Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu và hệ thống hóa các khái niệm cũng như tính chất của hàm Bessel loại I và loại II, bao gồm cả hạng nguyên và bán nguyên Nghiên cứu cũng tập trung vào ứng dụng của hàm Bessel trong Vật Lý, thông qua việc giải quyết một số bài toán liên quan đến tọa độ, bài toán biên và bài toán dừng, nhằm làm sáng tỏ lý thuyết và giúp người đọc hiểu rõ hơn về công dụng của hàm Bessel.
Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau đó hệ thống lại lý thuyết theo cách hiểu riêng
- Sử dụng phương pháp chứng minh để làm rõ một số vấn đề cũng như một số
Ngoài việc áp dụng các phương pháp phân tích và tổng hợp, việc hệ thống hóa tài liệu đã nghiên cứu cũng là yếu tố quan trọng giúp hoàn thiện bài luận văn.
Các bước thực hiện đề tài
- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan
- Lập đề cương chi tiết của luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn
- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên
- Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo
Phương trình Bessel
Thiết lập phương trình Bessel dựa vào bài toán dao động màng tròn
Xét dao động của một màng tròn có bán kính q trong mặt phẳng Oxy, với tâm là gốc tọa độ Khi chuyển từ hệ tọa độ ĐêCac sang hệ tọa độ cực, phương trình của đường tròn biên của màng được biểu diễn là q r = (H.1) Độ lệch của một điểm trên màng được mô tả như một hàm của các biến r, ϕ và t: u = u(r, ϕ, t).
Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng:
Do đó, phương trình dao động của màng trong tọa độ cực có dạng:
Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên có dạng: u t = 0 = f ( ) r , ϕ ; u t ′ t = 0 = F ( ) r , ϕ (1.2)
Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.1) biểu diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng: u = R ( r ) Φ ( ϕ ) T ( t )
Thế u = R ( r ) Φ ( ϕ ) T ( t ) vào phương trình (1.1), ta được:
Phương trình (1.4) cho thấy rằng vế trái không phụ thuộc vào r và ϕ, trong khi vế phải không phụ thuộc vào t Điều này dẫn đến việc cả hai vế của phương trình đều không phụ thuộc vào r, ϕ và t, tức là: y x r ϕ.
1 ( 1 Đặt hằng số là − ν 2 , ta thu được hai phương trình vi phân sau:
Phương trình (1.6) được viết lại dưới dạng:
Cũng tương tự như trên, ta đặt hằng số của vế trái và vế phải của đẳng thức (1.7) là λ Từ đây, ta rút ra: Φ ′′ − λ Φ = 0 (1.8) ν = λ
Ta sẽ tìm nghiệm không thuần nhất của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (1.8) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn của hàm Φ: Φ ( ϕ + 2 π ) = Φ ( ϕ ) (1.10)
Bài toán chỉ có nghiệm không thuần nhất với một số giá trị đặc biệt của λ Xét phương trình đặc trưng của phương trình (1.8) là:
2−λ=0 p Tùy theo dấu của λ, ta sẽ có các trường hợp sau đây: a) λ = k 2
Nghiệm tổng quát của (1.8) là: Φ ( ϕ ) = C 1 e k ϕ + C 2 e − k ϕ
(C 1 và C 2 là những hằng số tùy ý)
Từ điều kiện tuần hoàn (1.10), ta có:
Vậy, trong trường hợp này, phương trình (1.8) chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không b) λ = 0
Phương trình (1.8) có nghiệm tổng quát là: Φ ( ϕ ) = C 1 ϕ + C 2
Từ điều kiện (1.10), ta cũng suy ra được:
Vậy, phương trình (1.8) cũng chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không c) λ = − k 2
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8):
) (ϕ =C 1 kϕ +C 2 kϕ Φ Dạng nghiệm này thỏa điều kiện tuần hoàn vì hàm sin và hàm cos là các hàm tuần hoàn với chu kì 2 π
Vậy, phương trình (1.8) chỉ có nghiệm không thuần nhất là:
) (ϕ = C 1 kϕ +C 2 kϕ Φ trong đó C 1 và C 2 là các hằng số bất kì và k 2 = − λ
Do đó, đối với hàm R ( ) r từ phương trình (1.9) ta có:
Bây giờ, ta đưa vào biến số mới x = ν r và đặt:
Tính các đạo hàm: dx dy dr dx dx dy dr dy dr
2 dx y d dr dx dx y d dx dy dr d dr
Do đó, ta nhận được phương trình vi phân đối với hàm y ( ) x
2 + + x − k y = dx x dy dx y x d ( với k là hằng số) (1.11)
Phương trình (1.11) được gọi là phương trình Bessel.
Thiết lập phương trình Bessel dựa vào việc giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ trụ
Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặc biệt sự phân bố dừng của chúng, được mô tả bằng phương trình Laplace
Phương trình sóng đồng nhất ba chiều có dạng:
Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng:
Trong trường hợp khi hàm u = u ( x , y , z ) không phụ thuộc vào t thì:
Do đó, ta có phương trình Laplace:
Chuyển sang tọa độ trụ, bằng cách đặt:
Khi đó ta được các hàm u và toán tử Laplace cho tọa độ trụ là:
Phương trình Laplace trong tọa độ trụ có dạng:
Bằng phương pháp tách biến Fourier, ta đặt: u ( r , ϕ , z ) = V ( ) ( ) r , z Φ ϕ
Thay vào phương trình (1.12), ta được:
Phương trình (1.13) cho thấy vế trái không phụ thuộc vào ϕ, trong khi vế phải không phụ thuộc vào r và z Do đó, hai vế của phương trình này phải bằng một hằng số, được ký hiệu là k² Từ đó, ta có phương trình mới: Φ ′′ + k² Φ = 0 (1.14).
Với phương trình (1.14), ta có nghiệm:
) (ϕ = C 1 kϕ + C 2 kϕ Φ Còn phương trình (1.15), tiếp tục dùng phương pháp tách biến Fourier để giải bài toán bằng cách đặt: V ( ) r , z = R ( ) ( ) r Z z , thế vào phương trình (1.15), ta được: ( ) 2 0
Đẳng thức (1.16) có vế trái là hàm của r và vế phải là hàm của biến z, do đó ta đặt hằng số của cả hai vế là -ν² Từ đó, chúng ta có thể xây dựng một hệ phương trình.
Với phương trình (1.17) ta có nghiệm:
Còn với phương trình (1.18), ta biến đổi về dạng:
Có thể biến đổi tiếp bằng cách đặt:
Ta tìm được phương trình Bessel:
(với k là hằng số và gọi là chỉ số của phương trình Bessel)
Hàm Bessel
Khái niệm hàm Bessel
Phương trình Bessel là phương trình có dạng: x 2 y ′′ + x y ′ + ( x 2 − k 2 ) y = 0 (2.1)
(trong đó k là hằng số) Nghiệm riêng của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel
Phương trình Bessel là một phương trình tuyến tính, do đó nghiệm tổng quát của nó có thể được biểu diễn dưới dạng: y = C1 y1 + C2 y2, với y1 và y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính, và C1, C2 là các hằng số tùy ý.
Như vậy, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel, ta chỉ cần tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính bất kỳ của nó
2.1.1 Hàm Bessel loại I hạng nguyên
Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (2.1) dưới dạng chuỗi lũy thừa:
Ta lấy các đạo hàm:
Thế (2.2), (2.3) và (2.4) vào phương trình (2.1), ta được:
Chuỗi (2.5) chỉ bằng 0 khi các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x phải bằng
Vì a 0 ≠ 0, nên từ (2.6) suy ra ρ = ± k
Từ (2.7) và (2.8) ta tìm được:
Do đó, tất cả các hệ số a r với chỉ số r lẻ đều bằng không, nghĩa là:
Các hệ số với chỉ số r chẵn được cho bởi:
0 = Γ + a k k trong đó Γ ( ) k là hàm Gamma xác định với mọi giá trị k dương có dạng:
Sử dụng các tính chất của hàm Gamma:
Khi chọn có dạng như trên, hệ số a 2 r được viết lại dưới dạng:
Thay các giá trị của hệ số a 2 r và a 2 r + 1 vào (2.2), ta tìm được nghiệm riêng của phương trình Bessel (2.1) là:
Chuỗi (2.9) xác định hàm Bessel loại I tất cả các hạng k = 0 , 1 , 2 , (k là số nguyên) Dễ dàng thấy rằng chuỗi hội tụ với mọi x và thỏa mãn phương trình (2.1) Trường hợp: ρ = − k
Phương trình (2.1) giữ nguyên khi thay k bằng −k, dẫn đến việc với ρ = −k, chúng ta có nghiệm riêng thứ hai của phương trình Bessel Nghiệm này được suy ra từ dạng nghiệm (2.9) thông qua việc thay k bằng −k.
J k và J − k ( ) x được gọi là các hàm Bessel loại I hạng nguyên
- Nếu k không phải là số nguyên thì các nghiệm riêng J k ( ) x và J − k ( ) x là độc lập tuyến tính Vì khi x → 0 thì J k ( ) x → 0 , còn khi x → 0 thì J − k ( ) x → ∞
Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel (2.1) có dạng: y ( ) x = AJ k ( ) x + BJ − k ( ) x trong đó A, B là những hằng số tùy ý
- Nếu k là một số nguyên dương n thì J k ( ) x và J − k ( ) x phụ thuộc tuyến tính, hơn nữa: J − n ( ) ( ) ( ) x = − 1 n J n x
Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel (2.1) có dạng:
( C là hằng số) Đồ thị hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số k = 0 , 1và 2 (H.2)
Nhận xét đồ thị hàm Bessel:
Đồ thị của chúng có hình dạng tương tự như đường sin, với các giao điểm trên trục hoành không đều và biên độ giảm dần Thông tin chi tiết có thể tham khảo trong bảng giá trị hàm ở phụ lục.
- Với x rất nhỏ, đồ thị hàm J 0 ( ) x tiến đến 1 trong lúc đó J 1 ( ) x và J 2 ( ) x tiến đến 0
2.1.2 Hàm Bessel loại II hạng nguyên
Khi k không phải là số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Bessel là J_k(x) và J_{-k}(x) Tuy nhiên, khi k là số nguyên, hai nghiệm này không còn độc lập Do đó, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel với k là số nguyên dương, cần xác định một nghiệm khác độc lập tuyến tính với J_k(x).
(với k không phải là số nguyên)
Hàm Y k ( ) x là một nghiệm của phương trình Bessel, có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng J k ( ) x và J − k ( ) x Hàm này còn được biết đến với tên gọi là hàm Bessel loại II hạng k, hoặc hàm Neuman, hay hàm Webe.
Trường hợp đặc biệt, k là số nguyên dương n thì ta có định nghĩa sau:
Vì J − n ( ) ( ) ( ) x = − 1 n J n x nên khi lấy giới hạn (2.13), biểu thức có dạng
0 Áp dụng quy tắc L’Hopital :
1 1 lim cos sin cos lim
Từ đây, ta có thể suy ra:
Y k 1 k 1 k k π (2.14) Áp dụng quy tắc L’Hopital, ta thu được biểu thức tường minh của Y n ( ) x :
Các hàm J k ( ) x và Y k ( ) x là độc lập tuyến tính, trong đó Y k ( ) x là tổ hợp tuyến tính của hai hàm J k ( ) x và J − k ( ) x Do đó, Y k ( ) x chính là nghiệm riêng thứ hai cần tìm, và nghiệm tổng quát của phương trình Bessel sẽ được biểu diễn dưới dạng.
(C 1 , C 2 là những hằng số tùy ý)
- Y k ( ) x cũng có tính chất giống như J − k ( ) x , khi k là một số nguyên ta cũng có:
Từ biểu thức (2.14), thay k bởi− k, ta được:
− π π π Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với chỉ số k = 0 , 1 , 2 (H.3)
Các công thức truy toán đối với hàm Bessel
2.2.1 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại I a/ ( ) J ( ) x J ( ) x x x k
∑ k r r x k r r r x k r r k x r k r r k x k r r x k r r x x x k J x x J k k r r r k r r r k r r r k r r r k r r r k r r r k k Ở biểu thức cuối cùng, ta thay r bởi r + 1 , sẽ nhận được kết quả:
Biến đổi đại lượng ( 2 r + k ) thành ( 2 r + 2 k ) − k :
Từ công thức hàm Bessel, ta có:
Từ công thức (2.19), ta nhận được:
Thay k bởi k − 1 vào biểu thức trên sẽ nhận được:
Lặp lại quá trình trên k − 2 lần, và k < n, ta được:
Từ công thức (2.20), suy ra:
Thay k bởi k + 1 vào biểu thức trên sẽ nhận được:
Từ công thức (2.19), lấy tích phân hai vế đẳng thức theo x cận từ 0 đến z, sẽ thu được:
0 1 Đặc biệt, trường hợp khi k = 1 thì:
2.2.2 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại II a/ [ x Y ( ) x ] x Y ( ) x dx d k k k k
Từ công thức truy toán (2.20), thay k bởi − k rồi nhân hai vế với π k sin
Và từ (2.19) nhân hai vế với ( )
( ) x J ( ) x k x k k J x k dx d k k k k sin 1 cos sin cos
Lấy (2.26) trừ (2.25) ta nhận được:
1 cos sin cos sin cos
Do đó, ta suy ra được:
Từ công thức truy toán (2.19) thay k bởi − k rồi nhân hai vế với π k sin
1 Và từ (2.20), nhân hai vế với ( )
( ) π π k k sin cos Sau đó, trừ các kết quả cho nhau, ta sẽ được:
1 cos sin cos sin cos
Kết hợp (2.29) với công thức (2.24) đã được chứng minh, cho ta:
Thay vào (2.27), ta suy ra được công thức (2.30) e/ Y k ( ) x [ Y k 1 ( ) x Y k 1 ( ) x ]
Công thức này thu được bằng cách cộng hai vế của (2.28) và (2.30) lại với nhau f/ ( ) Y ( ) x Y ( ) x x x k
Tương tự trên, nếu lấy hai biểu thức (2.28) và (2.29) cộng lại với nhau, thì sẽ cho ta công thức (2.32).
Hàm Bessel hạng bán nguyên
Từ phương trình Bessel (2.1) nếu thay ( )
2 n n N k = + ∈ thì ta được phương trình Bessel hạng bán nguyên
Cụ thể, xét phương trình Bessel hạng
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.33) là:
+ 1 của phương trình (2.33) được gọi là hàm Bessel loại I hạng bán nguyên, nó được xác định bởi:
Các hàm Bessel hạng bán nguyên còn được biểu thị đơn giản qua các hàm lượng giác sin x , cos x:
Với M ( ) x và N ( ) x là các đa thức của x
1 Chẳng hạn, thay k = 0 vào biểu thức (2.34), ta được:
Vận dụng tính chất của hàm Gamma:
Γ 2 1 để tìm giá trị của
Dựa vào khai triển Maclaurin đối với hàm sin x và cos x:
Do đó, biểu thức (2.35) và (2.36) được viết lại:
Dựa vào công thức truy toán:
Tương tự, ta có các công thức sau:
Tổng quát, ta nhận được công thức truy toán của hàm Bessel hạng bán nguyên như sau:
Một số dạng phương trình vi phân đưa về phương trình Bessel
2.4.1 Phương trình dạng: x 2 y ′′ + x y ′ + ( α 2 x 2 − k 2 ) y = 0 ( α ≠ 0 ) (2.37) Đổi biến: t = α x
( ) dt dy dx dt dt dy dx x dy y ′ = = = α
( ) 2 2 2 2 2 dt y d dx dt dx dy dt d dx y x d y = α
Thế vào phương trình (2.37), ta có:
t k y dt dy t dt y d t α α α α hay 2 2 2 + + ( t 2 − k 2 ) y = 0 dt t dy dt y t d (2.38)
Phương trình (2.38) chính là phương trình Bessel hạng k có nghiệm tổng quát sau:
Khi đó, nghiệm của phương trình (2.37) là: y k ( ) α x = AJ k ( ) α x + BY k ( ) α x
Thay vào phương trình (2.39), ta có:
⇔ y k y yx x y x y y x x y k x x x y y x x y y x y hay x 2 y ′′ + x y ′ + ( x 2 − k 2 ) y = 0 Đây là phương trình Bessel có nghiệm là:
Vì vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (2.39): u = x [ AJ k ( ) x + BY k ( ) x ]
2.4.3 Phương trình dạng: x 2 u ′′ + 2 x u ′ + [ α 2 x 2 − k ( k + 1 ) ] u = 0 ( α ≠ 0 ) (2.40) Đặt: t = α x và ( ) ( ) t t x y u =
Thay vào phương trình (2.40), ta được:
Phương trình (2.41) là phương trình Bessel hạng bán nguyên, nghiệm tổng quát của nó là:
Ta tìm được dạng nghiệm tổng quát của phương trình (2.40) như sau:
Không điểm của hàm Bessel
Xét phương trình: J k ( ) x = 0 với x ∈ R và k > − 1
Khi đó, phương trình J k ( ) x = 0 có một tập hợp vô số các nghiệm
( ) k à n với( n = 1 , 2 , 3 , ), cỏc nghiệm này được gọi là cỏc khụng điểm của hàm Bessel
Mặt khỏc, từ cụng thức hàm Bessel, ta thấy rằng nếu à là khụng điểm của hàm
J k thỡ − à cũng là khụng điểm của hàm J k ( ) x
Hãy xét sự phân bố các không điểm của J k ( ) x với k thực và x khá lớn
Ta viết phương trình trên dưới dạng:
2 x k sẽ rất nhỏ, do đó phương trình (2.41) được viết lại:
Từ đạo hàm u ′′ ta nhân hai vế với 2
− 1 x và biến đổi sẽ được: x y u x x y y 2 2
Kết hợp (2.43) với (2.42), ta được:
1 yx u = vào (2.44), ta được phương trình theo hàm u:
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.45) có dạng: x B x A u = cos + sin
Vì vậy, đối với các giá trị x lớn, thì nghiệm của phương trình Bessel sẽ khác rất ít nghiệm:
Nếu tính toán chính xác, ta có:
Từ (2.46) chứng tỏ J k ( ) x cú một tập hợp vụ số cỏc khụng điểm à n ( ) k với( n = 1 , 2 , 3 , ) trên nửa trục dương x:
Cú thể chứng minh được J ′ k ( ) à n ( ) k ≠ 0 và nếu đỏnh số cỏc khụng điểm theo thứ tự tăng dần: à 1 ( ) k < à 2 ( ) k < < à n ( ) k < thỡ đối với cỏc số n lớn, ( )
4 cos à n k k 2 π π gần bằng không, nghĩa là ( )
4 2 π à k − k π + n khác ít với nghiệm dương thứ n theo thứ tự tăng lên của hàm cos: nπ
Từ đõy, ta rỳt ra cụng thức gần đỳng với cỏc khụng điểm à n ( ) k của hàm J k ( ) x đối với các số n lớn:
Tương tự, nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với J k ( ) x của phương trình Bessel đối với các giá trị x lớn gần bằng:
- Tất cả các không điểm của J k ( ) x đều thực
Rõ ràng, ta thấy z 0 = ix , x ∈ R không thể là nghiệm của phương trình
J k , vì tất cả các số hạng của chuỗi sau đây đều dương:
Giả sử tồn tại nghiệm phức z 0 , vì hàm J k ( ) z 0 là hàm thực nên z 0 cũng là nghiệm của nó
Với z₀ và z₁ là hai không điểm khác nhau của hàm Bessel, chúng ta sẽ chấp nhận công thức sau, được thiết lập khi chứng minh tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel.
Lấy c = 1 và chú ý J k ( ) z 0 = J k ( ) z 0 = 0 , thì ta được:
Công thức (2.47) vô lý, vì hàm dưới dấu tích phân:
Vì vậy, mọi nghiệm của phương trình J k ( ) x = 0 đều thực
- Các không điểm dương của J k ( ) x và J k + 1 ( ) x xen kẽ nhau
Từ các công thức truy toán (2.19) và (2.20), ta nhận được công thức tính đạo hàm sau đây:
Công thức đầu tiên chỉ ra rằng giữa hai nghiệm liên tiếp của x − k J k ( )x tồn tại ít nhất một nghiệm của − x − k J k + 1 ( ) x Trong khi đó, công thức thứ hai chứng minh rằng giữa hai nghiệm liên tiếp của x k + 1 J k + 1 ( )x cũng có ít nhất một nghiệm của x k + 1 J k ( ) x.
Ngoài ra, dễ nhận thấy rằng các phương trình J k ( ) x = 0 và J k + 1 ( ) x = 0 không có nghiệm chung
Hai lập luận trên chứng tỏ các không điểm của J k ( ) x và J k + 1 ( ) x xen kẽ nhau.
Tính chất trực giao của hàm Bessel
2.6.1 Tính chất trực giao thứ nhất
Với à 1 , à 2 , , à n , là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel, trong đú
1 < à < < à n < à và c là một hằng số dương nào đú thỡ ta cú:
0 Điều đó có nghĩa là dãy hàm , = 1 , 2 , 3
J x x k à i lập thành một họ trực giao với trọng số x trên đoạn [ ] 0 , c
Phương trình (2.48) có nghiệm là: y = J k ( ) px
Tiếp tục, đặt: x y = u Tính các đạo hàm: x x u dx du dx x dy
= Thế vào (2.48), thực hiện phép biến đổi, đưa phương trình về dạng:
Nghiệm của phương trình (2.49) là: u = x y = x J k ( ) px
Cũng tương tự vậy, hàm z = x J k ( ) qx cũng thỏa mãn phương trình:
Bây giờ, ta lấy phương trình (2.49) nhân với z, còn phương trình (2.50) nhân với u rồi trừ hai vế phương trình cho nhau, ta được:
( q p ) uz dx u dz dx z du dx d 2 2
− dx qx px dJ dx xJ px qx dJ dx xJ qx d J px xJ p q 2 2 k k k k k k
Lấy tích phân từ 0đến c phương trình trên, ta được:
− p ∫ xJ px J qx dx x J qx dJ dx px J px dJ dx qx q k k k k c k k 0
= c [ pJ k ( ) ( ) qc J k ′ pc − qJ k ( ) ( ) pc J k ′ qc ] (2.51)
= trong đú à i , à j là hai nghiệm dương khỏc nhau của phương trình J k ( ) x = 0 Thế vào biểu thức (2.51), ta có:
J c qc cJ dx qx c J xJ x i i i k c k k i k à à à à
→ thì vế phải phương trình trên có dạng vô định
0, áp dụng quy tắc L’Hopital:
J c qc dq cJ d c dx xJ x i i k k q c i i i k k q c c i k i i lim 2 lim
Từ tính chất của hàm Bessel:
Do đó, công thức (2.53) được viết lại dưới dạng sau: c k i k ( ) i c J k ( ) i c J c dx xJ à x 2 2 à 2 2 1 à
Như vậy, ta đã chứng minh được công thức trực giao:
(2.54) với à i , à j là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel
2.6.2 Tính chất trực giao thứ hai
Với à 1 , à 2 , , à n , là cỏc nghiệm dương của phương trỡnh: α J k ( ) x + β x J k ′ ( ) x = 0 ( k > − 1 ) (2.55) thì ta có công thức trực giao:
= , trong đú à i , à j là hai nghiệm dương khỏc nhau của phương trình (2.55), nghĩa là:
+ qc J qc qc J pc J pc pc J k k k k β α β α
Nhân phương trình trên với J k ( ) qc và phương trình dưới với J k ( ) pc , rồi trừ nhau ta thu được: p J ′ k ( ) ( ) pc J k qc − q J k ′ ( ) ( ) qc J k pc = 0 (2.57)
Từ (2.51) kết hợp với (2.57), ta được:
2 −p ∫ xJ px J qx dx=c pJ qc J′ pc −qJ pc J′ qc q k k k k c k k hay
0 q p qc J pc qJ pc J qc pJ dx c qx J px xJ k k k k c k k −
Nếu q → p, thì phân số bên phải của biểu thức trở nên không xác định do cả tử số và mẫu số đều tiến tới không Để tính toán biểu thức này, chúng ta cần áp dụng quy tắc phù hợp.
= , cho q → p(coi q như là biến số)
0 q p qc J qJ J qc pJ dx c qx J px xJ k k i k i k c k k −
[ ] p pc J J pc J cpJ J pc J cp c q qc J J qc J cqJ J qc J cp c p dq q d qc J qJ J qc pJ dq c d dx px xJ k i k k i k i k k k i k k i k i k k p q k i k i k k p q c k
Do J k ( ) à i thỏa món phương trỡnh Bessel loại I hạng k:
J à à à à à Nhõn phương trỡnh trờn với à ( ) à , ta được:
Mặt khác, từ điều kiện:
Do đó, công thức (2.58) có dạng:
Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel
2.7.1 Khai triển chuỗi Fourier- Bessel và Dyni- Bessel
2.7.1.1 Khai triển chuỗi Fourier- Bessel
Nếu một hàm f ( ) x bất kì biểu diễn dưới dạng:
1 à (2.59) thỡ ta núi rằng hàm số đú khai triển được thành chuỗi Fourier- Bessel, trong đú à i là không điểm của hàm Bessel J k ( ) x và a i ( i = 1 , 2 , 3 , ) là các hệ số Fourier- Bessel
Ta sẽ tìm các hệ số khai triển, bằng cách nhân hai vế của biểu thức (2.59) với
c xJ k à j x rồi lấy tớch phõn hai vế cận từ 0 đến c, ta được:
Dựa vào tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel trên đoạn [ ] 0 , c , cho ta:
Ta suy ra hệ số khai triển:
2.7.1.2 Khai triển chuỗi Dyni- Bessel
Nếu một hàm f ( ) x bất kì biểu diễn dưới dạng:
1 à trong đúà i là nghiệm dương của phương trỡnh: α J k ( ) x + β x J k ′ ( ) x = 0 thì hàm số đó được khai triển thành chuỗi Dyni- Bessel
Ta sẽ tìm hệ số khai triển a i :
Dựa vào tính chất trực giao thứ hai của hàm Bessel trên đoạn [ ] 0 , c , cho ta:
Nhân hai vế của phương trình đã cho với
c xJ k à i x , rồi lấy tớch phõn từ
0đến c, ta tìm được hệ số khai triển:
2.7.2 Hàm sinh của hàm Bessel loại I hạng nguyên
Hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối với t ≠ 0 Thực hiện phép nhân chuỗi, ta được:
Chú ý rằng với n < − s thì đại lượng ( s + n + 1 ) nhận các giá trị nguyên âm hay bằng không, đối với các giá trị này thì Γ ( s + n + 1 ) = ∞
Khi đó, thay r = s + n vào biểu thức (2.62), ta có:
( gọi là hàm sinh đối với hàm Bessel loại I hạng nguyên
J e Đặt t = e i θ , và sử dụng các công thức :
− θ θ θ θ θ θ sin cos sin cos i e i e i i suy ra: θ θ θ 2 sin
Do đó, biểu thức (2.63) được viết lại:
1 0 sin cos( ) sin( ) 1 cos( ) sin( ) k k k ix J x J x k i k k i k e θ θ θ θ θ
0 sin 1 1 cos( ) 1 1 sin( ) k k k k k ix J x k J x k i J x k e θ θ θ mà e ix sin θ = cos( x sin θ ) + i sin( x sin θ ) suy ra:
So sánh các phần thực và phần ảo ở hai vế đẳng thức trên, ta nhận được:
Các công thức (2.64), (2.65) có thể viết lại dưới dạng sau:
2 vào công thức (2.66), ta sẽ có:
Ta sẽ được: sin ( cos ) 2 ( ) 1 ( ) ( cos 2 1 ) θ
Từ đẳng thức (2.64), với x cố định, nhân hai vế của đẳng thức này với
( ) pθ cos rồi lấy tích phân hai vế theo θ cận từ 0 → π, ta được:
Với mvà pnguyên dương, ta có tính chất trực giao của hàm cosnhư sau:
Tương tự, nhân hai vế của đẳng thức (2.65) với sin ( ) p θ rồi lấy tích phân hai vế theo θ cận từ 0 → π và áp dụng tính trực giao của hàm sin:
Bây giờ, ta cộng vế theo vế hai đẳng thức (2.70) và (2.71) lại với nhau sẽ được:
0 sin sin sin cos sin
Công thức (2.72) được gọi là tích phân Bessel Đặc biệt, với k = 0 thì: ( ) = π ∫ π ( θ ) θ
Nhận xét: Từ (2.72), ta rút ra được một tính chất quan trọng của hàm Bessel loại I là
J k , nghĩa là hàm Bessel loại I có tính hữu hạn
Ứng dụng của hàm Bessel
Sử dụng hàm Bessel giải bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ ĐêCac
Tìm hiểu dao động với biên độ nhỏ của sợi chỉ treo một đầu, dưới tác dụng của trọng lực
Chúng ta sẽ nghiên cứu các dao động ngang của một sợi chỉ nhỏ, đồng chất và dễ uốn có khối lượng nhất định và chiều dài L Sợi chỉ được cố định tại đầu x = L và dao động dưới tác động của trọng lực Độ dịch chuyển cực đại tại đầu x = 0 so với phương thẳng đứng là h.
Chọn trục Ox thẳng đứng, hướng lên và trùng với vị trí ban đầu của sợi chỉ Ở trạng thái cân bằng, sợi chỉ nằm dọc theo trục x, và trong quá trình dao động, mỗi điểm của sợi chỉ di chuyển vuông góc với trục x và nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục x Kí hiệu u là độ dịch chuyển của sợi chỉ khỏi vị trí cân bằng, và u là hàm của tọa độ x và thời gian t, tức là u = u(x, t) Chúng ta cần thiết lập phương trình dao động của sợi chỉ và tìm hàm u(x, t).
Vì ta xét dao động với biên độ nhỏ, do đó có thể bỏ qua
= ∂ α sin với α ( ) x là góc theo hướng dương giữa trục x với tiếp tuyến của sợi chỉ tại điểm x và tại thời điểm t
Sức căng của sợi chỉ tại điểm N với tọa độ x được xác định bằng trọng lượng của phần chỉ nằm dưới N, công thức tính là T = g ρ x, trong đó ρ là mật độ khối lượng của sợi chỉ và g là gia tốc trọng trường.
Chọn một đoạn tùy ý của sợi chỉ MM 1 , có độ dài dx, trong đó đoạn tương ứng ở vị trí cân bằng là NN u
Tổng hợp lực căng tác dụng lên đoạn MM 1 là:
Thành phần nằm ngang của lực căng là:
1 sin sin x dx x u g x dx x u g x dx g u x x u g x dx dx u x x g dx u x g x x u g x dx x u x g x u g x x u g x dx u u x x g T x x u x g x u g x x g x x g T
Vì dx rất nhỏ nên dx 2 ≈ 0 Vì vậy, thành phần nằm ngang của tổng hợp sức căng tác dụng lên đoạn MM 1 là: x dx x u g x x dx x u g x dx g u
Còn thành phần thẳng đứng của T r là:
Đoạn MM 1 chuyển động tự do khi sức căng tại điểm M và M 1 được duy trì, với trọng lực hướng xuống dưới cân bằng với thành phần thẳng đứng của tổng hợp sức căng Do đó, sợi chỉ MM 1 chuyển động dưới tác động của thành phần nằm ngang của lực căng, và các phần tử của sợi chỉ có khối lượng ρ dx sẽ có gia tốc dao động ngang.
2 t u Như vậy, áp dụng định luật II Newton, ta thu được phương trình vi phân cho dao động của sợi chỉ với biên độ nhỏ được treo ở một đầu:
∂ (3.1) Đầu trên của sợi chỉ tại x = L bị buộc chặt, nên điều kiện biên đòi hỏi: u ( ) L , t = 0
Còn điều kiện ban đầu của bài toán là:
Thay vào phương trình (3.1), ta có:
Ta tìm nghiệm phương trình này bằng phương pháp tách biến Fourier, đặt
Đẳng thức trên cho thấy vế trái phụ thuộc vào z và vế phải phụ thuộc vào t, điều này có nghĩa là hai tỷ số sẽ luôn bằng nhau bất chấp sự thay đổi của các biến số Để thỏa mãn điều này, nó chỉ có thể bằng một hằng số được chọn là − λ 2.
Từ đây, ta thu được hai phương trình vi phân:
Biến đổi phương trình (3.3), ta được:
Đây là dạng phương trình có nghiệm được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel với chỉ số k = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng như sau:
Vì hàm Y 0 ( ) λ z → ∞ khi z → 0 nên ta chọn C 2 = 0 và C 1 = 1
( ) z J ( ) z w = 0 λ Giải phương trình (3.4), tìm được nghiệm tổng quát theo biến t là:
J λ Gọi à 1 ( ) 0 , à 2 ( ) 0 , , à n ( ) 0 , là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel hạng khụng
Ta suy ra các trị riêng:
Các hàm riêng tương ứng với các trị riêng có dạng:
L n n à 0 λ = , nghiệm theo biến t được viết lại dưới dạng:
Như vậy, nghiệm tổng quát của bài toán là hàm u ( ) x , t được biểu diễn dưới dạng chuỗi sau:
, à à à (3.5) trong đó các hệ số A n , Β n được xác định dựa vào điều kiện ban đầu
Tìm hệ số A n từ điều kiện:
Nhân hai vế của (3.6) với ( )
J 0 à m 0 x , rồi lấy tớch phõn theo x cận từ 0 đến L, ta có:
0 à à à (3.7) Đặt vế trái của đẳng thức trên là:
Theo tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel:
Thay kết quả trên vào (3.7) suy ra:
Tìm hệ số Β n từ điều kiện:
Nhân hai vế của biểu thức (3.8) với ( )
J 0 à m 0 x , rồi lấy tớch phõn theo x cận từ 0 đến L, tính toán tương tự như trên ta thu được:
Nếu đặt A k = N k sin ϕ k , B k = N k cos ϕ k , nghiệm tổng quát (3.) sẽ được viết lại dưới dạng:
Dao động nhỏ của sợi chỉ treo một đầu là tổng hợp của vô hạn các dao động điều hòa, với tần số dao động cơ bản là:
Từ (3.9) cho thấy biên độ của dao động điều hòa thứ n bằng không ở các điểm:
Sử dụng hàm Bessel giải các bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ trụ
3.2.1 Dao động của màng tròn
Xét dao động tự do của một màng tròn bán kính r0, được gắn chặt ở mép Gốc tọa độ được chọn tại tâm vòng tròn, và phương trình dao động của màng trong tọa độ cực có dạng như sau:
∂ ϕ (3.10) Điều kiện biên và điều kiện ban đầu của bài toán có dạng như sau:
0 ϕ ϕ ϕ r F u r f u t r u t t t trong đó f , F là những hàm cho trước
Ngoài ra, còn có các điều kiện sau:
- Hàm u(r,ϕ,t) phải hữu hạn tại mọi điểm của màng, nhất là tại tâm của màng (r = 0)
- Hàm u(r,ϕ,t) phải là hàm tuần hoàn đơn trị của ϕ với chu kì 2 π
Ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier, tìm nghiệm bài toán dưới dạng:
( r t ) V ( ) ( ) r T t u ,ϕ, = ,ϕ Thay u ( r,ϕ,t )=V ( ) ( ) r,ϕ T t vào phương trình (3.10), ta có:
Chia hai vế của (3.11) cho V ( ) ( ) r ,ϕ T t , ta được:
Đẳng thức trên có vế trái là hàm của biến t, trong khi vế phải là hàm của r và ϕ, do đó chúng chỉ bằng nhau khi là một hằng số Đặt hằng số của vế trái và vế phải là -λ², ta có được các phương trình sau.
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.12) là:
Ta sẽ tìm nghiệm V ( ) r ,ϕ của phương trình (3.13) thỏa mãn điều kiện sau:
0 , r V r V V r V Đặt V ( ) r ,ϕ = R ( ) ( ) r Φϕ , sau đó thay vào phương trình (3.13) sẽ thu được:
Chia hai vế (3.15) cho R ( ) ( ) r Φϕ , biến đổi ta được:
Suy ra các phương trình vi phân và các điều kiện tương ứng:
Giải phương trình (3.16) với các điều kiện tuần hoàn chỉ có nghiệm khi k nguyên:
( = + Φ ϕ A k kϕ B k kϕ k Phương trình (3.17) có dạng tương tự dạng phương trình (2.37), nên nghiệm tổng quát của nó được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel:
Vì hàm Y k ( ) λ r → ∞ khi r → 0 nên từ điều kiện hữu hạn của bài toán, suy ra:
Ta chọn C 1 = 1, theo điều kiện R ( ) r 0 = 0, ta có:
= r J r J D r R k k k λ λ Đặt λ r 0 = à n ( ) k nhận được phương trỡnh xỏc định trị riờng:
(trong đú à n ( ) k là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel)
Suy ra trị riêng là:
Tương ứng với mỗi trị riêng ta có hàm riêng:
0 à Vậy nghiệm của phương trình (3.13) là:
Kết hợp (3.18) với (3.19) sẽ tìm được nghiệm riêng của phương trình (3.10):
A a t r u k n k k n kn k n kn k n kn k n kn kn
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.10) sẽ có dạng:
Các hệ số A kn , B kn , C kn và D kn được xác định dựa vào điều kiện ban đầu:
Lần lượt nhân vào (3.20) bộ hàm riêng { 1 , cos ( ) ( ) p ϕ , sin p ϕ }rồi lấy tích phân hai vế từ 0đến 2 π , và sử dụng các công thức trực giao sau:
(3.24) Tiếp tục nhân hai vế của các phương trình (3.22) với
0 0 à và nhõn hai vế của phương trình (3.23) và (3.24) với
r rJ r k m k 0 à và chỳ ý đến tớnh trực giao của hàm Bessel:
0 0 ta sẽ tìm được các hệ số:
Các hệ số B 0 n , B kn và D kn được xác định tương tự:
Nghiệm bài toán có thể viết lại dưới dạng:
Các hệ số M kn , ψ kn và v kn được xác định bởi các hệ số A kn , B kn , C kn và D kn Nhận xét:
Dao động của màng tròn là tập hợp vô hạn các dao động có tần số:
T r r a n k k n kn = = trong đó T 0 là lực căng, σ là mật độ khối lượng bề mặt của màng
Khi ( ) ( ) k , n = 0 , 1 , ta có âm cơ bản với tần số thấp nhất:
Trong trường hợp dao động của màng tròn, sóng đứng với các tần số khác nhau tạo ra các đường nút Đường nút đơn giản nhất được xác định bởi các phương trình cụ thể.
Phương trình (3.26) xác định n − 1 vòng tròn bao quanh tâm màng có bán kính:
Phương trình (3.27) xác định k đường kính của màng:
Hình ảnh dao động của màng tròn tương ứng với các ( ) n, k khác nhau:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích trường hợp đặc biệt của bài toán dao động của màng tròn Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét dao động kính của màng tròn với dạng sóng đứng không phụ thuộc vào ϕ, tức là Φ(ϕ) là một hằng số.
Xem xét dao động tự do của màng tròn có bán kính r0, với tâm tại gốc tọa độ và biên gắn chặt Giả thiết rằng các dịch chuyển và vận tốc ban đầu của các điểm trên màng không phụ thuộc vào góc ϕ, tức là u = u(r, t) Màng này được gọi là màng đối xứng tròn, và các dao động trong trường hợp này được gọi là dao động kính.
Khi đó, phương trình dao động của màng sẽ có dạng đơn giản là:
∂ (3.28) Điều kiện biên bây giờ có dạng:
( ) r 0 , t = 0 , t ≥ 0 u và điều kiện ban đầu là:
Theo phương pháp trên, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (3.28) dưới dạng:
( ) r t R ( ) ( ) r T t u , = Lấy vi phân và thế vào (3.28) sẽ cho ta:
T ′′ ( ) t + a 2 λ 2 T ( ) t = 0 (3.29) r 2 R ′′ ( ) r + r R ′ ( ) r + λ 2 r 2 R ( ) r = 0 (3.30) Phương trình (3.30) có nghiệm là hàm Bessel (xem lại mục 2.4.1) với chỉ số
Nghiệm tổng quát của nó có dạng:
Do hàm Y 0 ( ) λ r không bị chặn gần giá trị r = 0, cần thiết phải đặt C 2 = 0 Để tìm nghiệm khác với R ( ) r ≡ 0, cần chọn C 1 khác 0 Từ điều kiện biên, ta có thể xác định các trị riêng và hàm riêng tương ứng.
0 r n n λ = à (à n ( ) 0 là khụng điểm dương thứ n của hàm J 0 ( ) λ r 0 )
T n n à n n à n Đối với phương trình (3.28), ta tìm được nghiệm riêng có dạng sau:
Các dao động riêng điều hòa hợp thành dao động phức tạp của màng, do đó sóng đứng đối xứng trụ có dạng:
(3.32) và theo điều kiện ban đầu đòi hỏi:
Tính toán các hệ số A n , Β n của f (r )và g (r ) theo hệ
0 0 à (khai triển Fourier- Bessel) sẽ cho:
Tần số âm cơ bản của màng tròn tương ứng với n = 1:
Dạng rung động của màng ứng với các u n ( ) r , t quyết định bởi các đường nút Các đường nút nhận được từ phương trình:
- Với n = 1: sẽ không có các đường nút, tức là với rung động này mọi điểm trên màng cùng chuyển dịch lên hoặc cùng chuyển dịch xuống
= à Như vậy, đường tròn bán kính
Tại đường nỳt, dao động riêng u2 diễn ra với sự chuyển dịch đồng thời; phần bên trong đường tròn di chuyển lên, trong khi phần bên ngoài di chuyển xuống, hoặc ngược lại.
- Với n = 3: có các đường nút:
- Tổng quát là hàm riêng u n ( ) r , t có n − 1 đường nút
Trên hình (H.5) vẽ các mặt cắt và các đường nút của màng dao động tuân theo quy luật (3.31) với n = 1 , 2 , 3
(H.5) 3.2.2 Truyền nhiệt trong ống hình trụ tròn
Trường hợp: Tìm nhiệt độ của ống trụ tròn dài vô hạn có bán kính r 0
( 0 < r < r 0 ; 0 < ϕ < 2 π ) nếu nhiệt độ ban đầu có dạng ( ) ,ϕ
0 f r u t = = , biết rằng trên bề mặt trụ duy trì nhiệt độ bằng không
Phương trình truyền nhiệt trong toạ độ cực có dạng:
2 1 1 ϕ u r r u r r a u t u (3.33) Điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài toán:
Ngoài ra, còn có các điều kiện sau:
- Hàm nhiệt độ tại miền được xét phải hữu hạn, tức là u ( r , ϕ , t ) < ∞
- Hàm nhiệt độ phải là hàm tuần hoàn theo biến ϕ:
( r t ) ( u r t ) u ,ϕ, = ,ϕ + 2π, Giải bài toán bằng phương pháp tách biến Fourier, tìm nghiệm dưới dạng:
( r t ) R ( ) ( ) ( ) r T t u , ϕ , = Φ ϕ Thay vào phương trình (3.33), ta có:
Chia hai vế phương trình trên cho R ( ) ( ) ( ) r Φ ϕ T t , ta được:
Từ đây, ta được hai phương trình vi phân:
Nghiệm của phương trình (3.34) có dạng:
Tiếp tục biến đổi phương trình (3.35), ta được:
Nghiệm Φ ( ) ϕ có dạng: Φ (ϕ) = A cos( kϕ) + B sin( kϕ) (3.36)
Do tính tuần hoàn Φ ( ) ϕ = Φ ( ϕ + 2 π ) suy ra k phải nguyên dương hoặc bằng 0, tức là: k = 0 , 1 , 2 ,
Phương trình đối với R ( ) r là: r 2 R ′′ ( ) r + r R ′ ( ) r + ( λ 2 r 2 − k 2 ) R ( ) r = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình trên được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel (nếu chọn x = λ r):
Vì hàm Y k ( ) λ r → ∞ khi r → 0 nên từ điều kiện R ( ) r < ∞ , suy ra C 2 = 0 Thay vào điều kiện biên, ta có:
Chọn C 1 = 1, và đánh số các không điểm dương của hàm Bessel là: à 1 ( ) k , à 2 ( ) k , à n ( ) k , ( n = 1 , 2 , 3 , )
Do đó, ta có phương trình trị riêng:
( ) r 0 k n kn λ = à Ứng với mỗi trị riêng, ta có hàm riêng:
Nghiệm T ( ) t được viết lại dưới dạng:
(3.38) Kết hợp (3.36), (3.37) và (3.38), nghiệm tổng quát của phương trình (3.33) có dạng:
Bây giờ, ta sẽ tìm các hệ số A kn và B kn dựa vào các điều kiện của bài toán:
(3.40) Dựa vào tính trực giao của các hàm tuần hoàn:
Nhân hai vế biểu thức (3.40) với cos ( ) k′ ϕ rồi lấy tích phân theo ϕ cận chạy từ π
Từ biểu thức trên, dựa vào khai triển chuỗi Fourier- Bessel, ta tìm được hệ số n n
Để xác định hệ số B kn, ta nhân hai vế của phương trình (3.40) với sin(k'ϕ) và tiến hành tích phân theo ϕ từ 0 đến 2π Quá trình này sử dụng tính chất trực giao của hàm sin và khai triển chuỗi Fourier-Bessel.
Trong trường hợp nghiên cứu sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn vô hạn với mặt bên cách nhiệt, giả thiết đặt ra là phân bố nhiệt độ ban đầu của hình trụ và các điều kiện biên không phụ thuộc vào biến số ϕ Điều này cho phép chúng ta phân tích một cách chính xác hơn về quá trình truyền nhiệt trong cấu trúc hình trụ, từ đó rút ra các kết luận quan trọng về hiệu suất và ứng dụng của nó trong thực tiễn.
Khi đó u sẽ là hàm chỉ phụ thuộc vào r và t, và phương trình (3.40) sẽ có dạng:
Ta xét trường hợp mặt hình trụ cách nhiệt với môi trường ngoài, tức là:
∂ r t r u và phân bố nhiệt độ ban đầu cho trước bởi điều kiện: u ( ) r , 0 = f ( ) r
Tìm nghiệm dưới dạng: u ( ) r , t = R ( ) ( ) r T t , ta có:
Phương trình (3.43) là phương trình Bessel hạng k = 0 Do hàm R ( ) r đòi hỏi phải hữu hạn nên nghiệm R ( ) r có dạng như sau:
R = 0 λ Đặt C = 1 và từ điều kiên biên ta có:
Do đú à = λ r 0 là nghiệm của phương trỡnh J ′ ( ) à = 0 suy ra:
0 r n n λ = à ta cú nghiệm riờng T ( ) t là:
Như vậy, các nghiệm riêng của bài toán có dạng:
Nghiệm tổng quát trên phải thỏa mãn đẳng thức:
Tính hệ số Fourier- Bessel của f ( ) r theo hệ ( )
Như vậy, nghiệm của bài toán được cho bởi chuỗi (3.44) với hệ sốA n được tính theo công thức (3.45)
Trường hợp: trên mặt hình trụ có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài mà nhiệt độ môi trường bằng không
Bài toán được dẫn về giải phương trình (3.41) với điều kiện biên:
∂ hu r t r t r u (3.46) và điều kiện ban đầu như trước:
Sử dụng phương pháp tách biến Fourier, đặt u ( ) r , t = R ( ) ( ) r T t
Tương tự như trên, thực hiện các phép biến đổi, ta lại tìm được:
Gọi à = λ r 0 là nghiệm của phương trỡnh: à J 0 ′ ( ) λ r 0 + hr 0 J 0 ( ) λ r 0 = 0 (3.48)
Khi đó, nghiệm theo biến t là:
Nhiệt độ ban đầu của ống khi t > 0 được biểu diễn bởi hàm:
= ∑∑ à à ϕ với các hệ số A n được xác định như sau: Điều kiện ban đầu cho ta:
A u à trong đú à n ( ) 0 là nghiệm của phương trỡnh (3.48)
Vì thế, hệ số A n chính là hệ số khai triển Dyni- Bessel của f ( ) r theo hệ
Trường hợp: sự truyền nhiệt dừng của một khối trụ
Xét một khối trụ với mặt bên và mặt xung quanh được giữ ở nhiệt độ không đổi, trong khi nhiệt độ ở mặt dưới thay đổi Để đơn giản, ta giả thiết rằng phân bố nhiệt độ chỉ thay đổi theo bán kính đáy Sau một thời gian dài, mỗi điểm trên hình trụ sẽ xác lập một nhiệt độ ổn định, tức là hàm nhiệt độ u không còn phụ thuộc vào thời gian t nữa.
Bài toán đặt ra là cần xác định nhiệt độ ở trạng thái dừng hay cần xác định hàm
( ) r z u , thỏa mãn phương trình truyền nhiệt:
Ta có các điều kiện biên:
Toán tử Laplace trong hệ tọa độ trụ:
Do u chỉ là hàm theo biến r và z nên phương trình truyền nhiệt có dạng:
Dùng phương pháp tách biến để giải phương trình (3.50) Đặt:
Từ đây, ta thu được hệ hai phương trình sau:
Phương trình thứ nhất có nghiệm tổng quát là:
Từ phương trình thứ hai, biến đổi thành dạng:
Nếu đặt x = λ r thì phương trình trên sẽ được đưa về dạng phương trình Bessel hạng k = 0 Do đó, nó có nghiệm tổng quát là:
Vì hàm Y 0 ( ) 0 → −∞ mà hàm nhiệt độ thì hữu hạn nên đặt C 2 = 0
Ta sử dụng điều kiện biên (3.49) để tìm nghiệm bài toán:
R λ λ Đặt λ r 0 = à n ( ) 0 là khụng điểm của hàm J 0 ( ) à n ( ) 0
Ta tìm được trị riêng:
0 r n n λ = à và hàm riêng được xác định:
Biểu thức (3.51) có thể được viết lại dưới dạng:
0 à à Đặt A n C n = M n , ta tìm được nghiệm riêng u n ( ) r , z = R n ( ) ( ) r Z n z là:
Nhân hai vế của đẳng thức (3.52) với
0 0 à , rồi lấy tớch phõn theo r cận từ 0 đến r 0 , ta có:
Tính tích phân hai vế đẳng thức trên bằng việc sử dụng tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel trên đoạn [ 0 , r ]:
2 à à à Vậy, nghiệm tổng quát của bài toán là:
3.2.3 Sự truyền nhiệt trong hình quạt trụ
Trong trường hợp nghiên cứu, chúng ta xem xét một hình quạt trụ dài vô hạn với mặt cắt có dạng hình quạt bán kính r0 Các mặt phẳng chứa cạnh OA và OB được cách nhiệt, trong khi phần mặt trụ chứa cung AB duy trì nhiệt độ bằng không Nhiệt độ ban đầu được xác định bởi hàm tùy ý f(r, ϕ).
Phương trình truyền nhiệt trong toạ độ trụ có dạng:
Do khối quạt trụ có tính vô hạn theo trục z, nhiệt độ tại mọi điểm đều đồng nhất, do đó đạo hàm nhiệt độ theo phương z bằng không Vì vậy, chỉ cần tập trung vào việc truyền nhiệt qua mặt cắt thiết diện hình quạt.
Vì thế, ta cần tìm nghiệm của phương trình sau:
Ngoài ra hàm phân bố nhiệt độ còn đòi hỏi: u ( r , ϕ , t ) < ∞
Tìm nghiệm phương trình (3.54) dưới dạng:
( r t ) R ( ) ( ) ( ) r T t u , ϕ , = Φ ϕ Thay u ( r , ϕ , t ) = R ( ) ( ) ( ) r Φ ϕ T t vào phương trình (3.54), ta có:
Từ đây, ta được hai phương trình vi phân:
Nghiệm của phương trình (3.55) có dạng:
Từ phương trình (3.56), ta chọn:
B Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì: π α α m k k
Phương trình xác định hàm R ( ) r có dạng:
Nghiệm tổng quát của phương trình trên được biểu diễn dưới dạng hàm Bessel chỉ số k (nếu chọn x = λ r):
Do hàm R ( ) r phải hữu hạn tại r = 0, suy ra C 2 = 0
Chọn C 1 = 1, và ký hiệu à 1 ( ) k ,à 2 ( ) k , à n ( ) k , ( n = 1 , 2 , 3 , ) là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel
Từ điều kiện, ta có phương trình trị riêng:
( ) r 0 k n kn λ = à ( n = 1 , 2 , 3 , ; k = 0 , 1 , 2 , ) và hàm riêng tương ứng là:
Nghiệm T ( ) t được viết lại dưới dạng:
Như vây, nghiệm tổng quát của phương trình (3.54) là:
Dựa vào các điều kiện của bài toán:
Nhân hai vế biểu thức trên với
α πϕ cos p rồi lấy tích phân theo ϕ cận chạy từ α
Ta nhận thấy vế phải là một hàm của r, do đó trong biểu thức trên A mn là hệ số khai triển của chuỗi Fourier- Bessel, ta tìm được:
Như vậy, quá trình truyền nhiệt trong hình trụ được biểu diễn dưới dạng chuỗi (3.57), trong đó hệ số khai triển được tính theo công thức (3.58)
Trong trường hợp hình quạt trụ dài vô hạn với bán kính r = r0, xảy ra sự trao đổi nhiệt với môi trường có nhiệt độ bằng không Các mặt phẳng biên được cách nhiệt và nhiệt độ ban đầu được xác định bởi một hàm tùy ý.
= 0 = f r , ; 0 r r 0 , 0 u t Điều kiện biên bây giờ có dạng:
Việc giải phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ trụ bằng phương pháp tách biến Fourier cho phép tìm ra các nghiệm tổng quát theo các biến r, ϕ và t.
R ( ) r = J k( )λ r Để hàm Φ (ϕ) thỏa điều kiện biên Φ′ ( ) 0 = Φ′ ( )α = 0 thì:
Sử dụng điều kiện biên:
α π à m n sẽ là nghiệm dương của phương trình:
Suy ra trị riêng: r 0 m n kn
Nghiệm T ( ) t được viết lại dưới dạng:
Như vậy, nghiệm tổng quát của bài toán có dạng:
Dựa vào các điều kiện của bài toán:
Nhân hai vế biểu thức trên với
α πϕ cos p rồi lấy tích phân theo ϕ cận chạy từ α
Ta nhận thấy vế phải là một hàm của r, mà
α π à m n là nghiệm của phương trình (3.59), do đó trong biểu thức trên A mn là hệ số khai triển của chuỗi Dyni- Bessel, ta tìm được:
3.2.4 Sự phân bố điện thế trong hình trụ
Xét một hình trụ tròn với bán kính r0 và chiều cao h, trong đó mặt bên và mặt đáy trụ tiếp xúc với đất, còn mặt trên có điện thế V Mục tiêu là tìm hàm phân bố điện thế u(r, t) bằng cách giải phương trình Laplace trong tọa độ trụ.
∆u với toán tử Laplace trong tọa độ trụ :
Giả thiết rằng sự phân bố điện thế không phụ thuộc vào tọa độ ϕ, khi đó hàm phân bố điện thế trong hình trụ chỉ phụ thuộc vào r và z
Do đó, phương trình phân bố điện thế có dạng:
∂ z u r r u r r (3.61) Điều kiện biên của bài toán sẽ là:
Tìm nghiệm bài toán bằng cách đặt u ( r , z ) = R ( ) ( ) r Z z , thay vào (3.51), ta có:
Chia hai vế phương trình trên cho R ( ) ( ) r Z z , ta được:
Sử dụng hàm Bessel giải các bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ cầu
3.3.1 Dao động của quả cầu có biên gắn chặt
Xét dao động của quả cầu bán kính r 0 , tâm ở gốc tọa độ và có biên gắn chặt
Ta sẽ giải phương trình dao động trong tọa độ cầu:
Nghiệm của phương trình này tiến đến không trên bề mặt quả cầu, nên điều kiện biên là:
Tìm nghiệm bài toán dưới dạng: u ( r , θ , ϕ , t ) = R ( ) ( r Y k θ , ϕ ) ( ) T t
Thay vào phương trình (3.88), ta có:
Ta lại có hàm cầu r k Y k ( )θ,ϕ là nghiệm của phương trình Laplace :
Từ đó ta rút ra:
Do đó, phương trình (3.89) được viết lại như sau:
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.91) là:
Ta nhận thấy phương trình (3.94) có dạng tương tự phương trình (2.40), nên nó có thể đưa về dạng phương trình Bessel hạng bán nguyên (nếu đặt x = λ rvà
Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (3.93) là:
R k k λ λ λ Bởi vì R ( ) r phải hữu hạn ở tâm quả cầu, mà hàm Bessel hạng hai ( )
+ lại không hữu hạn ở lân cận của r = 0, nên phải chọn C 2 = 0 Đặt λ
Mặt khác, theo điều kiện biên, ta suy ra:
2 k 1 à n ( n = 1 , 2 , 3 , ) là cỏc khụng điểm của hàm Bessel ( 0 )
+ λ , từ đó ta tìm được các giá trị riêng λ:
= à λ Hàm riêng của nó là:
Nghiệm theo biến t được viết lại:
( ) cos sin k k n n kn kn at at
Như vậy, các dao động riêng được biểu diễn bằng nghiệm sau:
Trong đó Y k ( )θ,ϕ là hàm cầu, và với mỗi k = 0 , 1 , 2 , tồn tại 2 k + 1 dao động riêng:
0 0 2 0 cos sin , k k k l n n k n l kn kn n k k at at r u A B J Y r r r à à à θ φ
= à ω Đặc biệt, khi k = 0, ta có dao động riêng duy nhất đối với mỗi n = 1 , 2 , có tần số:
Khi k = 0, l = 0 thì ta có hàm mô tả dao động xuyên tâm của quả cầu là:
3.3.2 Truyền nhiệt trong quả cầu có bề mặt duy trì nhiệt độ bằng không
Tìm nhiệt độ của quả cầu có bán kính r 0 ( 0 ≤ r ≤ r 0 ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 < ϕ < 2 π ) nếu nhiệt độ ban đầu có dạng u ( r , θ , ϕ , 0 ) = f ( r , θ , ϕ ) biết rằng trên bề mặt quả cầu duy trì nhiệt độ bằng không
Bài toán dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong tọa độ cầu:
( r 0 , , , t ) = 0 u θ ϕ và với điều kiện ban đầu:
Giải phương trình bằng phương pháp tách biến Fourier, tìm nghiệm bài toán dưới dạng:
( r t ) R ( ) ( ) ( ) r Y T t u , θ , ϕ , = k θ , ϕ Thay vào phương trình (3.94), ta có:
Do đó, phương trình (3.95) được viết lại như sau:
Các phương trình của T ( ) t và R ( ) r là:
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.96) là:
Phương trình (3.97) có thể đưa về phương trình Bessel hạng bán nguyên (nếu đổi biến x = λ r và ( ) ( ) x x r y
Do đó, tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (3.97) là:
Y k λ khi r → 0, từ điều kiện hữu hạn của bài toán ta chọn C 2 = 0
Từ điều kiện biên, ta có:
2 k 1 à n là cỏc khụng điểm dương của hàm Bessel hạng bỏn nguyờn ( )
Ta tìm được trị riêng và hàm riêng tương ứng là:
Vậy hàm phân bố nhiệt độ trong quả cầu có dạng:
= à ϕ θ à ϕ θ với C knl được xác định dựa vào tính chất trực giao của hàm Bessel và hàm cầu
Trong bài viết này, tôi đã tóm tắt cơ sở lý luận toán học về hàm Bessel, một yếu tố quan trọng trong việc giải quyết các bài toán Vật Lý Phương trình Bessel được phát triển từ việc giải bài toán dao động của màng tròn và phương trình Laplace trong tọa độ trụ Qua việc tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel dưới dạng chuỗi, chúng ta đã xây dựng được hàm Bessel loại I và loại II hạng nguyên và bán nguyên Các công thức truy toán, tính chất trực giao, phương pháp xác định hệ số trong khai triển hàm thành chuỗi các hàm Bessel, cùng với những kiến thức liên quan khác đã được trình bày một cách hệ thống và dễ hiểu.
Nhiều bài toán trong Vật Lý và kỹ thuật liên quan đến việc giải phương trình đạo hàm riêng, với các kết quả lý thuyết là tiền đề quan trọng cho việc giải quyết các bài toán thực tiễn Hàm Bessel được ứng dụng để tìm nghiệm cho các bài toán biên, tọa độ và dừng trong phương trình toán lý, đặc biệt trong các lĩnh vực như rung động, truyền nhiệt, lan truyền sóng điện từ trong ống dẫn sóng, phân bố điện thế và giải phương trình Schrodinger Trong quá trình tìm nghiệm cho các phương trình truyền nhiệt, sóng và Laplace, có những giai đoạn mà phương pháp tách biến Fourier hay biến đổi Laplace không còn hiệu quả, dẫn đến việc nghiệm tổng quát chứa các hệ số liên quan đến hàm Bessel Điều này chứng tỏ hàm Bessel đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình tròn, hình trụ và hình cầu.
Lý thuyết hàm Bessel là một lĩnh vực phong phú với nhiều loại hàm Bessel, bao gồm hàm Bessel loại I và II, cũng như hàm Bessel trên trường số phức Những ứng dụng của hàm Bessel được đề cập rộng rãi trong các sách lý thuyết và được nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực như Toán học, Vật Lý học và kỹ thuật Là sinh viên Vật Lý, tôi tập trung vào các tính chất và ứng dụng quan trọng của hàm Bessel loại I để giải quyết các bài toán Vật Lý điển hình trong cơ, nhiệt, điện và cơ học lượng tử Đề tài này tuy mới mẻ nhưng rất bổ ích cho sinh viên, đòi hỏi sự đầu tư thời gian và niềm say mê nghiên cứu Tôi hy vọng rằng nghiên cứu về hàm Bessel sẽ cung cấp thêm công cụ toán học cho các bạn trong chuyên ngành Vật Lý và khuyến khích phát hiện những vấn đề mới mẻ, thú vị để làm cho đề tài này trở nên toàn diện và hữu ích hơn.
MỘT SỐ GIÁ TRỊ CỦA HÀM J 0 ( ) x VÀ J 1 ( ) x x J 0 ( ) x J 1 ( ) x x J 0 ( ) x J 1 ( ) x x J 0 ( ) x J 1 ( ) x
MỘT SỐ GIÁ TRỊ CỦA HÀM Y 0 ( ) x VÀ Y 1 ( )x x Y 0 ( ) x Y 1 ( ) x x Y 0 ( ) x Y 1 ( ) x x Y 0 ( ) x Y 1 ( ) x 0.0
1 Andrew Gray & G B Mathews: A Treatise on Bessel Functions and Their Applications to Physics, Printed in the United States of America, 2007
2 Lê Bá Long- Vũ Gia Tê: Giáo trình toán chuyên ngành dùng cho sinh viên ngành điện tử viễn thông, NXB Bưu Điện, 2006
3 Nguyễn Thừa Hợp: Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001
4 Phan Quốc Khánh: Toán chuyên đề, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2000
5 Susan M Lea: Mathematics for Physicists, Printed in the United States of America, 2004
6 Trần Minh Quý: Giáo trình Toán cho Vật Lý, Đại học Cần Thơ, 2002
7 Vương Tấn Sĩ: Giáo trình Mapble, Đại học Cần Thơ, 2005
8 Đỗ Đình Thanh: Phương pháp toán lý, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội,
9 Vũ Văn Thanh: Phương trình đạo hàm riêng trong Vật Lý, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2000
10.Nguyễn Bình Thành- Nguyễn Trần Quân: Cơ sở lý thuyết trường điện từ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 1970
11.Phan Huy Thiện: Phương trình toán lý, NXB Giáo Dục, 2006
12.Phan Huy Thiện: Tuyển tập bài tập phương trình toán lý, NXB Giáo Dục,
13.Nguyễn Đình Trí- Nguyễn Trọng Thái: Phương trình Vật Lý Toán, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 1977
14.G.P Tôlxtôv: Chuỗi Fourier và ứng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội, 1997.