Hàm lồi và một số ứng dụng

Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi và ứng dụng tối ưuhóa về nhiều kết quả nổi tiếng, chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen,định lý Fenchel-Moreau về hàm liên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi vàđược hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn.

Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2019

Tác giả

Võ Quang Hưng

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh,bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự chỉ bảo nhiệt tìnhcủa quý thầy cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bètrong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thànhđược luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các quý Thầy, Cô giáo

và Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học ĐàNẵng đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiệnthuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu cho đếnkhi thực hiện đề tài luận văn Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơnđến các anh chị và các bạn trong lớp PPTSCK35 đã nhiệt tình giúp đỡtôi trong quá trình học tập vừa qua Tôi cảm ơn những người thân yêutrong gia đình và các bạn bè đã ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinhthần vững chắc trong quá trình học tập và thời gian làm luận văn

Do thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế nên luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, đónggóp ý kiến của các thầy cô để tôi có thể bổ sung và hoàn thiện luận vănmột cách tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Võ Quang Hưng

MỞ ĐẦU 1

1.1 TẬP LỒI 4

1.1.1 Khái niệm về tập lồi 4

1.1.2 Định lý tách tập lồi 6

1.2 HÀM LỒI 8

1.2.1 Định nghĩa về hàm lồi 8

1.2.2 Tính liên tục và khả vi 9

1.2.3 Một số đặc điểm về hàm lồi 14

1.2.4 Các phép toán bảo toàn tính lồi 17

1.2.5 Hàm lồi liên hợp 21

2 ỨNG DỤNG HÀM LỒI 26 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 26

2.1.1 Bất đẳng thức Jensen 26

2.1.2 Bất đẳng thức Jensen dưới dạng tích phân 29

2.1.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen 30

2.2 BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE-HADAMARD 44

2.3 BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ MỞ RỘNG 48

2.3.1 Bất đẳng thức Ostrowski 48

2.3.2 Bất đẳng thức Ostrowski mở rộng 53

2.4 BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN 59

2.4.1 Một số định lý về bất đẳng thức ma trận 592.4.2 Một số bài toán về bất đẳng thức ma trận 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tính lồi là một khái niệm đơn giản và tự nhiên có thể được bắtnguồn từ Archimede (khoảng năm 250 trước Công nguyên), liên quanđến ước tính nổi tiếng của ông về giá trị của π Ông nhận thấy mộtthực tế quan trọng là chu vi của một hình lồi thì nhỏ hơn chu vi củabất kỳ hình lồi nào khác bao quanh nó Ngoài ra, tính lồi có ảnh hưởnglớn đến cuộc sống hàng ngày của chúng ta thông qua nhiều ứng dụngtrong công nghiệp, kinh doanh, y học và nghệ thuật Vì vậy, nhiều vấn

đề được đưa ra bởi khoa học, kỹ thuật, kinh tế, tin học, các vấn đềphân bổ tối ưu các nguồn lực, ước tính và xử lý tín hiệu, thống kê và tàichính vv, đều có quan hệ với lĩnh vực phân tích tính lồi Trong suốtthế kỷ XX, đã có nhiều hoạt động nghiên cứu mạnh mẽ và đã thu đượcnhiều kết quả quan trọng trong phân tích chức năng hình học, kinh tếtoán học, phân tích tính lồi và tối ưu hóa phi tuyến Giải tích lồi cho

ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi và ứng dụng tối ưuhóa về nhiều kết quả nổi tiếng, chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen,định lý Fenchel-Moreau về hàm liên hợp, định lý Moreau-Rockafellar vềdưới vi phân hàm lồi, định lý Kuln-Tucker cho bài toán tối ưu có ràngbuộc, Có thể nói tập lồi, hàm lồi là các đối tượng đẹp trong tối ưuhóa Vì thế hàm lồi và các mở rộng của hàm lồi là một chủ đề hấp dẫnvới nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút sự quan tâm của nhiềunhà nghiên cứu

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toánkhu vực và quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường đại họccao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay đề cập đến

và thường thuộc lại khó và rất khó Có thể nói bất đẳng thức đóng vaitrò khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán Vì vậy tôimuốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm phục vụ công việc

giảng dạy toán sơ cấp.

Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “ HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ”.làm luận văn thạc sĩ toán học cho mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về hàm lồi, các tính chất củahàm lồi và ứng dụng trong giải các bài toán sơ cấp (đặc biệt là bài toánbất đẳng thức)

3 Đối tượng nghiên cứu

Hàm lồi, tính chất của hàm lồi và ứng dụng hàm lồi để giải toán sơcấp

4 Phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất về hàm lồi và những bất đẳngthức có liên quan đến hàm lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách

vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kếtquả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoahọc với các chứng minh chi tiết

6 Nội dung của đề tài

Nội dung của đề tài được dự định thành 2 chương:

Chương 1: Tập lồi và hàm lồi

Trong chương 1 sẽ sơ lược một số định nghĩa, tính chất và kết quảcần thiết liên quan đến tập lồi và hàm lồi

Chương 2: Ứng dụng hàm lồi

Trong chương 2 sẽ trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dung

để giải các bất đẳng thức sơ cấp Ngoài ra còn ứng dụng hàm lồi đểchứng minh và mở rộng một số bất đẳng thức quan trọng như: Hermite-Hadamard, Ostrowski và đưa ra một số bất đẳng thức về ma trận

7 Phần kết luận

Tổng kết các kết quả và ứng dụng đã đạt được, nêu một số vấn đề

hạn chế và hướng phát triển tiếp theo của đề tài.

CHƯƠNG1 TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI

Các nội dụng trình bày trong mục này đã được tham khảo trongcác tài liệu [3]và[4]

1.1.1 Khái niệm về tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi) Một tập C ⊆ R được gọi là một tập lồi,nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là Clồi khi và chỉ khi:

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C.Đoạn nối x, y được định nghĩa như sau:

y = λ1

1−λ k+1x1 + + λk

1−λ k+1xk ∈ C,với các điểm y ∈ C và xk+1 ∈ C, ta có:

1 − λk+1 > 0, (1 − λk+1) + λk+1 = 1,

do đó

x = (1 − λk+1)y + λk+1xk+1 ∈ C

Vậy điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.2 Nếu A, B là các tập lồi trong Rn, C là lồi trong Rm,thì các tập sau là lồi:

1 A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}

2 αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈R}

3 A × C := {x ∈ Rn+m|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}

1.1.2 Định lý tách tập lồi

Định nghĩa 1.1.2 (Điểm bọc) Trong không gian Rn cho tập con C 6=

∅, điểm a ∈ C gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C và tồn tại số

α > 0 sao cho a − α(x − a) ∈ C Tập các điểm bọc của C, kí hiệu làriC, khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi

Định nghĩa 1.1.3 Siêu phẳng trong không gian Rn là tập hợp cácđiểm có dạng:



x ∈ R|aTx = α,trong đó a ∈ Rn là một vecto khác 0 và α ∈ R.

Định nghĩa 1.1.4 Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng

Chứng minh Định lý1.1.4 Cho C và D là tập lồi, nên

C − D = [x − y|x ∈ C, y ∈ D],cũng là tập lồi và 0 /∈ C − D, vì C ∩ D = ∅.

Thật vậy, giả sử

0 ∈ C − D thì x − y = 0 ⇒ x = y ∈ C ∩ D (vô lý)

Đặt E = cl(C − D), theo Bổ đề 1.1.3 có x0 ∈ E : t = ||0 − x0|| 6= 0,sao cho <t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ E ⇒< t, z >≤ 0, ∀x ∈ E

Bổ đề 1.1.5 Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng sao cho 0 /∈ C Khi

đó tồn tại một vecto t ∈ Rn, t 6= 0 và α > 0 thõa mãn:

< t, x >≥ α > 0∀x ∈ C

Chứng minh Bổ đề1.1.5 Do C đóng và 0 /∈ C, nên tồn tại quả cầu Btâm ở gốc, bán kính r > 0 sao cho C ∩ D = ∅ Áp dụng (Định lý1.1.4)cho hai tập C và B, ta có t ∈ Rn, t 6= 0 và α ∈R, sao cho

< t, x >≥ α ≥< t, y > ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.Bằng cách chuẩn hóa ta có thể xem ktk = 1 và do đó khoảng cách từgốc đến siêu phẳng ít nhất là bằng α ≥ r Vậy thì

< t, x >≥ α ≥ r > 0

Định lý 1.1.6 (Định lý tách 2 ) Cho C và D là hai tập lồi đóng khácrỗng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅ Giả sử có ít nhất một tập compac,khi đó hai tập này có thê tách mạnh được bời một siêu phẳng

Chứng minh Định lý1.1.6 Giả sử C là tập compac, ta chỉ ra tập C − Dđóng Thật vậy, giả sử zk ∈ C − D và zk → z, ta có zk = xk− yk trong

đó xk ∈ C, yk ∈ D, vì C là tập compac nên có một dãy con xkj → xkhi j → +∞.

Vậy ykj = zkj − xkj → z − x ∈ D, vậy z = x − y ∈ C − D

Điều đó chứng tỏ C − D là tập đóng, do 0 /∈ C − D nên theo bổ đềtrên, tồn tại t 6= 0, sao cho

< t, x − y >≥ α > 0với mọi x ∈ C, y ∈ D

Trong lịch sử, nghiên cứu về các hàm lồi bắt đầu trong bối cảnhcác hàm có giá trị thực của một biến thực, cung cấp một cái nhìn tuyệtvời về vẻ đẹp và sự mê hoặc của toán học tiên tiến Hàm lồi có ứng dụngquan trọng, đồng thời chúng tạo ra nhiều định nghĩa khái quát

Các nội dụng trình bày trong mục này được tham khảo trong các tàiliệu [5]và[7]

Ví dụ 1.2.2 Chứng minh hàm số f (x) = x2 lồi trên (−∞, +∞), vớimọi x1, x2 ∈ (−∞, +∞) và x1 6= x2 Ta có

• f (λx1 + (1 − λ)x2) = (λx1 + (1 − λ)x2)2 = λ2x21 + (1 − λ)2x22 +2λ(1 − λ)x1x2

• λf (x1) + (1 − λ)f (x2) = λx21 + (1 − λ)x22

Ta hoán đổi tương đương

Vậy f (x) là hàm lồi trên (−∞, +∞)

Ví dụ 1.2.3 Tương tự ta cũng chứng minh được hàm g(x) = sin x làhàm lồi trên [−π, 0] và hàm h(x) = |x| là hàm lồi trên (−∞, ∞).Định nghĩa 1.2.4 Nếu −f là hàm lồi, thì chúng ta nói rằng f là hàmlõm Nếu f là hàm vừa lồi vừa lõm, thì f được gọi là hàm affine

Định nghĩa 1.2.5 Hàm f : I → R được gọi là lồi chặt với điều kiệnbất đẳng thức (1.1) là đúng đối với x 6= y hay

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) ,với 0 ≤ λ ≤ 1

Về mặt hình học thì (1.1) có nghĩa là nếu P, Q và R là ba điểm bất

kỳ trên biểu đồ với Q nằm giữa P và R thì Q thuộc đoạn thẳng P Rhay nằm bên dưới đoạn thẳng P R (xem Hình 1.1) Về slope, nó tươngứng với

slopeP Q ≤ slopeP R ≤ slopeQR (1.2)Bất đẳng thức (1.2) đúng khi f lồi chặt

1.2.2 Tính liên tục và khả vi

Một hàm lồi và hữu hạn trên một khoảng [a, b] bị chặn trên bởi

M = max (f (a), f (b)): với mọi z ∈ (a, b), ∃λ ∈ (0, 1) thì

Định lý 1.2.1 Nếu f : I → R là hàm lồi, f thỏa mãn điều kiệnLipschitz trên bất kỳ khoảng đóng [a, b] và I0 là phần trong của I Khi

đó f hoàn toàn liên tục trên [a, b] và cũng liên tục trên I0

Chứng minh Chọn  > 0 sao cho a −  và b −  thuộc I và đặt m và

M lần lượt là giới hạn dưới và giới hạn trên của f trên khoảng [a − ,

b − ],nếu x và y các các điểm khác của [a, b]

f (y) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x) = λ[f (z) − f (x)] + f (x)

f (y) − f (x) ≤ λ(M − m) < |y − x|

 (M − m) = K|y − x|,trong đó K = (M − m)/

Điều này đúng với mọi x, y ∈ [a, b] nên ta kết luận rằng

|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|

luôn đúng

Tiếp theo hàmf liên tục tuyệt đối trên [a, b]nếu với bất kỳ  > 0, chúng

ta có thể tạo ra δ > 0 sao cho mọi họ các khoảng mở (ai, bi)ni điều làcác phân đoạn mở của [a, b] với

K thì đáp ứng được yêu cầu.

Như vậy tính liên tục của hàm f trên I0 là kết quả của sự tùy chọn bất

kỳ trong khoảng [a, b]

Định lý 1.2.2 Một hàm lồi f : I → R liên tục tại mỗi điểm nằm trong

I

Chứng minh Giả sử a ∈ intI và  > 0 sao cho [a − , a + ] ⊂ I, khiđó

f (a) ≤ 12f (a − ) + 12f (a + ),và

f (a ± t) = f ((1 − t)a + t(a ± )) ≤ (1 − t)f (a) + tf (a ± ) ,với mọi t ∈ [0, 1] Vì thế

t(f (a ± ) − f (a)) ≥ f (a ± t) − f (a) ≥ −t(f (a ± ) − f (a)),mặt khác

||f (a ∓ t) − f (a)|| ≤ t max {||f (a − ) − f (a)||, ||f (a + ) − f (a)||} ,

với mọi t ∈ [0, 1].

Từ đó suy ra f liên tục tại a

Định lý 1.2.3 Hàm f : I → R là hàm lồi khi và chỉ khi thỏa mãn haiđiều kiện sau:

1 f liên tục tại mỗi điểm bên trong của I

2 f là hàm lồi trung điểm, nghĩa là

f x+y2
≤ f (x)+f (y)2trong đó x, y ∈ I

Chứng minh Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh định lý.Nếu f không lồi, thì sẽ tồn tại một khoảng con [a, b] sao cho đồ thị

f |[a, b] không nằm dưới dây cung (a, f (a)) và (b, f (b))

ϕ(x) = −f (x) + f (a) + f (b)−f (a)b−a (x − a) với x ∈ [a, b],

kiểm tra γ = inf (ϕ(x) : x ∈ [a, b]) < 0, ta thấy rằng −ϕ là trung điểmlồi, liên tục và ϕ(a) + ϕ(b) = 0

Đặt c = inf (x ∈ [a, b] : ϕ(x) = γ) khi đó ϕ(c) = γ và c ∈ (a, b), theođịnh nghĩa cuả c, với mọi h > 0 sao cho c ± h ∈ (a, b) chúng ta có

ϕ(c − h) > ϕ(c) và ϕ(c + h) ≥ ϕ(c),khi đó

−ϕ(c) > −ϕ(c−h)−ϕ(c+h)2 Mâu thẫu với điều kiên ban đầu −ϕ là trung điểm lồi

Hệ quả 1.2.4 Đặt f : I → R là hàm liên tục, khi đó f là hàm lồi khi

và chỉ khi:

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0,trong đó x ∈ I và với mọi h > 0 sao cho (x + h) và (x − h) đều thuộc

I

Hệ quả trên cho phép chúng ta kiểm tra ngay độ lồi ( lõm) của một

f+0 (x) = lim

y↓x

f (y)−f (x) y−x

Định lý 1.2.5 Nếu f : I → R là hàm lồi [lồi tuyệt đối], thì f−0 (x) và

f+0 (x) tồn tại và tăng [tăng mạnh] trên I0

Chứng minh Xét các điểm w < x < y < z trong I0 với P, Q, R và Scác điểm này tương ứng nằm trên đồ thị (xem Hình 1.2)

Figure 1.2

Khi đó bất đẳng thức(1.2) mở rộng đếm bốn điểm, ta được

slopeP Q ≤ slopeP R ≤ slopeQR ≤ slopeQS ≤ slopeRS, (1.4)cùng với bất đẳng thức vô hạn nếu f lồi mạnh Khi đó P R ≤ slopeQR,

rõ ràng slopeQR tăng khi x ↑ y và tương tự slopeRS giảm khi z ↓ y

Do đó

f (x) − f (y)

x − y ≤ f (z) − f (y)

z − y .

Bên trái của bất đẳng thức tăng khi x ↑ y và bên phải bất đẳng thứcgiảm khi z ↓ y Điều này đảm bảo rằng f−0 (y), f+0 (y) tồn tại và thỏamãn với y ∈ I0

f−0 (y) ≤ f+0 (y) (1.5)Hơn nữa sử dụng (1.4) một lần nữa chúng ta thấy rằng

f+0 (w) ≤ f (x) − f (w)

x − w ≤ f (y) − f (x)

y − x ≤ f−0 (y), (1.6)với bất đẳng thức ngặt nếu f lồi chặt Điều này kết hợp với (1.5) tađược

f−0 (w) ≤ f+0 (w) ≤ f−0 (y) ≤ f+0 (y) (1.7)Điều này thiết lập tính đơn điệu của hàm f−0 và f+0

Định lý 1.2.6 Nếu f : I → R là hàm lồi trên khoảng mở I, thì tập Etrong đó f0 không tồn tại là đếm được Hơn nữa f0 liên tục trên I/E.Chứng minh Từ định lý trên ta có

lim

{x↓ω} f+0 (x) = f+0 (ω) , lim

{x↑ω} f+0 (x) = f−0 (ω),như vậy f+0 (ω) = f−0 (ω) khi và chỉ khi f+0 là hàm lồi tại ω

Khi đó E tồn tại không liên tục của hàm tăng f+0 và do đó hàm có thểđếm được

Như vậy trên I/E, hàm f+0 là hàm liên tục và hàm f0cũng hòa hợp với

f+0 trên I/E cũng là hàm liên tục ở đó

1.2.3 Một số đặc điểm về hàm lồi

Theo cách tương tự, định nghĩa của hàm lồi phục vụ các mục đíchhữu ích, nhưng các nhà toán học thường nhận ra và suy nghĩ về các hàmlồi theo nhiều cách khác: bằng cách biểu diễn tích phân, bởi các tínhchất của đạo hàm hay bởi các tính chất hình học của đồ thị Tất cả cácđặc điểm này và một số thứ khác cũng được xem xét trong phần này.Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách biểu diễn một hàm lồi như một tíchphân

Định lý 1.2.7 Hàm f : (a, b) → R là hàm lồi khi và chỉ khi có một hàmtăng g : (a, b) → R với một điểm c ∈ (a, b) sao cho với mọi x ∈ (a, b)

f (x) − g(x) =

Z x c

Chứng minh (=>) Giả sử f là hàm lồi Chọn g = f+0 mà tồn tại và làhàm tăng, chọn c bất kỳ thuộc (a, b), theo Định lý 1.2.1 thì f hoàn toànliên tục trên [c, x], ta có

f (x) − f (c) =

Z x c

f+, (t)dt =

Z x c

g(t)dt−α

Z αx+βy x

g(t)dt

Để ràng buộc biểu thức bên dưới ta thay cả hai số nguyên bằng hằng

số g(αx + βy), khi đó chúng ta có được phía bên vế phải như sauβ

Z y

αx+βy

g(t)dt − α

Z αx+βy x

αf (x) + βf (y) ≥ f (αx + βy),vậy f là hàm lồi,

Vậy điều phải chứng minh

Nhắc lại Định lý 1.2.5 cho chúng ta thấy rằng, đối với một hàmkhả vi thì một hàm lồi có đạo hàm tăng Điều này cũng có hai chiều.Định lý 1.2.8 Giả sử f khả vi trên [a, b], khi đó f là hàm lồi [lồi chặt]khi và chỉ khi f0 là hàm tăng [tăng vô hạn]

Chứng minh (=> )Ta đã chứng minh từ Định lý 1.2.5.

(<=) Giả sử f0 là hàm tăng [tăng vô hạn] Khi đó, các định lý cơ bảncủa vi phân thỏa mãn rằng:

f (x) − f (c) =

Z x c

f0(t)dt,

với mọi c ∈ (a, b)

Khi đó f là hàm lồi [lồi chặt] được suy ra từ định lý 1.2.7

Định lý 1.2.9 Giả sử f00 tồn tại trên khoảng (a, b), khi đó f là hàmlồi khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0 trên (a, b) Và nếu f00(x) > 0 trên (a, b) thì

f là hàm lồi chặt (mạnh) trên khoảng (a, b)

Chứng minh Theo giả thuyết từ định lý thì f0 là tăng khi và chỉ khi fkhông âm và f0 tăng vô hạn khi nào f00(x) dương Kết hợp với định lýĐịnh lý 1.2.8 ta suy ra được điều phải chứng minh

Chiều ngược lại nếu f là hàm lồi tuyệt đối thì f00(x) > 0 trên (a, b)không xảy ra

Ví dụ 1.2.7 Chọn f (x) = x4 trên (−1, 1) là một hàm lồi như ta thấy

f00(x) = 12x2 ≥ 0

Những đặc tính tiếp theo phụ thuộc vào ý tưởng rõ ràng về mặthình học là thông qua bất kỳ điểm nào trên đồ thị hàm lồi, thì sẽ cómột đường thẳng nằm trên hay nằm dưới đồ thị (Xem Hình 1.3)

Figure 1.3

Khi đó, ta nói rằng một hàm f được định nghĩa trên I có đường hỗ

trợ (support) tại x0 ∈ I nếu tồn tại một hàm affine A(x) = f (x0) +m(x − x0) sao cho A(x) ≤ f (x) với mọi x ∈ I Đồ thị của hàm hỗ trợ

A (supportA) được gọi là đường hỗ trợ f (supportf) tai x0

Định lý 1.2.10 Hàm f : (a, b) → R là hàm lồi khi và chỉ khi có ít nhấtmột đường support f tại mỗi điễm x0 ∈ (a, b)

Chứng minh (=>)Nếuf là hàm lồi vàx0 ∈ (a, b), chọnm ∈ [f−0 (x0), f+0 (x0)]

Ta đã nói ở Mục 1.2.2 khi đó ta có rằng

f (x) − f (x0)

x − x0 ≥ m (với x > x0) hoặc f (x) − f (x0)

x − x0 ≤ m (với x < x0),trong cả hai trường hợp,

f (x) − f (x0) ≥ m(x − x0) ⇒ f (x) ≥ f (x0) + m(x − x0),

hoặc

f (x) − f (x0) ≤ m(x − x0) ⇒ f (x) ≤ f (x0) + m(x − x0)

Vậy f là một đường support tại x0 ∈ (a, b)

(<=) Ngược lại, giả sử f là một đường support tại mỗi điểm của (a,b),đặt x, y ∈ (a, b)

Nếu x0 = λx + (1 − λ)y, với λ ∈ [0, 1] và đặt

A(x) = f (x0) + m(x − x0),

là một hàm support f tại x0 Khi đó

f (x0) = A(x0) = λA(x) + (1 − λ)A(y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

suy ra f là hàm lồi

Vậy định lý đã được chứng minh

1.2.4 Các phép toán bảo toàn tính lồi

Phần trên ta đã đưa ra một số cách chứng minh hàm lồi Tuy nhiên,thông thường các hàm lồi dễ dàng được chứng minh bằng cách lưu ý

rằng chúng được xây dựng từ các hàm lồi khác đã biết.

Vậy αf cũng là hàm lồi trên I

Định lý 1.2.12 Cho f : I → R và g : J → R trong đó range(f ) ⊆ J.Nếu f và g là hàm lồi và g là hàm tăng, thì hàm g ◦ f cũng là hàm lồitrên I

Chứng minh Cho x, y ∈ I và λ ∈ (0, 1) ta có

g[f (λx + (1 − λ)y)] ≤ g[λf (x) + (1 − λ)f (y)]

≤ λg[f (x)] + (1 − λ)g[f (y)]

Điều phải chứng minh

Ví dụ 1.2.8 Quay lại ví dụ ta có hàm |x|3 là hàm lồi trên (−∞, +∞)

và hàm sin x là hàm lồi trên [−π, 0] được chứng minh Ví dụ 1.2.3 Sửdung hai định lý trên ta suy ra được hàm f (x) = 3|x|3+ 2 sin x cũng làhàm lồi

Định lý 1.2.13 Nếu f : I → R và g : J → R đều không âm, giảm(tăng) và hàm lồi, thì h(x) = f (x)g(x) cũng là hàm không âm, giảm(tăng) và hàm lồi.

Chứng minh Chúng ta bắt đầu bằng việc cho x < y

[f (x) − f (y)][g(y) − g(x)] ≤ 0,khi đó

f (x)g(y) + f (y)g(x) ≤ f (x)g(x) + f (y)g(y),chúng ta sử dụng bất đẳng thức sau

Bây giờ nếu α > 0, β > 0 và α + β = 1, khi đó ta có

f (αx + βy)g(αx + βy) ≤ [αf (x) + βf (y)][αg(x) + βg(y)]

= α2f (x)g(y)+αβ[f (x)g(y) + f (y)g(x)] + β2f (y)g(y)

≤ α2f (x)g(y)+αβ[f (x)g(x) + f (y)g(y)] + β2f (y)g(y)

= αf (x)g(x) + βf (y)g(y)

Điều phải chứng minh

Định lý 1.2.14 Cho fα : I → R là một họ các hàm lồi tùy ý và đặt

Điều này cho thấy J là một khoảng (vì nó chứa mọi điểm nằm giữa bất

kỳ hai điểm bất kỳ của nó) và f là hàm lồi trên khoảng đó

Định lý 1.2.15 Nếu fn : I → R là một họ các hàm lồi hội tụ đến mộtgiới hạn hữu hạn f trên I, thì f là hàm lồi

Định nghĩa 1.2.9 Hàm f được gọi là log-lồi trên một khoảng I nếu

f là dương và log f là hàm lồi trên I Tức là f dương và thõa mãn

f (λx + βy) ≤ fα(x)fβ(y),trong đó x, y ∈ I , α > 0, β > 0 và α + β = 1

Điều này giải thích tại sao một số tác giả lại sử dụng thuật ngữnhân lồi để mô tả các hàm mà chúng ta gọi là log-lồi

Vì f (x) = exp[log f (x)] nên theo định lý 1.2.12 thì hàm log-lồi là hàmlồi

Định lý 1.2.16 Hàm log-lồi trên một khoảng I cũng đóng dưới phépcộng, phép nhân và lấy các giới hạn với điều kiên tồn tại giới hạn vàhàm dương

Chứng minh Để chứng minh hàm đóng dưới phép nhân và lấy các giớihạn ta nhận ra rằng log f.g = log f + log g và log(lim fn) = lim(log fn)kết hợp với định lý 1.2.4 và định lý 1.2.15 ta có được điều phải chứngminh

Ngoài ra việc chứng minh hàm đóng dưới phép cộng khó khăn hơn.Lưu ý rằng nếu a, b, c, d,α, β là các số dương và α + β = 1 thì ex là mộthàm lồi,

aαbβ = exp(α log a + β log b) ≤ α exp(log a) + β exp(log b) = αa + βb

Do đó

aαbβ + cαdβ

(a + c)α(a + d)β =

a

a + c

+ β

b

b + d

+ α

c

a + c

+ β

d

b + d



= α + β = 1

Chúng ta đã chứng minh.

aαbβ + cαdβ ≤ (a + c)α(b + d)β (1.9)Chọn x, y ∈ I và sử dụng công thức tương đương của hàm log-lồi và sửdụng bất đẳng thức (1.9)ta được

f (λx + βy) + g(λx + βy) ≤ fα(x)fβ(y) + gα(x)gβ(y)

≤ [f (x) + g(x)]α[f (y) + g(y)]β.Vậy f + g là hàm log-lồi

Điều phải chứng minh

1.2.5 Hàm lồi liên hợp

Trong phần hiện tại, đặt g : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm tăng vô hạn

và liên tục với g(0) = 0 và g(x) = ∞ khi x → ∞, sau đó g−1 tồn tại và

có cùng tính chất với g, khi đó

f (x) =

Z x 0

g(x)dx và f∗(y) =

Z y 0

f−1(t)dx

thì f và f∗ đều là các hàm lồi trên [0, ∞)

Chúng ta có thể phác họa đồ thị hàm t = g(x) như hình dưới đây (xemhình 1.4)

Figure 1.4

Tất nhiên, đó cũng đó cũng là đồ thị của hàm s = g−1(t) Một số kếtquả theo sau các biểu thức tích phân ở trên hoặc có thể được nhìn trựctiếp từ hình Đầu tiên được gọi là bất đẳng thức Young’s

Định nghĩa 1.2.10 Nếu f : I → R là hàm lồi được xác định trên mộtkhoảng I thì f∗ : I∗ → R là hàm liên hợp được xác định bởi:

f∗(y) = sup

i∈I

[xy − f (x)],

với I∗ = {y ∈ R : f∗(y) < ∞}

Một số định lý sau về hàm liên hợp sẽ quan trọng cho sau này

Định lý 1.2.17 Nếu f : I →R là hàm lồi thì hàm liên hợp f∗ : I∗ → R

là hàm lồi và đóng

Chứng minh Trước tiên I∗ 6= ∅, vì nếu I là một điểm x0 duy nhất thìA(x) = f (x0) + y(x − x0) với hỗ trợ hàm f cho mỗi y ∈ R

Ngược lại, lấy bất kỳ điểm x0 bên trong, chọn hàm y ∈ [f−0 (x0), f+0 (x0)]

và một lần nữa A(x) sẽ hỗ trợ f theo Định lý 1.2.10

Trong cả hai trường hợp trên, chúng ta chọn hàm ý sao chof (x) ≥ A(x),nghĩa là chúng ta chọn sao cho xy − f (x) ≤ x0y − f (x0) với mọi x ∈ I.Đối với sự lựa chọn này của y, f∗(y) < ∞ và I∗ 6= ∅ như đã yêu cầu.Hơn nữa chúng ta lưu ý rằngf∗ là cận trên của hàm lồi, hàmgx : R → Rđược xác định bởi gx(y) = xy − f (x), do đó theo thì I∗ là một khoảng

Như vậy Lα chứa tất cả các điểm giới hạn của nó và đóng.

Điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.11 Cho hàm lồi f : I → R đạo hàm của hàm f đượcxác đinh như sau:

∂f (x) = [y ∈ R; y là slope của đường support của f tại x] ,

miền của ∂f (dom ∂f) là tập hợp x thuộc I trong đó f là một đườngsupport

Khoảng cách (rg∂f) là tập hợp các support slopes

Định lý 1.2.18 Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng thì đồ thị hàm

∂f (x) là đơn điệu tăng

Chứng minh Ở mục 1.2.2 cho x1, x2 ∈ I ta có rằng x1 < x2 nghĩa là:

f−0 (x1) ≤ f+0 (x1) ≤ f−0 (x2) ≤ f+0 (x2) (1.10)Mặt khác, từ các tính chất supportđã nêu ở trong Định lý 1.2.10, chúng

y2 ≥ f−0 (x2) ≤ f+0 (x1) ≥ y1

và do đó (x2 − x1)(y2 − y1) ≥ 0

Bất đẳng thức này là hiển nhiên nếu x1 = x2 và một số lý do đối xứng

sẽ thiết lập sao cho x2 < x1 Do đó ∂f là đơn điệu tăng

Định nghĩa 1.2.12 Chúng ta định nghĩa với mọi c, x ∈ I

Z x c

∂f (s)ds =

Z x c

f+0 (s)ds

Định lý 1.2.19 Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng, thì ta có:

f (x) − f (c) =

Z x c

∂f (s)ds,trong đó với mọi c, x ∈ I

Chứng minh Vì f là hàm lồi đóng và nó liên tục Do đó, theo kết quảĐịnh lý 1.2.7 ta có được điều phải chứng minh.

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý chính của phần này.Định lý 1.2.20 Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng Khi đó f∗ : I∗ → Rcũng hàm lồi và đóng và thỏa mãn:

1 xy ≤ f (x) + f∗(y) trong đó với mọi x ∈ I, y ∈ I∗,

2 xy = f (x) + f∗(y) khi và chỉ khi y = ∂f (x),

3 ∂(f∗) = (∂f )−1,

4 f∗∗ = f

Chứng minh Từ Định lý 1.2.17 ta có rằng f∗ là hàm lồi và đóng, và (1)

là hệ quả được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của f∗

Để chứng minh (2), chúng ra nhận thấy rằng hàm lồi g : I → R đạt tốithiểu tại x ∈ I khi và chỉ khi 0 ∈ ∂g(x) Bây giờ

Mặt khác, với mỗi x ∈ I, chúng ta có từ định nghĩa của f∗

−f∗(y) − xy ≥ −f (x), (1.13)với mọi y ∈ I∗

Do đó f∗(y) − xy được nhỏ lại khi có đẳng thức trong (1.13) mà theo(1.12) xảy ra khi y ∈ ∂f (x)

Nói cách khác, y ∈ ∂f (x) có nghĩa là h(z) = f∗(z) − xz là nhỏ nhấtkhi z = y Nhưng h(z) là hàm lồi và nhỏ nhất nên khi 0 ∈ ∂h(y) nghĩa

là khi x ∈ ∂(f∗)(y)

Lấy nghịch đảo

x ∈ ∂(f )−1(y),

nghĩa là x ∈ ∂(f∗)(y).

Do đó, ∂(f∗) là phần mở rộng của (∂f )−1 Tuy nhiên, là nghịch đảo củatập tăng đơn điệu vì vậy ∂(f∗) = (∂f )−1, ta chứng minh được (3).Cuối cùng, chúng ta áp dụng (3) cho f∗, chúng ta nhận được

∂(f∗∗) = (∂f∗)−1 = ((∂f )−1)−1 = ∂f,

và áp dụng định lý (1.2.19)

f (x) − f (c) =

Z x c

∂f (s)ds = ∂f∗∗(x) − ∂f∗∗(c)

Với mọi c, x ∈ I và với mọi c, x ∈ I∗∗

Do đó I = I∗∗ và chúng ta sẽ chứng minh được nếu chúng ta có thể tìmthấy một c sao cho f (c) = f∗∗(c)

Chọn c0 ∈ I và y0 ∈ I∗ sao cho y0 ∈ ∂f (c0), mà theo (3) ta có

c0 ∈ (∂f )−1(y0) = ∂(f∗∗)(y0)

Áp dụng (2) liên tiếp vào f và f∗, chúng ta nhận được

c0y0 = f (c0) + f∗(y0) = f∗(y0) + f∗∗(c0),nghĩa là f (c0) = f∗∗(c0)

Như vậy (4) đã được chứng minh

CHƯƠNG2 ỨNG DỤNG HÀM LỒI

Người ta nói rằng giải tích chủ yếu là nghiên cứu về bất đẳng thức.Nếu đây là một lời nói quá, thì sự thật là bất đẳng thức đóng vai tròquan trọng trong giải tích, toán học ứng dụng và thậm chí đại số và hìnhhọc Mục đích của chúng tôi trình bày ở đây là chỉ ra rằng lý thuyết

về các hàm lồi tạo ra một sự thống nhất đối với một số bất đẳng thứcquan trọng trong toán học

Bất đẳng thức cơ bản của chúng ta là định nghĩa về hàm lồi, cụthể là

f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y)trong đó α > 0, β > 0, α + β > 0 điều này có thể được sử dụng để thiếtlập các bất đẳng thức Hermite-Hadamard’s, bất đẳng thức Ostrowski

và một số bất đẳng thức khác Cuối cùng chúng tôi áp dụng lý thuyếthàm lồi và nghiên cứu ma trận, thu được một số kết quả là bất đẳngthức Hadamard và Minkowski cho ma trận

Bất đẳng thức (2.1) được goi là bất đẳng thức JENSEN.

Chứng minh (⇐) Giả sử (2.1)được thõa mãn, khi đó:

Với n = 2 ta có

f (λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1f (x1) + λ2f (x2)

Từ đó suy ra f là hàm lồi trên D theo định nghĩa

(⇒)Ngược lại: Giả sử f là hàm lồi trênD, ta sẽ dùng quy nạp để chứngminh (2.1)

xk, xk+1 ∈ D, λk

1 − λ > 0,

λk+1

1 − λ > 0,

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra (2.1) đúng với mọi n.

Điều phải chứng minh

Chú ý: Người ta thường hay sử dụng một dạng đặc biệt của bấtđẳng thức Jensen sau

Nếu f : D → R và D ⊂ R, khi đó với mọi n nguyên dương, với mọi

x1, x2, xn ∈ D

X

i=1

f (xi)

2.1.2 Bất đẳng thức Jensen dưới dạng tích phân

Định lý 2.1.2 Cho g : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và f :R →

R là hàm liên tục và lồi trên R Khi đó

f



1 b−a

Z b a

g(x)dx



≤ b−a1

Z b a

(f og)(x)dx

Chứng minh Với mỗi số tự nhiên n, ta phân hoạch đoạn [a, b] thành

n phần có độ dài bằng nhau với các điểm chia ζk = a + nk(b − a),

k = 0, 1, , n Áp dụng bất đẳng thức trong định nghĩa hàm lồi nêutrên với λi = 1/n, ta có

(f og)(x)dx

Ta có điều phải chứng minh

Nhắc lại: Cho I là một khoảng của R Chúng ta đã chứng minhđược rằng nếu f : I → R có đạo hàm cấp hai không âm trên I thì f là

hàm lồi trên I Đặc biệt hóa hàm lồi f trong bất đẳng thức Jensen, tathu được các bất đẳng thức thú vị sau:

1 Với f (x) = |x|, x ∈ R, ta có f00(x) = 0 là hàm không âm nên f làhàm lồi trên R Theo bất đẳng thức Jensen

|

Z b a

g(x)| ≤

Z b a

|g(x)|

2 Với f (x) = x2, x ∈ R, ta có f00(x) = 2 > 0 là hàm không âm nên

f là hàm lồi trên R Theo bất đẳng thức Jensen

Z b a

g(x)

2

≤ (b − a)

Z b a

xα1

1 xα2

2 xαn

n ≤ α1x1 + α2x2 + + αnxn (2.8)Bài giải Chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.8) khi xi > 0∀i, chúng

ta đặt yi = log xi Khi đó

xαi

i = exp(αilog xi) = exp(αiyi)

Vì f (t) = et là hàm lồi trong khoảng(−∞, ∞), chúng ta dựa vào (Định

Bài toán 2.1.2 (Bất đẳng thức Holder’s ) Cho xi > 0, yi > 0, i =

1, 2, , n, p > 0, q > 0 và 1p + 1q = 1 Chứng minh rằng

Vậy f (x) là hàm lồi trên (0, +∞).

λi = y

q i

Pn j=1(yjq); xi = xiy

1−q

i ,với mọi i = 1, 2, , n,

X

j=1

yqj

= n1X

Vậy điều phải chứng minh.

Bài toán 2.1.3 (Bất đẳng thức Mincopxki) 1) Nếu xi ≥ 0, yi ≥ 0 và

Từ đây ta có thể suy ra một bất đẳng thức mà có thể dùng saunày