Vì vậy tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỨC CƠ
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN
MÔN : TOÁN HỌC Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Bài 1 ( 4 điểm ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a 9x2 - 64 - 12xy + 4y2
b x2 + 7x + 10
Bài 2 ( 4 điểm ) Cho :
2 2
1 x x 2 2x 4 A
x 2 x 7x 10 x 5
a Rút gọn A
b Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 3 ( 4 điểm ) Giải phương trình :
a 2x 1 3x 2
b x2 – 2 = ( 2x + 3 )( x + 5 ) + 23
Bài 4 ( 1 điểm ) Cho ba số thức x, y, z sao cho x + y + z = 1 Chứng minh rằng :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = =
1
2 [( x - y )2 – ( y –z ) 2 - ( x–z ) 2]
Bài 5 ( 1 điểm ).Giải bất phương trình :
2008 2009 x
Bài 6 ( 6 điểm ) Tam giác ABC có ba góc nhọn , các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H
Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G
a Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC
b ABC AEF
c BDF CDE
d H cách đều các cạnh của tam giácDEF
Hết
đề này có 01 trang
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỨC CƠ
-ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN
MÔN : TOÁN HỌC
Bài 1 a 9x2 - 64 - 12xy + 4y2 = (9x2 - 12xy + 4y2) – 64 =
= ( 3x – 2y )2 – 82 = ( 3x – 2y - 8 ) ( 3x – 2y + 8 )
1điểm 1điểm
b x2 + 7x + 10 = x2 +5x +2x + 10 =
= x(x+5) + 2(x+5) = (x+5)(x+2)
1điểm 1điểm
Bài 2 : a x2 - 7x + 10 = (x-5 )(x -2)
Điều kiện để A có nghĩa là x 5 và x 2
2 2 2
2
1 x x 2 2x 4 A
x 2 x 7x 10 x 5
x 5 x x 2 (2x 4)(x 2)
(x 5)(x 2)
x 8x 15 (x 5)(x 3) 3 x (x 5)(x 2) (x 5)(x 2) x 2
b
(x 2) 1 1
x 2 x 2 , với x nghuyên , A nguyên khi và chỉ
khi
1
x 2 nguyên, khi đó x-2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x = 1.
0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm
0,75 điểm 0,75 điểm
Bài 3 a Ta xét các trường hợp sau :
Trường hợp 1 :
1
x 2x 1 0 2x 1 3x 2
2 2x 1 3x 2 x 3
Ta thấy x =3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình
Trường hợp 2 :
1
x 2x 1 0 2x 1 3x 2
2 2x 1 3x 2 5x 1 x 0,2
Ta thấy x =0,2 không thuộc khoảng đang xét
Vậy nó không là nghiệm của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm x=3
b
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 3
2
0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 4 ta có :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = ( x + y) 3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)
= ( x + y + z )[( x +y )2 – (x - y)z + z2 ] - 3xy( x+ y + z )
= ( x + y + z )[( x +y )2 – (x - y)z + z2 - 3xy]
= x2 + y2 + z2 –xy – yz - zx
=
1
2[( x2 – 2xy + y2 ) – ( y2 – 2yz + z2 ) - ( x2 – 2xz + z2 )]
=
1
2 [( x - y )2– ( y –z ) 2 - ( x–z ) 2]
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 5 Điều kiện x 0 , bất phương trình
2008 2009 2008 2009x 0
(2009x 2008)x 0
x 0 2008 x
2009
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 6 : ( gợi ý đáp án )
a.Ta có BG AB,CH AB nên BG // CH.
Tương tự : BH AC,CG AC nên BH // CG.
0,5 điểm
0,5 điểm
Trang 4Vì vậy tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Do dố hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Vậy GH đi qua trung điểm M của cạnh BC
b.Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC ,
nên các tam giác ABE và ACF vuông
Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A
nên chúng đồng dạng Từ đó suy ra :
AB AE AB AF
AC AF AE AC (1)
Hai tam giác vuông ABC và AEF có chung góc A (2)
Từ (1) và (2) ta có : ABC AEF.
c Chứng minh tương tự ta có AFD BAC;
EDC BAC .
Suy ra : AFD EDC.
Vậy : BDF CDE
d.Ta có
90 90
ABH BDF AHC CDE ADF ADE
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF
Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD ,
nên H là giao điểm của ba đường phân giác tam giác DEF
Vậy : H cách đều ba cạnh của tam giác DEF
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
0, 5 điểm 0,5 điểm
0, 5 đểm
0, 5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 5Đáp án có 3 trang