặc hình trụ bằng phương pháp tách biến sẽ dẫn đến các phương trình vi phân Bessel

Quá trình học môn Vật lý-Toán sinh viên đã được làm quen với một số hàm đặc biệt như: hàm Lagrăng, hàm Bessel… nhưng việc tìm hiểu sâu vào tính chất, đặc điểm của các hàm này còn rất hạn chế vì thời gian ngắn Quá trình giải các bài toán bên cạnh tư duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên kỹ năng giải tích toán học đặc biệt là việc giải các phương trình vi phân, do đó việc cũng cố và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng

Vì những lí do trên tôi đã trọn đề tài: “ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG VÀ TRUYỀN NHIỆT”, hi vọng khoá luận sẽ giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý trong việc giải bài tập về phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

Chúng ta có thể gặp các bài toán của phương trình truyền sóng và truyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, trong nội dung của một khóa luận chúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian hai chiều và

ba chiều

Bằng những kiến thức về Vật lí-toán, Giải tích…bằng cách tìm tòi và thu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành khóa luận này với nội dung chính như

Chương I: Tổng quan hàm Bessel

Chương II: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền sóng

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Tiến Dũng đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, về phương pháp và tài liệu Xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

HOÀNG VĂN THỤY

Ch-ơng I Tổng quan Hàm Bessel

I- Ph-ơng trình Bessel

Quá trình giải các bài toán tìm ph-ơng trình truyền sóng và ph-ơng trình truyền nhiệt bằng ph-ơng pháp tách biến đều đ-a ta đến bài toán giải các ph-ơng trình vi phân Trong đó ta th-ờng gặp ph-ơng trình vi phân dạng:

    q x y r x y

dx

dy x p dx

d y

) b ( dy )

b ( y

0 dx

) a ( dy )

a ( y

4 3

2 1

Quá trình giải bài toán Stum-Liouville đ-a ta đến các hàm đặc biệt Trong

đó có hàm Bessel Trong giới hạn của khoá luận này chúng tôi chỉ xét các tính chất và ứng dụng của hàm Bessel

Xét bài toán Stum-Liouville

điều kiện biên của bài toán :   0

Trong hệ toạ độ cầu:

2

2 2 2 2

2 2

sin r

1 sin

sin r

1 r

r r r

sin

1 sin

r r r

1

, 2 '

' 2



r Y R r

Y R Y

) R r )

R r (( 2 ' '   2   ,



Y

Y R

R r R

2 '

' 2

02

' ' 2 2

,

R r R

r r

Y Y

1

2 '

1

2 '

0 y ) x

( xy y

a

x a x a a ( x )

x

(

víi a 0 ≠ 0 (1.9) Thay chuçi v« h¹n (1.9) vµo ph-¬ng tr×nh (1.8) ta ®-îc:

x a

2 k

k 2 k k 2 2

1 1 2 2 0

2 2

0 ) (

2 2

2

1 2 2

2 2 0

k

k a a k

a a

a a

) 1 n ( 2

a )

4 2 ( 4

a a

) 2 n (

4

2 2 2

1 2

a

! 3 3 2

a )

6 2 ( 6

a a

) 3 n ( 6

n 0

Theo tÝnh chÊt cña hµm Gamma:

 1 2 3   nn ! 1( n1 )

 n 1

! n 2

n n

1 n

! n

2

x 1 )

x ( J

J gäi lµ hµm Bessel lo¹i 1 cÊp

 NÕu    nghiÖm thø 2 cña ph-¬ng tr×nh (1.8) ®-îc t×m b»ng c¸ch thay  b»ng -

n n

1 n

! n

2

x 1 )

x ( J

1 n

! n

2

x 1 )

x (

l 2 l

1 l )!

l (

2

x 1 )

x ( J

hay

 

!12.1)

(

0

2

x J l

l

x x

J

l

l l

x J

Khi  là số nguyên d-ơng k nào đó thì:

x J

khi này  x là một nghiệm riêng của ph-ơng trình (1.8) và độc lập tuyến tính vớiJ( x ) Do đó nghiệm của (1.8) trong tr-ờng hợp  nguyên d-ơng là:

y(x)=C 1J (x)+C 2  x với C1, C2 là các hằng số tuỳ ý

III Các tính chất của hàm Bessel

1 Tính chất truy hồi

Chúng ta dễ dàng đi chứng minh các tính chất này

Ví dụ đối với công thức (1.13.a) thì ta có:

n

n 2 n

2

x 1 n

! n

1 dx

d x

J x dx

2

1 2 221

!

)22(1

n

n

n n

x n

n x

     '

) cos(





vµo hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh (*) vµ nh©n

) sin(

1

 vµo hai vÕ cña

ph-¬ng tr×nh (**), råi tiÕn hµnh trõ tõng vÕ cña hai ph-¬ng tr×nh trªn, ta ®-îc:

Tõ (*) vµ (***) ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

C¸c tÝnh chÊt cßn l¹i ®-îc chøng minh t-¬ng tù

2 TÝnh trùc giao cña c¸c hµm Bessel

NÕu 1 ,2 ,n lµ c¸c nghiÖm d-¬ng (thùc) cña ph-¬ng tr×nh

j i nÕu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

V× vËy ta cã:   2  

2

0

dJ kx d

dJ k x d

dJ k x d

x k dJ x k xJ dx

d dx x k J x k xJ k

1 1

2 2

1 2

2 2

j j

i i

J L L J L k J

J L L J L k J

L k

2

L k J L k J k L lim

k k

L k J L k J Lk

' 1 2 k k 2

1

2 2

1

' 2 1 k k

2

1 2 1

2

L dx x k J x k

2 L

0

2 1

j i nếu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

3 Một số tr-ờng hợp riêng của hàm Bessel

Các hàm Bessel th-ờng gặp trong Vật lí toán đó là các hàm

1 1

6 4 2

x 4

2

x 2

x 1 x J

k 2 2 k 2

2 2 6 2

2

4 2

J1     1

, các hàm J2   x ,J3 x có thể đ-ợc tìm từ J0   x ,J1 x

§å thÞ biÓu diÔn c¸c hµm J 0 (x), J 1 (x), J 2 (x) H×nh 1

 C¸c hµm b¸n nguyªn J  x , J  x

2

1 2

1  ®-îc biÓu diÔn nh- sau:

k 2 2 1 k

2

1

) k 2

3 (

! k

2

x 1 x

) 1 k 2 (

5 3 1 ) k 2

1 k 2 k

2 1

)!

! k 2 (

x 1 x

2 x

J1     1

ta t×m ®-îc:

) x

) x sin(

) x cos(

( x

2 J

2



) (

0 x J

) (

1 x J

) (

2 x J

y

x

H×nh 1: §å thÞ mét sè hµm Bessel

H×nh 1: §å thÞ mét sè hµm Bessel

§å thÞ cña mét sè hµm Bessel b¸n nguyªn H×nh 2

4 Khai triÓn mét hµm tuú ý vµo c¸c hµm Bessel

C¸c hµm Bessel ( )

L

x

J i i=1,2,3… Trùc giao vµ chuÈn ho¸ trªn  0 , L

Khai triÓn mét hµm bÊt k× vµo chuçi c¸c hµm Bessel ( )

j i nÕu 0 dx L

x J

L

x xJ

I

2 1

2 I

' 2 L

2 1

 x J

2

2 5

y

x

H×nh 2: §å thÞ cña mét sè hµm Bessel b¸n nguyªn

nh©n hai vÕ (1.18) víi )

L

x (

xJ j , ta ®-îc:



1

x ( xJ ) L

x ( J a dx

) L

x ( J ) x ( xf

1 i

j i

L

0 i j

L

0

2

J 2

L a dx ) L

x ( J ) x (

Ch-ơng 2 ứng dụng hàm Bessel để giải các bài toán

truyền sóng trong màng tròn

I Bài toán

Một màng tròn mỏng đ-ợc căng ra trên một mặt phẳng Oxy, d-ới tác dụng của các kích thích ban đầu, các điểm trên màng sẽ chuyển động vuông góc với mặt phẳng của màng

Ph-ơng trình dao động của điểm M(x,y) theo thời gian:

a,k là các hệ số của màng, tuỳ thuộc vào đặc tính cấu tạo của màng

Từ (2.1) trong một số điều kiện cụ thể ta có các ph-ơng trình đơn giản hơn

 Nếu nếu k = 0 và W = 0 ta có ph-ơng trình dao động của màng tự do:

Các điều kiện ban đầu:

 Hình dạng ban đầu của màng:

II Ph-ơng pháp giải bài toán

Xét dao động của màng tròn bán kính L, mép gắn chặt Chúng ta đi giải

thoả mãn các điều kiên biên (2.4) và các điều kiện ban đầu (2.6), (2.7)

Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, (2.2) đ-ợc viết lại:

Điều kiên biên (2.4) trong bài toán có dạng: u r( , )  r L 0 (2.9)

điều kiện ban đầu: u(r,φ,0)=f(r, φ);    

u t 0 F r( , )

Hàm u(r, φ,t) đ-ợc tìm d-ới dạng tích của các hàm T(t) và V(r, φ):

ph-ơng trình (2.8) đ-ợc viết lại:

) , r ( V ) t ( T ) t ( T ).

, r ( V a

1

, r '

( , )( )

( ) ( , )

T t

Vế trái của (2.11) chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào r, φ,

do đó để (2.11) xảy ra thì cả hai vế cùng bằng một hằng số - λ nào đó

Y(φ) =C 1 e c φ +C 2 e -c φ với C 1, C 2 là những hằng số tuỳ ý

Theo tính chất tuần hoàn của hàm Y(φ) thì:

do tÝnh chÊt tuÇn hoµn:

Y( 2n)C1 C2C n22  C1 C2 Y 

do n lµ sè nguyªn tuú ý, suy ra: C 2 = 0

VËy Y(φ) lµ mét h»ng sè: Y(φ) = C 1

c 1 e

1 e

n i

n i

Theo ®iÒu kiÖn biªn: R(L)=0 J n( L)=0  (n)



V mn (r,φ)= J n (

L

r

n m

) (

) (



sin(nφ) (2.21)

Với

2 ) (

at cos A [(

) n ( m mn

) n ( m

L

at sin D L

at cos C (

) n ( m mn

) n ( m

) (

L

r J

n m n

Nghiệm tổng quát của ph-ơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) sẽ là: u(r,φ,t)=

) L

at sin B L

at cos A [(

) n ( m mn

) n ( m

L

at sin D L

at cos C (

) n ( m mn

) n ( m

n m n

r J

Các hệ số A mn , B mn , C mn , D mn đ-ợc xác định từ các điều kiện ban đầu:

độ lệch ban đầu u(r,φ,0)=f(r, φ), do đó:

2

d n cos víi n lµ sè nguyªn kh¸c 0

) n

0

0 ).

cos(

) cos(n l d víi l n

L

r J

A 2 d ) , r ( f

1( , )

2

m m

L

r J

C d

).

n sin(

) , r ( f

1( , )sin( )

n m

nm n m

L

r J

A d

) n cos(

) , r ( f

1( , )cos( )

n m

nm n m

) (

0 0 1

( ) 2

0 0 1

( ) 2

.1

( , )( )

.2

( , ) cos( )( )

L

m m

m

n L

m

n L

0 0 1

( ) 2

0 0 1

( ) 2

0 0 1

.1

( , )

.2

.2

L

m m

n L

m

n L

u=u(r,t)

Việc tìm giao động của màng dẫn đến việc giải ph-ơng trình (2.30) với các

điều kiện ban đầu:

u(r,0)=f(r) ; F r

t

u

0 t









và điều kiện biên: U(L,t)= 0

Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, ph-ơng trình dao

động của màng đ-ợc viết lại:

dV x dx

V d



),

2 ) 0 ( m mn

T ''  2 Ph-ơng trình này sẽ có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính:

B L

at cos A (

) 0 ( m m

) 0 ( m m

) 0 ( m m

) 0 ( m m

L

at sin B L

at cos

0

)( m r )

J

Các hệ số A m và B m đ-ợc xác định theo điều kiện ban đầu, đó là các hàm biến thiên của bán kín của các điểm khảo sát, các hệ số này không phụ thuộc vào thông số góc 

.2

( )

L

m m

.2

( )

L

m m

2

u

a u

t

Theo lí luận ở bài tập 1, hàm sóng chỉ phị thuộc

vào bán kính của điểm khoả sát và thời gian khoả sát

Các điều kiện ban đầu:

Điều kiện biên: u(L,t) = 0

áp dụng kết quả bài tập 1, ph-ơng trình dao động của một điểm bất kỳ trên màng là:

u(r,t)=

1 m

) 0 ( m m

) 0 ( m m

L

at sin B L

at cos

0

)( m r )

0 ( m 2 1 2

L

r J

L

r 1 A ) ( J L

2

A 8

) 0 ( m 1 3 ) 0 (

0 ( m

2 1 ) 0 ( m

L

r J

0 ) ( J La

r L

1

) 0 ( 1 3 ) 0 (

) 0 ( 0

cos)()(



u(x,t)

r F t

r F t

Điều kiện biên: u(L,t)=0

Giải t-ơng tự bài tập 1 ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình (2.42) với điều

kiện biên đã cho là:

u(r,t)=

1 m

m (r, t)

1 m

) 0 ( m m

) 0 ( m m

L

at sin B L

at cos

0

)( m r )

0 ( m 2 1 2

L

r J

) r ( f ) ( J L

0 ( m

2 1 ) 0 ( m

L

r J

) r ( F ) ( J La

4 ) 0 (

a

A 8



Vậy ph-ơng trình dao động của màng tròn là:

L

at J

a

r L

1

) 0 ( 1 4 ) 0 (

) 0 ( 0

sin)()(

Tìm dao động của n-ớc trong một hình trụ thẳng đứng, nếu vận tốc ban

đầu là một hàm đối xứng xuyên tâm, còn áp suất trên mặt n-ớc đ-ợc giữ không

r 

1 V

V r

1

2

' '

r (

)) r ( J ( D

L r

Tõ c«ng thøc truy håi cña hµm Bessel:J0'(x)J1(x) nªn J 1 ( L )=0 Ta

gäi c¸cm(1) lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh J 1 (x)=0, suy ra:

) 1 ( m

u m (r,t)= )

L

at sin B L

at cos A (

) 1 ( m m

) 1 ( m m



)

)(

) 1 ( 0

L

r

J mnghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh (2.44) lµ:

u(r,t)=

1 m

m (r, t)

L

r ( J ) L

at sin

B L

at cos

A (

) 1 ( m 0 1

m

) 1 ( m m

) 1 ( m m

) 1 ( m 0 )

1 ( m m

) 1 ( m m

r

) L

r ( J ) L

at sin B L

at cos A (

) 1 ( m ) 1 ( m 1 m

L

) L

r ( J

0 2

u r

0

t

t

u r

) 1 ( m 1

) 1 ( m ) 1 ( m

L

r ( J L L

1 m

m (r, t)

L

r ( J ) L

at sin

B L

at cos

A (

) 1 ( m 0 1

m

) 1 ( m m

) 1 ( m m

®iÒu kiÖn biªn: u(r0 , ,t)= 0 vµ u(r,0,t)=u(r,0 ,t)=0

§iÒu kiÖn ban ®Çu: u(r,,0)=f(r, ) vµ F r ,

t

u

0 t

( )( )

Hµm V(r,) ®-îc t×m d-íi d¹ng tÝch cña hai hµm: V(r,) =R(r)Y()

theo ®iÒu kiÖn biªn: u(r 0 ,,t)=0  R(r 0 )=0

u(r,0,t)=u(r, ,t)=0 Y(0)=Y( )

thay V(r,) =R(r)Y() vµo ph-¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (2.56) ta ®-îc hÖ ph-¬ng

) (

n L

at D

L

at C

t r u

n m n

n m mn

n m mn

mn

) ( )

( )

(

sin sin

cos )

, ,

( )

(

sin sin

cos

n m n

n m mn

n m mn

L

r J

n L

at D

k l nÕu 0 d

) l sin(

)

k sin(

d ) l sin(

) n

sin(

0 0

0

0

0 0

C n

r f

n m m

n mn

) ( 1

L

r J

) , r ( rf J

L

4 C

L

0 0

n m n )

n ( m 2 1 n 2 0 mn

L

r J

) , r ( rf J

La

4 D

L

0 0

n m n )

n ( m 2 1 n ) n ( m 0 mn

víi c¸c hÖ sè khai triÓn (2.60) vµ (2.61)

Ch-ơng 3 ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán

truyền nhiệt trong màng (trụ) tròn

u(x,y,z): Nhiệt độ của vật rắn

Nếu vật không có nguồn nhiệt thì F(x,y,z)≡0 ph-ơng trình (3.2) trở thành:

) z

u y

u x

u ( a t

u

2

2 2

2 2

2 2

Để giải bài toán truyền nhiệt ta cần phải xác định các điều kiện biên và

điều kiện ban đầu:

các diều kiện biện:

 Cho biết nhiệt độ đ-ợc xác định trên biên của miền:

) t , z , y , x ( f )

t , z , y , x (

 Cho biết dòng nhiệt đi qua biên đ-ợc xác định rõ trên biên của miền:

S z y x S

z y x S

z y

n

t z y x u

) , , ( )

, ,

) , , ,

đối với biên bảo vệ, tức là biên cách nhiệt thì:

0

) , , , (

) , , ( )

, ,

n

t z y x

 Điều kiện biên hỗn hợp:

S z y x S

z y

x f x y z t t

z y x hu n

t z y x u

) , ,

) , , , ( )

, , , (

Trong toạ độ trụ ph-ơng trình truyền nhiệt có dạng:

 Các điều biên: u(r0 ,φ,z,t)=0; u(r,φ,0,t)=0; u(r,φ,L,t)=0

 Điều kiện ban đầu: u t0  f(r,,z)

Chọn nghiệm d-ới dạng tách biến: u(r,φ,z,t)=R(r)Ф(φ)Z(z)T(t)

'    

v× hµm Ф(φ) lµ hµm tuÇn hoµn víi chu k× 2π, lÝ luËn t-¬ng tù nh- phÇn gi¶i

ph-¬ng tr×nh truyÒn sãng ta suy ra ®-îc  ph¶i lµ c¸c sè tù nhiªn:

)]

r ( ' rR [ ) r ( R

1

r 2 R ’’ (r)+rR ’ (r)+(r 2 -n 2 )R(r)=0 thay x= rvµo ph-¬ng tr×nh trªn ta ®-îc ph-¬ng tr×nh Bessel:

ph-¬ng tr×nh (3.11) lµ ph-¬ng tr×nh Bessel cÊp n, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm:

R(r)=R nk (r)=n J n r

r 0

) n ( k

) z (

Z ''

hay Z '' ( z )Z ( z )0

Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy ta ®-îc: Z(z)=Ccos(  z)+Dsin(  z)

theo ®iÒu kiÖn biªn:

m ( 

+

2

0

) n ( k

nk

2 2

0

) n ( k 2

e ) t ( T ) t ( T

2

2 ( )

2 0

L r k

0 n n Nếu 2

n n Nếu 0

d ) n cos(

).

n cos(

, ,

' 2

0

'

m m Nếu 2 L

m m Nếu 0 dz ) z L

m sin(

).

z L

m sin(

0 n Nếu 1

n



III Các bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Tìm nhiệt độ của ống trụ dài vô hạn với tiết diện hình tròn, biết rằng nhiệt

độ của các điểm cách trục ống một khoảng nh- nhau thì bằng nhau Bề mặt ống trụ luôn duy trì ở nhiệt độ bằng không và nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(r)

Giải:

Vì các điểm cách trục ống một khoảng nh- nhau thì có nhiệt độ bằng

nhau, và ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào bán kín r và thời gian t

u=u(r,t)

Ph-ơng trình truyền nhiệt trong toạ độ trụ của hàm u(r,t) sẽ là:

2 2 2

 §iÒu kiÖn ban ®Çu: u(r,0)=f(r)

Ph©n tÝch hµm u(r,t) thµnh tÝch cña hai hµm R(r) vµ thêi gian T(t)

( )

0( )

» h lµ Víi r

)]

r ( ' rR [ ) r ( R

1 ) t ( T a

) t ( '

0( )1

0 0

r 0

) r ( J ) r (

nªn R(r)=J 0 (

0

) 0 (

0 k

2 2 k

e ) r ( J ) t r (

NghiÖm tæng qu¸t:

2 2

0 1

k 0

k J ( r ) f ( r ) A

) 0 , r (

Và điều kiện ban đầu: u t0  f(r,)

hàm u(r,,t) d-ới dạng tích của các hàm R(r), (), T(t)

u(r,,t) =R(r)()T(t) (3.21) Vì nhiệt độ không phụ thuộc vào z nên: 0

) z ( Z

) z (

Z '





 Thay (3.21) vào (3.20) ta đ-ợc:

)(1)]

('[)(

1)(

)(

2

' 2

r r

r rR r R t T a

t T

Do  = 0 áp dụng công thức nghiệm (3.12) Ta có nghiệm của ph-ơng trình (3.20) là:

2 ( ) 2

Ph-¬ng tr×nh (3.26) ®-îc gi¶i víi c¸c diÒu kiÖn:

§iÒu kiÖn biªn: u(r 0 ,,t)=0 vµ u(r,0,t)=u(r,0 ,t)=0

§iÒu kiÖn ban ®Çu: u t0  f(r,)

Hµm u(r,,t) d-íi d¹ng tÝch cña c¸c hµm: u(r,,t)=R(r)()T(t)

' '' 2

0 ) ( n ) (

2 2 '





XÐt ph-¬ng tr×nh: x2 R ’’ (x)+x.R ’ (x)+(x 2 -n 2 )R(x)=0

®©y lµ ph-¬ng tr×nh Bessel cÊp n, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm:

R(r)=n J n ( .r )+nn ( .r )

do tÝnh chÊt giíi h¹n cña nghiÖm nªn n =0 nªn R(r)=n J n ( r )

¸p dông ®iÒu kiÖn biªn:

Với các trị riêng nm ph-ơng trình thứ hai của hệ ph-ơng trình (3.27) có

nghiệm riêng:

t a r nk

2 2

0

) n ( m

e ) t ( T ) t (

r r



)

0

t a

n Với e

2 2 0

) n ( m

n m

r m

( )2

n m

mk m k

( ) 2

Tìm nhiệt độ trong hình trụ tròn dài vô hạn, biết rằng mặt xung quanh

đ-ợc giữ ở nhiệt độ không đổi u 0 nhiệt độ ban đầu trong hình trụ

),