LUẬN văn sư PHẠM vật lý hàm BESSEL và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

Vật lý có quan hệ mật thiết với Toán học, các lý thuyết vật lý là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học, và sự xuất hiện của Toán học trong các thuyết Vật lý cũng thường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Lớp: SP Vật Lý 02 – K34

Mã số sinh viên: 1080259

Cần Thơ, năm 2012

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Trần Minh Quý

đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn thầy Dương Quốc Chánh Tín

và cô Nguyễn Thị Thúy Hằng đã đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến cô Trịnh Thị Ngọc Gia đã nhiệt tình giúp đở và cho tôi mượn sách trong quá trình tôi làm luận văn

Tôi xin cảm ơn tất cả những người Thầy, Cô, bạn

bè và người thân đã giúp đở và ủng hộ tôi trong quá trình tôi thực hiện luận văn

Do kiến thức của tôi còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót, kính mong quý Thầy, Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để tôi thực hiện và bổ sung cho luận văn được hoàn thiện hơn

Chân thành cảm ơn và kính chúc sức khỏe quý Thầy, Cô và các bạn

Sinh viên thực hiện

Lý Thị Yạ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 2

3 Các phương pháp và phương tiện thực hiện đề tài 2

4 Các bước thực hiện đề tài 2

5 Giới hạn của đề tài 3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL 1.1 Phương trình Bessel 4

1.2 Phương trình Bessel có tham số 8

CHƯƠNG 2 HÀM BESSEL 2.1 Hàm Bessel loại 1 9

2.2 Hàm Bessel loại 2 13

2.3 Tính chất truy hồi của hàm Bessel 14

2.3.1 Tính chất truy hồi của hàm Bessel loại 1 14

2.3.2 Tính chất truy hồi của hàm Bessel loại 2 16

2.4 Tính chất trực giao của hàm Bessel 17

2.5 Tính chất trực giao thứ hai của hàm Bessel 21

2.6 Khai triển một hàm tùy ý vào hàm Bessel 23

2.7 Công thức tiệm cận của hàm Bessel 24

2.8 Hàm sinh của hàm Bessel 29

2.9 Hàm Bessel hạng bán nguyên 34

2.10 Hàm Bessel ảo 37

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG 3.1 Bài toán dao động 39

3.1.1 Dao động của màng tròn 39

3.1.2 Dao động với biên độ nhỏ của một sợi chỉ treo một đầu 49

3.1.3 Dao động của quả cầu có biên gắn chặt 54

3.2 Bài toán truyền nhiệt 57

3.2.1 Truyền nhiệt trong thanh hình trụ 57

3.2.2 Truyền nhiệt trong quả cầu có bề mặt duy trì nhiệt độ không 61

3.3 Bài toán điện thế trong tọa độ trụ 63

3.4 Nhiễu xạ ánh sáng 67

3.4.1 Nhiễu xạ Fraunhofer 72

3.4.2 Nhiễu xạ Fresnel 74

3.4.3 Nhiễu xạ qua đĩa tròn chắn sáng 80

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Vật lý được coi là một môn khoa học cơ bản nhất của khoa học tự nhiên Vật lý giải quyết những thành phần cơ bản nhất của vật chất và các tương tác giữa chúng cũng như nghiên cứu về các nguyên tử và việc tạo thành phân tử và chất rắn Vật lý còn được xem là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Vật lý có quan hệ mật thiết với Toán học, các lý thuyết vật lý là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học, và sự xuất hiện của Toán học trong các thuyết Vật lý cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác Sự khác biệt giữa Vật lý và Toán học là ở chỗ, Vật lý luôn gắn liền với thế giới

tự nhiên, trong khi Toán học lại biểu diễn các mô hình trừu tượng độc lập với thế giới

tự nhiên Tuy vậy, sự khác biệt không phải lúc nào cũng rõ ràng Thực tế có một ngành nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian giữa Toán học và Vật lý, đó là Vật lý Toán - ngành học phát triển các cấu trúc toán học để phục vụ cho các lý thuyết Vật lý

“Một nhà Vật Lý đôi khi cần biết Toán nhiều hơn là biết Lý”, đó là câu nói nổi tiếng của nhà Vật lý lý thuyết người Liên Xô cũ – Landau từng nói Quả thực vậy, để học tốt Vật lý thì chúng ta cần phải học Toán thật tốt, nhưng đồng thời Vật lý cũng gợi mở cho Toán những hướng đi mới hay những cách tiếp cận thú vị đến các định lý và các bài toán trong Toán học thuần túy

Một trong những kiến thức quan trọng của Vật lý toán là hàm Bessel Hàm Bessel

là một trong những hàm đặc biệt mà ta thường gặp khi giải phương trình vật lý toán trong miền hữu hạn bằng phương pháp tách biến Fourier Vào năm 1824, nhà toán học - nhà thiên văn nguời Đức Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) đã công bố loại hàm đặc biệt này Nó là nghiệm của phương trình vi phân hạng hai sau đây (còn gọi là phương trình Bessel):

01

1

2

2 2

dy x dx

y d

Hàm Bessel thường được ứng dụng để giải các bài toán về rung động, điện trường,

sự dẫn nhiệt và dòng chất lỏng, nhiễu xạ ánh sáng,…đặc biệt là những bài toán có đối xứng trụ Hàm Bessel và ứng dụng của nó được rất nhiều tài liệu trình bày nhưng trình bày ngắn gọn và rời rạc (trừ tài liệu nước ngoài)

Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật lý”

để nghiên cứu kỹ về cách thiết lập phương trình, đặc điểm, tính chất cũng như ứng dụng của hàm đặc biệt này trong Vật lý

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

- Tìm hiểu cách thiết lập phương trình Bessel

- Tìm hiểu đặc điểm, tính chất của hàm Bessel

- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Bessel trong Vật lý

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

- Xây dựng phương trình Bessel thông qua bài toán dao động của màng tròn, tìm nghiệm dưới dạng chuỗi của phương trình này ta được hàm Bessel

- Sử dụng các phép tính đạo hàm, tích phân để xây dựng một số tính chất truy hồi

và tính trực giao của hàm Bessel

- Dùng các tính chất của phép tính giới hạn và phương pháp gần đúng để tìm công thức tiệm cận của hàm Bessel

- Sử dụng phương pháp tách biến Fourier trong giải các bài toán về dao động, truyền nhiệt và bài toán điện thế trong tọa độ trụ

- Dùng các định lý về cực trị hàm số và phương pháp đồ thị để khảo sát sự nhiễu

- Lập đề cương chi tiết

- Viết nội dung, tiếp thu ý kiến của Giáo viên hướng dẫn và chỉnh sửa

- Viết tóm tắt đề tài

- Báo cáo, hoàn chỉnh luận văn

5 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

- Chỉ tìm hiểu kỹ những đặc điểm, tính chất của hàm Bessel loại I

- Chỉ tìm hiểu những ứng dụng của hàm Bessel loại I trong các bài toán cơ, nhiệt, điện, quang đơn giản Cụ thể là:

+ Phần cơ: Khảo sát bài toán dao động của màng tròn, của quả cầu có biên gắn chặt, của sợi chỉ trong trường hợp dao động với biên độ nhỏ

+ Phần nhiệt: Khảo sát bài toán truyền nhiệt trong thanh hình trụ và trong quả cầu

có bề mặt duy trì nhiệt độ không

+ Phần điện: Khảo sát sự phân bố điện thế và ở đây chỉ khảo sát trong tọa độ trụ + Phần quang: Khảo sát sự nhiễu xạ ánh sáng

1.1 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL

Xét dao động của một màng tròn Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q

trên mặt phẳng x, y có tâm ở gốc tọa độ Nếu ta dùng tọa độ cực thì phương trình của đường tròn của màng sẽ là r  q

Độ lệch của một điểm của màng ulà hàm của r, và t :

) , , ( r t u

11

"

"



u r

r

u r r r u

2 2 2 2

u r r r

a t u

u u a

Các điều kiện trong tọa độ cực có dạng:

T R u T R u

t T r

R t r u

r

tt ", ' ' , " "

"

,,

1

"

2

' 2

rR r a T T

1

"

2

' 2

r R

rR r a T

T

Từ đẳng thức này, ta thấy vế trái của đẳng thức này không phụ thuộc vào r và ,

còn vế phải không phụ thuộc vào t, do đó

1

"

2 '

r R

rR r và T

T

không phụ thuộc

vào r,  và t Ta có thể đặt:

2 2

"

a v T

'

"

1'1

v r

Phương trình (1.5) có thể viết lại dưới dạng:

'

1

"

v R

rR r r





Từ đẳng thức này, ta cũng có nhận xét là vế trái của đẳng thức không phụ thuộc

vào r và vế phải không phụ thuộc vào  nên cả hai vế của đẳng thức không phụ thuộc

vào r và , nghĩa là:

 

const v

R

rR r

'1

v R

rR r

Tùy theo dấu của , ta sẽ có các trường hợp sau đây:

a/  k2: nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là:

2 1

2 2

2 1

e C e C e

C e

Vậy trong trường hợp này, phương trình chỉ có nghiệm không

b/   0: phương trình (1.6) có nghiệm tổng quát là:

' 2

'1

k v

R

rR r

1

2 2

Bây giờ, ta đưa vào biến số mới x  vr và đặt:

v

x R r

dx dx

dy dr

dy dr

dR

2

2 2 2

dx dx

y d v dx

dy dr

d v dr

2 2

dy v x

v dx

y d v

hay

01

1

2

2 2

dy x dx

y d

(1.9) Phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel Nó là một phương trình vi phân hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel Vì hàm Bessel đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy hàm Bessel còn có tên là HÀM TRỤ

1.2 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL CÓ THAM SỐ

Giả sử hàm y x là một nghiệm nào đó của phương trình (1.9) Ta hãy xét hàm y  yx và đặt t x

Rõ ràng rằng:

2 2 0

2

2 2

y d

Nhưng

2

2 2 2

2

11

dx

y d dt

y d và dx

dy dt

y d

n n n

n

n x nc x x k c x c

2 2 2

3 3

2 1

2 2

2 0

1 2 2

c x

c k c

x c k c

x c k c

n

c c

c

n n

4 2 4 ,

0 , 2

c c

c c

2 2

0 2

! 2

1 2

4 2

1

m

c m

c c

m m m

c2m1  0 (m = 0, 1, 2 …)

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với k = 0

 

  m c J   x

x c

y

m

m m

m

0 0 2 2

2

0

0

! 2

     2

2

0 2 2

2 0

0

!

21

!2

J

m m

m m

m m

1 3

c

c  , c4 0,

2 44 6

6 4

1 3

5

c c

!2

12

22

6.44.2

1 2

c m

1 2 0

!1

!2

!1

!212

1 2

0 1

2

1 2 0

x x

J

m m

m m

m m

m

(2.9) được gọi là hàm Bessel loại một hạng một

k

c k

k

c c

 4 42 4 22 2  42 4 

2 2

2

2 4

c k

c k

21

!21

222

4242221

2 2

2

m k m

c k m

k k

k m

c

m k m k

k

c c

m

k m

m

k m

k m

m k

k

k m

!

!2

1

2

0 2

2

x

k m m

x x

J

k m m

m k

m

k m m

m k

được gọi là hàm Bessel loại một hạng k

 Nếu k = 0,1 ta lại có các biểu thức (2.8) và (2.9), Vậy (2.10) xác định hàm Bessel loại một tất cả các hạng k = 0, 1, 2, … Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (2.10) là hội

tụ và thỏa mãn phương trình Bessel (2.1)

Biểu thức (2.10) của hàm Bessel loại một hạng k có thể biểu diễn qua hàm Gamma

J

k m m

m

 Nếu ta thay k bởi –k thì phương trình Bessel (2.1) không thay đổi, lúc đó ta

được nghiệm riêng thứ hai của hàm Bessel là:

   

 1  1)

21

J

k m m

m k

Hàm Bessel có nhiều ứng dụng trong Vật lý và kỹ thuật nên đã được nghiên cứu nhiều và có những bảng chi tiết về các giá trị của chúng (xem phụ lục 2, 3, 4)

trình Bessel là:

 x C J  x C J  x

 Nếu k là số nguyên n thì hàm J k x và Jk x là phụ thuộc tuyến tính Thật vậy,

khi k=n thì với m=0,1…,n-1 thì đại lượng (m-k+1) nhận các giá trị nguyên âm hay

bằng không, đối với các giá trị này mk1 Điều này được suy ra từ công

Như vậy, n hạng tử đầu tiên của khai triểnJk  x bằng không

n m

m n

n m m

x

x J

1

!

21

n

x x

J

n n l

n l l n

n

1

11

211

11

1

!

!2

11

2

!

!11

2ln

n k k n

m n

n

n k

n k k

k n

k k

x x

m

m n x

được dùng cho mọi giá trị k

Nghiệm đó có thể xây dựng như sau:

Y k cũng là nghiệm của phương trình này

Tuy nhiên khi k=n thì Y n x có dạng

0 0

Y x

n k k

n k n

sin

coslim

J k

k

x J k k

x J x J k k

k k

x J k x J k x

Y

k k

k n

k

k k

k n

k

k k

n k n

1

1lim

cos

sincos

lim

sin

coslim

Nếu trong biểu thức cuối cùng, ta thay vào chuỗi của hàm J k x và Jk x , rồi vi

phân chúng theo k thì sau hàng loạt phép biến đổi, ta sẽ có:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

2.3 CÁC TÍNH CHẤT TRUY HỒI CỦA HÀM BESSEL

2.3.1 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel loại I

Hàm Bessel loại I J k x có các tính chất truy hồi sau:

 x J  x  x J  x dx

d

k k k

k x

m

k m

m k

k m m

x

x J

nên suy ra:

k m m x

k m m

x dx

d k

m m

x x

dx

d x J

x

dx

d

k k

k m

m

m k

k m

k m m

m

m

k m

k m m

m

k m

m k k

k

1

1 2

0 1

2

1 2 2 0

0

2

2 2 0

2

!

21

!2

1

1

!2

11

!

21

d

k

k k

k k

k x

x

k

k k

1 2 0

2

2 0

2

1

!12

11

!2

1

1

!

21

m

k m

m m

m

k m

m m

m

k m

m k k

k

k m m

x k

m m

x dx

d

k m m

x x

dx

d x J

k m m

x x

k m m

x x

J x

dx

d

k k m

k m

k m m

k m

k m

m m

k k

1

0

1 2

1 2 0

1 2

1 2

11

!2

1

11

!2

 

x J x  kx J  x x J  x dx

d

k k k

k k

x

k

k k

J k1  k!  2 kNếu ta lấy (2.14) cộng (2.16), ta thu được:

 Jk1  x  Jk!  x  2 J 'k   x

2.3.2 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel loại II

Hàm Bessel loại II cũng có các tính chất tương tự như hàm Bessel loại I:

k x

1cossin

cossin

cos

1 1

1 1

x J x

k

x J k x J x k

x J k x J x

dx

d

k k

k

k k

k k

k k

Do đó, ta suy ra:

 

x Y x  x Y  x dx

d

k

k k

k

1

Vậy (2.17) đã được chứng minh

Ta lại có:

 

x Y x  kx Y  x x Y  x dx

d

k

k k

k k

     

  Y  x Y  x x

k x Y

x Y x x Y x x Y kx

k k

k

k k k

k k

x

k

k k

d

k k k

1cos

sin

cossin

cos

1 1

1 1

x J x

k

x J k x J x k

x J k x J x

dx

d

k k

k

k k

k k

k k

Do đó, ta suy ra:

 

x Y x  x Y  x dx

d

k

k k

Ta cũng có:

 

x Y x  kx Y  x x Y  x dx

d

k k k

k k

 x Y  x Y  x Y

x

k

k k

Y k1  k1  2 k

Nếu lấy (2.18) cộng (2.21), ta thu được:

Y k1 x Y k1 x  2Y'k  x

2.4 TÍNH CHẤT TRỰC GIAO THỨ NHẤT CỦA HÀM BESSEL

Giả sử 1,2, ,n, là các nghiệm dương của phương trình J k x 0, trong

đó 1  2   n  Ta sẽ chứng minh rằng:

j i dx

L

x J

L

x xJ

i K i

k j

k i L

2 2 2

0

2

'20

Trong đó L là hằng số dương nào đó

x J

y d

px J d

px dJ dx

px J d

 

  0

2 2

px dJ x dx

d

k k

k x p dx

x p dJ x dx

d

k k

 

 2  0

2 2 2

k x p dx

x p dJ x dx

d

k k

Bây giờ, ta lấy phương trình (2.26) nhân với J kp2x và phương trình (2.27) nhân với J kp1x rồi trừ hai vế phương trình cho nhau, ta thu được:

x p dJ x x p J dx

x p dJ x dx

d x p J x p xJ p

p

x p J dx

x p dJ x dx

d x p J dx

x p dJ x dx

d x p J x p xJ p

p

x p J x p xJ p p x p J dx

x p dJ x dx

d x p J dx

x p dJ

x

dx

d

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2 2 1 1

2 2

k k

k k

x p d

x p dJ p x p J x p d

x p dJ p x p J x dx x p J x p xJ p

1 1

1 1

2 0

2 1

2 1

J

k m

m

m k

Sẽ có từng cặp nghiệm giống nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng khác nhau về dấu,

nên ta chỉ xét nghiệm dương Giả sử

L

x xJ

L p

2 2

2 0

2 2

2

2

'

''

p p

pL J L p LpJ dx

x p J px xJ

L p J pL J p pL J L p pJ L dx x p J px xJ p p

k k

k k

k k

k k

k k

pL J L p pJ L

p p dp d

pL J L p LpJ dp d

p p

pL J L p LpJ

k k

k p

p

k k

p p k

k p

p

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

'22

''

lim

'lim

'lim

2

2 2

0

'2





2 2

x

k

k k

k k

k

J J

J J

J k

Do đó, công thức (2.29) có thể viết lại dưới dạng:

   

2 2

2 2

L dx L

x J

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức trực giao:

j i dx

L

x J

L

x xJ

i k i

k j

k i

L

1

2 2 2

0

2

'2

Với i,jlà 2 nghiệm dương của phương trình Jk  x  0

2.5 TÍNH CHẤT TRỰC GIAO THỨ HAI CỦA HÀM BESSEL

Nếu cho điều kiện:

L

x J

2 0

2

''

p p

L p J J p J

L p pJ L dx x p J px

k k

J J

J L dx L

x xJ

k k

k k k

2 2

1'

Từ phương trình (2.30), suy ra:

k L

j i dx

L

x J

L

x

v j

k i L

2

,0

2 2 2

2 2 2 2

2.6 KHAI TRIỂN MỘT HÀM TÙY Ý VÀO HÀM BESSEL

Khai triển một hàm f x bất kỳ vào chuỗi các hàm Bessel 

L

x J

a x

trong đó ilà không điểm của hàm Bessel J k x

Người ta gọi khai triển này là khai triển Fourier-Bessel

L

x xJ

a dx

L

x J

Ở mục 2.4 đã chứng tỏ hàm Bessel có tính trực giao và chuẩn hóa trên đoạn

j i dx

L

x J

L

x xJ

i k i

k j

k

L

i k

2 0

2

'20

Do đó, ta suy ra hệ số khai triển:

    L dx

x J

x xf J

L a

L

i k i

2





2.7 CÔNG THỨC TIỆM CẬN CỦA HÀM BESSEL

Ta sẽ lập công thức cho phép dễ dàng xem xét dáng điệu của hàm Bessel với các

giá trị x lớn (các công thức loại này được gọi là các công thức tiệm cận)

Trước hết, ta biến đổi phương trình:

z x

x

z x

z dx

dy y

x x

z x

z dx

dy y

2

4

3'

3'

2 2

z x

z x x x

z x

x

z x

z x

Thu gọn phương trình trên, ta được phương trình theo hàm z:

04

11

Giả sử z là nghiệm không đồng nhất bằng không của phương trình (2.36) Do các

lý luận đã đưa ra, ta giả thuyết tồn tại các hàm   x và  x sao cho:

Trong đó,  và  sẽ tiến tới những giá trị xác định hữu hạn khi x  

Để xác định sự tồn tại của các hàm này, bên cạnh (2.37), ta xét phương trình:

' '

2 2

x tg

Mà ta có:

x x

sin

1cot

Ta nhận thấy rằng trong tỷ số



'

mẫu số không thể bằng không Thực vậy, nếu

ngược lại thì từ (2.37) và (2.38) ta suy ra z và z’ đồng thời bằng không, điều này có nghĩa là tại điểm x=x 0 nào đó, nghiệm của ta thỏa mãn các điều kiện ban đầu bằng không Do tính duy nhất nghiệm thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước, từ đây ta

suy ra rằng z đồng nhất bằng không Điều này mâu thuẩn với giả thuyết của ta

Hàm  ta cần tìm được từ phương trình vi phân (2.41), trong đó điều kiện ban đầu đối với hàm này có thể thu được từ các điều kiện ban đầu đối với z nhờ các phương trình (2.37), (2.38) khi khử  khỏi chúng (thí dụ bằng cách chia) Khi biết  , từ (2.42) ta dễ dàng tìm được cả  , trong đó điều kiện ban đầu đối với  nhận được nhờ điều kiện ban đầu đối với z và  nhờ phương trình (2.37) hay (2.38)

 Giải thích giáng điệu tiệm cận của các hàm  và  :

Ta có:

     

b

x

dt t b

t m

Ở đây ta chuyển đến giới hạn khi b  Tích phân đặc biệt nhận được khi đó

rõ ràng là hội tụ (bởi vì hàm dưới tích phân không vượt quá 12

t m

t

dt dt t

t

x x

x

11sin

t mx

t mx

t b

          

b

x

dt t

t t

m b

m A x

     dt

t

t t

mx x

  ln ln

từ đây suy ra:

 

 

x x

Ae x

x

e x

x e

ở đây   x vẫn bị chặn khi x  

Các công thức (2.44) và (2.45) khẳng định điều phỏng đoán của ta về tính chất của các hàm  và  khi x và tính chất của nghiệm z của phương trình (2.36) Phép

thế (2.44) và (2.45) vào (2.37) sẽ cho ta:

x

x A

a ,  , ta có:

x

x x

x





 cos là hàm bị chặn đối với mọi x

Vì vậy, từ (2.46) ta suy ra:

x x

x A x

A

x

x x

x

x A

sin

sin1

hay là:

   

x

x r x

   

x x

x r x

x

A

y sin  

Với A=const,  const, r x bị chặn khi x   Công thức này chỉ ra rằng

với các x lớn thì nghiệm của phương trình Euler – Bessel khác rất ít với đường sinxôit

42sin

Từ (2.47) ta rút ra là J k x có vô số tập nghiệmn k , n1,2,3 trên nữa trục

n k k

gần bằng không, nghĩa là  

42





n k  k  khác ít với nghiệm dương thứ n theo

thứ tự tăng lên của hàm Thành thử, đối với các số n lớn n k gần bằng:

42

42sin

2.8 HÀM SINH CỦA HÀM BESSEL

Ta hãy xét hai hàm sau:

m

m

m t

x s

s

s xt

t m

x e

t s

2

!

21,

!2

Nhân hai chuỗi trên với nhau, ta có:

s

m m

m

m t

t x

t s

x t

m

x e

0 0

1 2

!

2

!

21

!

2

m

m m

m s s

s

t m

x t

s x

m s

s m

m

t m s x

0 0

2 1

1

2 0

2 1

2

!

!

21

!

!

21

!

!

21

I I

t k m m

x t

k m m x

t k m m

x e

k

k m m

k

k m m

k

k m

m t

k

k k

k

k m

m

t x J t

k m m

x I

k

k m

m

t k m m

x I

m m

n

n

n m

m

t n m m

x I

Thay đổi thứ tự của phép lấy tổng theo m và n, ta được:

n m

m

t n m m

x I

n m m

n m m

x A

!

!

21

0

2

Suy ra:

  n n

n x t J

mà k=-n nên ta được:

  k k

k x t J

2

k

k k k

k k t

t x

t x J t

x J e

e

1 2

được gọi là hàm sinh của hàm Bessel

Nếu ta thay t  ei vào biểu thức (2.48) thì ta được:

e e x

e x J e

i i

e x J

4 4

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1 1

0

4 4

3 3

2 2 1

0

1 1

2 2

3 3

4 4

i i

i i

i i

k

ik k

i i

i i

i i

i i

k

ik k

e x J e x J e

x J e x J

e x J e x J e

x J e x J x J e x J

e x J e x J e x J e x J x J

e x J e

x J e

x J e

x J e

x J

2cos2

4cos2

3sin2

2cos2

sin2

1 1 2 1

2 0

4 3

2 1

0

4 4

4 3

3 3

2 2

2 1

J p

x J x

J

x J x

iJ x

J x

iJ x J

e e x J e

e x J

e e x J e

e x J x J e x

J

p

p p

p

i i

i i

i i

i i k

ik k

Thay trở lại đẳng thức (2.50), ta suy ra:

 sin    2  cos2  1,2,3

cos

1 2

x J x

J x

x J x

J x

x J x

l p d

l

0

22

coscos

l p d

l

0

22

sinsin

Nhân hai vế của đẳng thức (2.51) với cos l rồi lấy tích phân theo  từ 0

và chú ý đến tính trực giao của hàm cos, ta được:

             

   2,4,6 

coscos

2.coscos

cos

1

0 2 0

0 0

d l p

x J d

p x

J d l p

p p

d p

và chú ý đến tính trực giao của hàm sin, ta cũng thu được:

p x

           

 sin  1,2,3

cos1

sinsinsincos

sincos1

x p

d p x

p x

2 0

2

1

(2.55) Mặt khác ta nhận thấy sin x sin đảo dấu trong góc phần tư thứ ba và thứ tư nên:

 sin  0sin

i x

x

2 0

21

sin 0

2

1

d e x

sin 0

2

1

d e x

cos 0

21

cos 0

2

1

d e x

cos 0

2

1

d e x

2.9 HÀM BESSEL HẠNG BÁN NGUYÊN

Xét phương trình:

02

1'

"

2 2

Đây là phương trình Bessel hạng 

2 1

2

3

!

21

m

k m m

k

k m m

x x

J

Nghiệm riêng này có thể được biểu diễn bởi một hàm sơ cấp có dạng:

  M x x N x x

x x

2 1

2

3

!

21

m

m m

m m

x x

12

3

2

12

12

3

m m

1

dx e

!12

2

1.3

1212

2

12

3

2

12

12

3

1 2

1

m m

m m

m m

1 2 2

1 2 2

1

!12

!2

!2

1

m m m

m m

m x

x J

1

!1212

m

m m

m

x x

x J

1 2 7

5 3

!121

!121

!7

!5

!3sin

m

m m

m m

m x

m

x x

x x x x

Do đó, biểu thức (2.59) được viết lại là:

x x

1 2

2 1

!212

2

1

!

21

m m m

m

m

x x

m m

x x

4 2

!21

!21

!6

!4

!21cos

m

m m

m m

m x

m

x x

x x x

Do đó, biểu thức (2.60) có thể viết lại là:

x x

J x

x x

x x

x x x

x J x J x x J

x J x x J x J

cos sin

1 2

cos

2 sin

2 1 1 1

2

1 2

1 2

3

2

1 2

3 2

2 1 2

1 2

1 2

k k

k

2 1 2 1 2

1 2

1

Với k là số nguyên

với x được thay bằng ix

Nếu x được thay bằng ix, phương trình (2.61) có dạng:

 

2 2

dy ix ix

d

y d ix

2

2 2

y d x

 2 2 0

2

2 2

y d x

m k m

x i

m k m

x i

i m

k m

ix ix

J

k k m

k m k

m

k m m m k

k m m k m k

m m

2

2 2

2

1

!

21

!

211

1

!

211

!21

k

sin2

k

m k m

x x

I là hàm Bessel ảo loại I,      





k

x I x I x

k

sin2



là hàm Bessel ảo loại II